三點共線、線共點

1、第三講點共線、線共點在本小節(jié)中包括點共線、線共點的一般證明方法及梅涅勞斯定理、 塞瓦定理 的應(yīng)用。1點共線的證明點共線的通常證明方法是：通過鄰補角關(guān)系證明三點共線；證明兩點的連線 必過第三點；證明三點組成的三角形面積為零等。 n（n4）點共線可轉(zhuǎn)化為三點 共線。例1如圖，設(shè)線段AB的中點為C,以AC和CB為對角線作平行四邊形 AECD,BFCG。又作平行四邊形 CFHD , CGKE。求證：H , C, K三點共線B知四邊形AKGD 同樣可證 行四邊形，其對 是AB中點，線 三點共線。證連 AK, DG, HB。由題意，ADECKG, 是平行四邊形，于是AK仝DG。 AKHB。四邊形AHBK是

2、平 角線AB, KH互相平分。而C 段KH過C點，故K, C, H例2如圖所示，菱形ABCD中，/ A=120°,點0ABC外接圓，M為其上AFDCE一點，連接 MC交AB于E, AM交CB延長線于F。求證：D , E, F三 點共線。證女口圖，連AC, DF , DE。因為M在0 上,貝U/ AMC=60° =Z ABC=Z ACB, 有厶 AMCsA ACF, 得MCMACF。CD又因為/ AMC=BAC，所以 AMCEAC, 得MCMAACAD。AEAECF AD所以 C-二，又/ BAD= / BCD=120。，知 CFDsCD AE ADE。所以/ ADE=/ D

3、FB。因為 AD / BC,所以/ ADF = / DFB=/ ADE, 于 是F, E, D三點共線。QE和QF，切點分別為E，F(xiàn)。例3四邊形ABCD內(nèi)接于圓，其邊AB與DC的延長線交于點P, AD與BC的 延長線交于點Q。由Q作該圓的兩條切線 求證：P, E，F(xiàn)三點共線。PF與圓的另 易如證 如圖。連接PQ，并在PQ上取一點M，使得 B，C，M，P四點共圓，連 CM，PF。設(shè) 一交點為E'并作QG丄PF，垂足為G。QE2=QM QP=QC QB / PMC = Z ABC= / PDQ。從而C，D，Q，M四點共圓，于是 PM PQ=PC PD 由，得PM PQ+QM PQ=PC P

4、D+QC QB， 即 PQ =QC QB+PC PD。易知 PD PC=PE' PF，又 QF2=QC QB,有 PE' PF+QF2=PD PC+QC AB=PQ2， 即 PE' PF=PQ2-QF2。又2 2 2 2PQ2 QF2=PG2 GF2=(PG+GF) (PG GF)=PF (PG GF)，從而 PE'=PG GF=PG GE'即 GF=GE'故 E'與 E 重合 所以P, E，F(xiàn)三點共線。例4以圓0外一點P,引圓的兩條切線PA，PB，A，B為切點。割線PCD交 圓0于C, D。又由B作CD的平行線交圓0于E。若F為CD中點

5、，求 證：A, F, E三點共線。BF, OF,證女口圖，連 AF, EF, OA, OB, 0P,P延長FC交BE于Go易女口 0A丄AP, 0B丄BP,OF 丄 CP，所以 P, A, F, 0, B五點共圓，有/ AFP=Z AOP=Z POB= / PFBo又因CD / BE,所以有/ PFB=Z FBE,而FOG為BE的垂直平分線，故 EF=FB,Z FEB=Z EBF,所以/ AFP=Z EFD, A, F, E三點共線。2.線共點的證明證明線共點可用有關(guān)定理(如三角形的3條高線交于一點)，或證明第3條直 線通過另外兩條直線的交點，也可轉(zhuǎn)化成點共線的問題給予證明。例5 以厶ABC的

6、兩邊AB, AC向外作正方形 ABDE, ACFG。 ABC的高為AH。求證：AH, BF, CD交于一點。如圖。延長HA到M , 使 AM=BC。連 CM , BM。 設(shè)CM與BF交于點K。在厶ACM和厶BCF中，AC=CF, AM=BC, / MAC + / HAC=180°, / HAC+Z HCA=90°, 并且/ BCF=90° + Z HCA, 因此Z BCF+Z HAC=180°Z MAC=Z BCF。從而 MACBCF,Z ACM=Z CFB。所以Z MKF = Z KCF + Z KFC = Z KCF + Z MCF=90°

