幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型liushihonmg

1、：3.2.1幾類不同增幾類不同增 長(zhǎng)的函數(shù)模型長(zhǎng)的函數(shù)模型一般思路可表示如下：一般思路可表示如下： 解決應(yīng)用題的一般程序是：解決應(yīng)用題的一般程序是：審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；順數(shù)量關(guān)系；建模：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利建模：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；還原：將用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論還原：將用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論，還原為實(shí)際問題的意義，還原為實(shí)際問題的意義 例例1 假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資

2、假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下： 方案一：每天回報(bào)方案一：每天回報(bào)40元；元； 方案二：第一天回報(bào)方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多元，以后每天比前一天多回報(bào)回報(bào)10元；元； 方案三：第一天回報(bào)方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番前一天翻一番 請(qǐng)問，你會(huì)選擇哪種投資方案？請(qǐng)問，你會(huì)選擇哪種投資方案？ 題目中涉及哪些數(shù)量關(guān)系？如何用函數(shù)描述這些題目中涉及哪些數(shù)量關(guān)系？如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？數(shù)量關(guān)系？解：設(shè)第解：設(shè)第x天所得回報(bào)是天所得回報(bào)是y元，則元，則方案一：方

3、案一：)(40*Nx y 方案二：方案二：)(10*Nxx y 方案三：方案三：)(24 . 0*1Nx yx 例題講解例題講解我們來(lái)計(jì)算三種方案所得回報(bào)的增長(zhǎng)情況：我們來(lái)計(jì)算三種方案所得回報(bào)的增長(zhǎng)情況：x/天天方案一方案一y=40方案二方案二y=10 x方案三方案三y=0.42x-1y/元元y/元元y/元元增加量增加量增加量增加量增加量增加量1234040400010203010100.40.81.60.4 0.804567830 4040404040400000040506070803001010101010103.26.412.825.651.2 214748364.8 1.6 3.2

4、6.4 12.8 25.6107374182.4從從表格中獲取信息，體會(huì)表格中獲取信息，體會(huì)三種函數(shù)的增長(zhǎng)差異三種函數(shù)的增長(zhǎng)差異。xyO 底數(shù)為底數(shù)為2 的指數(shù)函數(shù)模的指數(shù)函數(shù)模型比線性函數(shù)型比線性函數(shù)模型增長(zhǎng)速度模型增長(zhǎng)速度要快得多從要快得多從中你對(duì)中你對(duì)“指數(shù)指數(shù)爆炸爆炸”的函義的函義有什么新的理有什么新的理解？解？ 你能通過圖象描述一下三種你能通過圖象描述一下三種方案的特點(diǎn)嗎？方案的特點(diǎn)嗎？下面再看累計(jì)的回報(bào)數(shù)：下面再看累計(jì)的回報(bào)數(shù)：結(jié)論結(jié)論：投資投資16天天,應(yīng)選擇方案一應(yīng)選擇方案一;投資投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；投資天，應(yīng)選擇方案一或方案二；投資8 10天，應(yīng)選擇方案二；投資天

5、，應(yīng)選擇方案二；投資11天天(含含11天天)以上，應(yīng)選擇方案三。以上，應(yīng)選擇方案三。天天數(shù)數(shù)回報(bào)回報(bào)/元元方案方案一一二二三三401 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1180 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 6600.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 例例2 某公司為了實(shí)現(xiàn)某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到定一個(gè)激勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在

6、銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)萬(wàn)元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）（單位：萬(wàn)元）隨銷售利潤(rùn)隨銷售利潤(rùn)x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過數(shù)不超過5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的25%?，F(xiàn)有三。現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型： 其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？,002. 1, 1log,25. 07x yx yxy 題目中涉及了哪幾類函數(shù)模型？本例的實(shí)質(zhì)是什題目中涉及了哪幾類函數(shù)模型？本例的實(shí)質(zhì)是什么？么？線性函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函線性函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)數(shù)對(duì)比三種

