高中數學必修5---等差數列(共10頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上等差數列1、數列的概念：數列是一個定義域為正整數集N*（或它的有限子集1,2，3，n）的特殊函數，數列的通項公式也就是相應函數的解析式。例1根據數列前4項，寫出它的通項公式：（1）1，3，5，7；（2），；（3），。解析：（1）=2； （2）= ； （3）= 。點評：每一項序號與這一項的對應關系可看成是一個序號到另一個數集的對應關系，這對考生的歸納推理能力有較高的要求。如（1）已知，則在數列的最大項為_ ；（2）數列的通項為，其中均為正數，則與的大小關系為_；（3）已知數列中，且是遞增數列，求實數的取值范圍；2、等差數列的判斷方法：定義法或。例2設Sn是數列an的前n

2、項和，且Sn=n2，則an是（ ）A.等比數列，但不是等差數列B.等差數列，但不是等比數列C.等差數列，而且也是等比數列D.既非等比數列又非等差數列答案：B；解法一：an=an=2n1（nN）又an+1an=2為常數，常數an是等差數列，但不是等比數列.解法二：如果一個數列的和是一個沒有常數項的關于n的二次函數，則這個數列一定是等差數列。點評：本題主要考查等差數列、等比數列的概念和基本知識，以及靈活運用遞推式an=SnSn1的推理能力.但不要忽略a1，解法一緊扣定義，解法二較為靈活。練一練：設是等差數列，求證：以bn= 為通項公式的數列為等差數列。3、等差數列的通項：或。4、等差數列的前和：，

3、。例3：等差數列an的前n項和記為Sn，若a2a4a15的值是一個確定的常數，則數列an中也為常數的項是()AS7BS8CS13 DS15解析：設a2a4a15p(常數)，3a118dp，解a7p.S1313a7p.答案：C例4等差數列an中，已知a1，a2a54，an33，則n為()A48 B49 C50 D51解析：a2a52a15d4，則由a1得d，令an33(n1)×，可解得n50.故選C.答案：C如(1)等差數列中，則通項；（2）首項為-24的等差數列，從第10項起開始為正數，則公差的取值范圍是_ ；例5：設Sn是等差數列an的前n項和，a128，S99，則S16_.解析：

4、S99a59，a51，S168(a5a12)72.答案：72例6：已知數列an為等差數列，若<1，且它們的前n項和Sn有最大值，則使Sn>0的n的最大值為()A11 B19C20 D21解析：<1，且Sn有最大值，a10>0，a11<0，且a10a11<0，S1919·a10>0，S2010(a10a11)<0.所以使得Sn>0的n的最大值為19，故選B.答案：B如（1）數列 中，前n項和，則， ；（2）已知數列 的前n項和，求數列的前項和.5、等差中項：若成等差數列，則A叫做與的等差中項，且。提醒：（1）等差數列的通項公式及前和

5、公式中，涉及到5個元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。（2）為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數個數成等差，可設為，（公差為）；偶數個數成等差，可設為，,（公差為2）6.等差數列的性質：（1）當公差時，等差數列的通項公式是關于的一次函數，且斜率為公差；前和是關于的二次函數且常數項為0.（2）若公差，則為遞增等差數列，若公差，則為遞減等差數列，若公差，則為常數列。（3）當時,則有，特別地，當時，則有.（4）若、是等差數列，則、 (、是非零常數)、 ，也成等差數列，而成等比數列；若是等比數列，且，則是等差數列. 練一練：等差數列的前n項

6、和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為 。（5）在等差數列中，當項數為偶數時，；項數為奇數時，（這里即）；。練一練：項數為奇數的等差數列中，奇數項和為80，偶數項和為75，求此數列的中間項與項數.（6）若等差數列、的前和分別為、，且，則.練一練：設與是兩個等差數列，它們的前項和分別為和，若，那么_；(7)“首正”的遞減等差數列中，前項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等差數列中，前項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組確定出前多少項為非負（或非正）；法二：因等差數列前項是關于的二次函數，故可轉化為求二次函數的最值，但要注意數列的特殊性。上述兩種方法是運用了哪種數學思想？