7、, 即BF丄MC。同理 CD 丄 MB。AH , BF, CD MBC 的 3 條高線，故 AH , BF, CD 三線交于一點。例 6 設(shè) PABC 內(nèi)一點，Z APB-Z ACB=Z APC-Z ABC。又設(shè) D, E 分別是厶APB及厶APC的內(nèi)心。證明：AP, BD, CE交于一點C別為R, S, To CE交AP于證 如圖，過P向三邊作垂線，垂足分 連 RS, ST, RT,設(shè) BD 交 AP 于 M,N。易知 P, R, A, S; P, T, B, R; P, S, C, T分別四點共圓，貝UZ APB-Z ACB=Z PAC+Z PBC=Z PRSZ PRT =Z SRT。同理

8、，Z APC-Z ABC=Z RST,由條件知Z SRT= Z RST,所以RT=STo又 RT=PBsinB, ST=PCsinC, 所以 PBsinB=PCsinC,那么PB PCoAB AC由角平分線定理知ANAC AB AMNPPC PB MP故M , N重合，即AP, BD , CE交于一點。例7 C-:O1與 O2外切于P點，QR為兩圓的公切線，其中Q, R分別為°02上的切點，過Q且垂直于QO2的直線與過R且垂直于RO1的直線交于點I, IN垂直于O1O2,垂足為N, IN與QR交于點M o證明：PM, RO1, QO2三條直線父于一點。證 如圖，設(shè)ROi與Q02交于點

9、0,連 MO, P0。因為/ 0iQM = Z OiNM=90°,所以 Q, 共圓，有/ QMI = Z QO1O2。而/ IQO2=90° =Z RQOi,所以/ IQM = Z O2QO1,Oi, N, M四點QOiQMOi O2MI同理可證需=晉。因此QM _ QOiMR 一 RO2因為QOi / RO2，所以有OQ _ QOiOR - RO2由，得 MO / QOi。 又由于 OiP=OiQ, PO2=RO2,所以 OiO = OiQ = OiP OR RO2 PO2 '即 OP/ RO2。從而 MO / QOi / RO2/ OP, 故 M, O, P 三

10、點共線，所以 PM, ROi, QO2三條直線相交于同一點。3.塞瓦定理、梅涅勞斯定理及其應(yīng)用定理1(塞瓦(Ceva)定理):設(shè)P, Q, R分別是 ABC的BC, CA, AB邊上的點。若 AP, BQ, CR相交于一點M，則BP血亠。PC QA RB證 如圖，由三角形面積的性質(zhì)，有AR S.amcbpSambRB S BMCPCS AmcCQSBMCQAMB以上三式相乘，得匹d塑=i.PC QA RB故厶 QIMQO2O1，得定理2 （定理1的逆定理）:設(shè) P, Q, R 分別是 ABC 的 BC, CA, AB 上的點。若CQ = 1,PC QA RB則AP, BQ, CR交于一點。證

11、如圖，設(shè)AP與BQ交于M，連CM，交AB于R'BP CQ AR'BP CQ AR由疋理1有1 .而1,所以PC QA R'BPC QA RBAR' ARR'B 一 RB .于是R'與R重合，故AP, BQ, CR交于一點定理3 （梅涅勞斯（Menelaus）定理）:一條不經(jīng)過 ABC任一頂點的直線和三角形三邊 BC, CA, AB（或它們的延長線）分別交于P, Q, R,則BP CQ AR 1 PC QA RB -證 如圖，由三角形面積的性質(zhì)，有ARRBS.ARPS.BRPBPPCS BRPS.CPRCQS£RPQAS.ARP將以上三式

12、相乘，得匹空，1.PC QA RB定理4 （定理3的逆定理）:CA, AB或它們延長線上的3點。若設(shè)P, Q, R分別是 ABC的三邊BC,BP CQ ARPC QA RB則P, Q, R三點共線。定理4與定理2的證明方法類似。塞瓦定理和梅涅勞斯定理在證明三線共點和三點共線以及與之有關(guān)的題目 中有著廣泛的應(yīng)用。例8如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分/ BAD。在CD上取一點E,BE與AC相交于F，延長DF交BC于G。求證：/ GAC=Z EAC。 證 如圖，連接BD交AC于H ,的延長線于J。對厶BCD用塞瓦定理，可得過點C作AB的平行線交AG的延長線于I，過點C作AD的平行線交AECG

13、 BH DE ,1 GB HD EC因為AH是/ BAD的角平分線,由角平分線定理知代入式得BH ABHD ADDE ADEC 一 CJCG AB DE ,1 GB AD EC因為 CI / AB, CJ / AD，貝U 箜=GB AB 代入式得CI AB AD ,1 . AB AD CJ從而CI=CJ。又由于/ACI=180°-Z BAC=180°-Z DAC=ZACJ,所以 ACIACJ，故/ IAC= / JAC，即/GAC=Z EAC.例9 ABCD是一個平行四邊形，E是AB上的一點，F(xiàn)為CD上的一點。AF交ED于G，EC交FB于H。連接線段GH并延長交AD于L,交