7、函數(shù)的增長(zhǎng)差異對(duì)比三種函數(shù)的增長(zhǎng)差異例題講解例題講解y0.25X1log7 xyxy002. 1 一次函數(shù)一次函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù) 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 模型限制條件：模型限制條件：1.獎(jiǎng)金總數(shù)不超過獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬(wàn)元萬(wàn)元2.獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的25%我們不妨先作出函數(shù)圖象：我們不妨先作出函數(shù)圖象：通過觀察函數(shù)圖象通過觀察函數(shù)圖象得到初步結(jié)論：按得到初步結(jié)論：按對(duì)數(shù)模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)對(duì)數(shù)模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)符合公司的要求。時(shí)符合公司的要求。400600800 1000 1200200 1 2 3 45678xyo對(duì)數(shù)增長(zhǎng)模型比對(duì)數(shù)增長(zhǎng)模型比較適合于描述增較適合于描述增長(zhǎng)速度平緩的變長(zhǎng)速度平緩的

8、變化規(guī)律?；?guī)律。y=5y=0.25x1log7xyxy002. 1下面列表計(jì)算確認(rèn)上述判斷：下面列表計(jì)算確認(rèn)上述判斷：y2.51.02 2.1851.04 2.544.954.445.044.4424.55模型模型獎(jiǎng)金獎(jiǎng)金/萬(wàn)元萬(wàn)元利潤(rùn)利潤(rùn)10208008101000y0.25X1log7xyxy002. 1我們來(lái)看函數(shù)我們來(lái)看函數(shù) 的圖象的圖象:xxy25. 01log77綜上所述綜上所述:模型模型 確實(shí)符合公司要求確實(shí)符合公司要求.1logxy問題問題:當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),獎(jiǎng)金是否不超過利潤(rùn)的獎(jiǎng)金是否不超過利潤(rùn)的25%呢呢?1000,10 xxo10 xxfxf25.01log03167.0)1

9、0()(7即比較函數(shù)比較函數(shù),2xy ,2xy xy2log 的增長(zhǎng)快慢的增長(zhǎng)快慢.8642-22468xyO你能分別求出使你能分別求出使222logxxx xxx2log22 成立的成立的x的取值的取值范圍嗎？范圍嗎？xy22xy xy2log例例3 3 一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時(shí)間一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時(shí)間的關(guān)系如圖所示：的關(guān)系如圖所示：（1 1）求圖中陰影部分的面積，并說(shuō)明所求面積）求圖中陰影部分的面積，并說(shuō)明所求面積的實(shí)際含義；的實(shí)際含義；（2 2）假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路）假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為程前的讀數(shù)為2004 km2004

10、 km，試建立汽車行駛這段路試建立汽車行駛這段路程時(shí)汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)程時(shí)汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)s kms km與時(shí)間與時(shí)間t ht h的函數(shù)解析的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象式，并作出相應(yīng)的圖象908070605040302010vt12345解解(1)(1)陰影部分的面積為陰影部分的面積為陰影部分的面積表示汽車在這陰影部分的面積表示汽車在這5 5小時(shí)小時(shí)內(nèi)行駛的路程為內(nèi)行駛的路程為360km360km360165175190180150 (2)(2)根據(jù)圖形可得根據(jù)圖形可得：S200450t10 t2054)1(80t21 t2134)2(90t32 t2224)3(75t43 t2299)4(65t