7、（函數思想），由此你能求一般數列中的最大或最小項嗎？練一練：等差數列中，問此數列前多少項和最大？并求此最大值；例7（1）設an（nN*）是等差數列，Sn是其前n項的和，且S5S6，S6S7S8，則下列結論錯誤的是（ ）A.d0B.a70C.S9S5D.S6與S7均為Sn的最大值（2）等差數列an的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（ ）A.130 B.170 C.210 D.260解析：（1）答案：C；由S5<S6得a1+a2+a3+a5<a1+a2+a5+a6，a6>0，又S6=S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0，由S7>S8

8、，得a8<0，而C選項S9>S5，即a6+a7+a8+a9>02（a7+a8）>0，由題設a7=0，a8<0，顯然C選項是錯誤的。（2）答案：C解法一：由題意得方程組，視m為已知數，解得，。解法二：設前m項的和為b1，第m+1到2m項之和為b2，第2m+1到3m項之和為b3，則b1，b2，b3也成等差數列。于是b1=30，b2=10030=70，公差d=7030=40。b3=b2+d=70+40=110前3m項之和S3m=b1+b2+b3=210.解法三：取m=1，則a1=S1=30，a2=S2S1=70，從而d=a2a1=40。于是a3=a2+d=70+40=1

9、10.S3=a1+a2+a3=210。等差數列課后練習一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確答案的代號填在題后的括號內。1若ab,數列a,x1,x 2 ,b和數列a,y1 ,y2 ,b都是等差數列，則 （ ） A B C1 D2在等差數列中，公差1，8，則 （ ）A40B45C50D553等差數列的前三項為，則這個數列的通項公式為 （ ）A B C D 4在等差數列，則在Sn中最大的負數為 （ ）AS17BS18CS19DS205已知等差數列的首項為31,若此數列從第16項開始小于1，則此數列的公差d 的取值范圍是 （ ） A(,2) B, 2 C(2, +)

10、 D( ,2)6在等差數列中，若，則n的值為（ ） A18 B17C16D157等差數列中，等于（ ）A205B215C1221D208已知某數列前項之和為，且前個偶數項的和為，則前個奇數項的和為 （ ） ABCD 9一個只有有限項的等差數列，它的前5項的和為34，最后5項的和為146所有項的和為234，則它的第七項等于（ ）A22B21C19D1810等差數列中，0，若1且，則的值是 （ ） A 10 B 19 C20 D38二、填空題：請把答案填在題中橫線上。11已知是等差數列，且 則k= .12在ABC中，A，B，C成等差數列，則 . 13在等差數列中，若，則 .14是等差數列的前n項和

11、，(n5，)， =336，則n的值是 .三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15己知為等差數列，若在每相鄰兩項之間插入三個數，使它和原數列的數構成一個新的等差數列，求：（1）原數列的第12項是新數列的第幾項？ （2）新數列的第29項是原數列的第幾項？16數列是首項為23，公差為整數的等差數列，且第六項為正，第七項為負。 （1）求數列公差；（2）求前項和的最大值；（3）當時，求的最大值。17設等差數列的前項的和為S n ,且S 4 =62, S 6 =75,求： （1）的通項公式a n 及前項的和S n ； （2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+|a 14 |.18已知

12、數列，首項a 1 =3且2a n+1=S n ·S n1 (n2). （1）求證：是等差數列,并求公差；（2）求a n 的通項公式； （3）數列an 中是否存在自然數k0,使得當自然數kk 0時使不等式a k>a k+1對任意大于等于k的自然數都成立,若存在求出最小的k值,否則請說明理由.答案：選擇題：ABCCB DABDA填空題：118； 12； 1324； 1421.解答題：15分析：應找到原數列的第n項是新數列的第幾項，即找出新、舊數列的對應關系。解：設新數列為即3=2+4d，即原數列的第n項為新數列的第4n3項（1）當n=12時，4n3=4×123=45，故原數列的第12項為新數列的第45項；（2）由4n3=29,得n=8，故新數列的第29項是原數列的第8項。說明：一般地，在公差為d的等差數列每相鄰兩項之間插入m個數,構成一個新的等差數列，則新數列的公差為原數列的第