14、BC于M 求證：DL=BM.證 如圖，設(shè)直線LM與BA的延長線交于點J,與DC的延長線交于點I。 在厶ECD與厶FAB中分別使用梅涅勞斯定理，得EG DI CH ,1 ,IC HE因為 AB/ CD,GDEGAGGF HB JA所以CHFHGD從而GF ' DIHEBJHBCD CIICJACIBMAG FH BJAB AJ，故 CI=AJ.而 AJBJ DI DLMC CI AJ LA '且 BM+MC=BC=AD=AL+LD.所以 BM=DL。例10在直線I的一側(cè)畫一個半圓T, C, D是T上的兩點，T上過C和D的切 線分別交I于B和A,半圓的圓心在線段BA 上, E是線段

15、AC和BD的 交點，F(xiàn)是I上的點，EF垂直I。求證：EF平分/ CFD。證 如圖，設(shè)AD與BC相交于點P,I 于 H，連 OD, OC, 0P。由題意知 RtAOADsRtAPAH, 于是有AH _ HP AD DO .類似地，RtA OCBs RtA PHB, 則有用O表示半圓T的圓心。過P作PH丄BH HPBC - CO由 CO=DO，有 AH = BH，從而AHBCPD=i.AD BCHBCPDA由塞瓦定理的逆定理知三條直線AC，BD,PH相交于-一點，即E在PH點H與F重合。因/ ODP= / OCP=90。，所以O(shè), D，C,P四點共圓，直徑為OP.又/PFC=90。，從而推得點F也

16、在這個圓上，因此EBCSFAB，DC延長P為圓上任意S.若對角線AiDi， BiEi，/ DFP = / DOP=Z COP=Z CFP, 所以EF平分/ CFD。例11如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓， 線交于E,AD、BC延長線交于F， 一點，PE，PF分別交圓于R， AC與BD相交于T.求證：R，T，S三點共線。先證兩個引理。引理1:A1B1C1D1E1F1為圓內(nèi)接六邊形，若BiAiCiFiEiDi根據(jù)圓內(nèi)接多CiFi交于一點，則有Ai B C1D1 E-i F-i1.B1C1 D1E1 F1AI如圖，設(shè)AiDi，BiEi，CiFi交于點O, 邊形的性質(zhì)易知 OAiBisA OEiDi， O

17、BiCisA OFiEi, OCiDisA OAiFi，從而有A BiBiO Ei FiFiO Ci DiDiODi EiDQ' B CiBQ' Fi AFiO將上面三式相乘即得 旦.CD1 .旦E "，BiCi DiEi Fi A|引理2:圓內(nèi)接六邊形AiBiCiDiEiFi，若滿足Ai Bi Ci Di Ei FiBiCi Di Ei FiAi則其三條對角線AiDi，BiEi，CiFi交于一點。該引理與定理2的證明方法類似，留給讀者。例ii之證明如圖，連接 PD，AS，RC，BR，AP，SD. 由厶 EBRsA EPA，A FDSsA FPA，知兩式相乘，得BR

18、EB PAPA 一 EP ' DSFPFDBR EB FPDS 一 EP FD又由 ECRsA EPD, FPDFAS,CRPDPDASFP.兩式相FA乘，得由，得EBAFDC*=1BAFDCEBRCDSARCDSAB=1.CRAS 'EC FP_ EPFABRASEBFA.故DSCRECFDBRCDSAEBAFDCRCDSAB-BAFDCE由，得對厶EAD應(yīng)用梅涅勞斯定理，有S三點共線。由引理2知BD，RS, AC交于一點，所以R，T，A組1. 由矩形ABCD的外接圓上任意一點 M向它的兩對邊引垂線 MQ和MP,向另 兩邊延長線引垂線MR, MT。證明：PR與QT垂直，且它們

19、的交點在矩形的 一條對角線上。2. 在厶ABC的BC邊上任取一點 P,作PD / AC，PE/ AB，PD，PE和以AB， AC為直徑而在三角形外側(cè)所作的半圓的交點分別為 D , E。求證：D, A, E 三點共線。3. 一個圓和等腰三角形 ABC的兩腰相切，切點是D, E,又和 ABC的外接圓 相切于F。求證： ABC的內(nèi)心G和D, E在一條直線上。4. 設(shè)四邊形ABCD為等腰梯形，把 ABC繞點C旋轉(zhuǎn)某一角度變成 A'B'C' 證明：線段A'D, BC和B'C的中點在一條直線上。5. 四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,對角線AC與BD相交于P。設(shè)三角形ABP, BCP,CDP和DAP的外接圓圓心分別是 Oi, O2, O3, 04。求證：OP, O1O3, O2O4