11、54 t這個(gè)函數(shù)的圖像如下圖所示：這個(gè)函數(shù)的圖像如下圖所示： 例例4， 一家報(bào)刊推銷員從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙一家報(bào)刊推銷員從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的價(jià)格是每份的價(jià)格是每份0.20元，賣出的價(jià)格是每元，賣出的價(jià)格是每份份0.30元，賣不完的還可以以每份元，賣不完的還可以以每份0.08元的價(jià)格退回報(bào)社在一個(gè)月（以元的價(jià)格退回報(bào)社在一個(gè)月（以30天天計(jì)算）有計(jì)算）有20天每天可賣出天每天可賣出400份，其余份，其余10天只能賣天只能賣250份，但每天從報(bào)社買進(jìn)份，但每天從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的份數(shù)都相同，問應(yīng)該從報(bào)社買多報(bào)紙的份數(shù)都相同，問應(yīng)該從報(bào)社買多少份才能使每月所獲得的利潤(rùn)最大？并少份才能使每月所獲得的利潤(rùn)最大？并計(jì)算

12、每月最多能賺多少錢？計(jì)算每月最多能賺多少錢？解析：本題所給條件較多，數(shù)量關(guān)系比較復(fù)解析：本題所給條件較多，數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，可以列表分析：雜，可以列表分析：y在在x 250，400上是一次函數(shù)上是一次函數(shù) 數(shù)量(份)價(jià)格(元)金額(元)買進(jìn)30 x0.206x賣出20 x+10*2500.306x+750退回10(x-250)0.080.8x-200則每月獲利潤(rùn)則每月獲利潤(rùn)y（6x750）（）（0.8x200）6x0.8x550（250 x400） x400份份時(shí)，時(shí)，y取得最大值取得最大值870元元 答：每天從報(bào)社買進(jìn)答：每天從報(bào)社買進(jìn)400份時(shí)，每月獲的利潤(rùn)最大，最大利份時(shí)，每月獲的利潤(rùn)最

13、大，最大利潤(rùn)為潤(rùn)為870元元 例例2一家報(bào)刊推銷員從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的價(jià)格是每份一家報(bào)刊推銷員從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的價(jià)格是每份0.20元，賣出的價(jià)元，賣出的價(jià)格是每份格是每份0.30元，賣不完的還可以以每份元，賣不完的還可以以每份0.08元的價(jià)格退回報(bào)社在一元的價(jià)格退回報(bào)社在一個(gè)月（以個(gè)月（以30天計(jì)算）有天計(jì)算）有20天每天可賣出天每天可賣出400份，其余份，其余10天只能賣天只能賣250份，份，但每天從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的份數(shù)都相同，問應(yīng)該從報(bào)社買多少份才能使每但每天從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的份數(shù)都相同，問應(yīng)該從報(bào)社買多少份才能使每月所獲得的利潤(rùn)最大？并計(jì)算每月最多能賺多少錢？月所獲得的利潤(rùn)最大？并計(jì)算每月最多能賺

14、多少錢？例例52. 某桶裝水經(jīng)營(yíng)部每天的房租、人員工某桶裝水經(jīng)營(yíng)部每天的房租、人員工資等固定成本為資等固定成本為200元，每桶水的進(jìn)價(jià)元，每桶水的進(jìn)價(jià)是是5元元.銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如下表所示：下表所示：銷售單價(jià)銷售單價(jià)/元元6789101112日均銷售日均銷售量量/桶桶480 440 400 360320280240請(qǐng)據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個(gè)經(jīng)營(yíng)部怎請(qǐng)據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個(gè)經(jīng)營(yíng)部怎樣定價(jià)才能獲得最大利潤(rùn)？樣定價(jià)才能獲得最大利潤(rùn)？解：設(shè)在進(jìn)價(jià)基礎(chǔ)上增加x元后，日均銷售利潤(rùn)為y元。而此時(shí)，日均銷售量為480-40（x-1）=520-40 x又因?yàn)閤0,且520

15、-40 x0,所以0 x13結(jié)合函數(shù)的圖象，容易知道當(dāng)x=6.5時(shí)，y有最大值所以，當(dāng)單價(jià)定為6.5+5=11.5(元)時(shí),就可以獲得最大利潤(rùn).200)40520(xxy所以利潤(rùn)200520402xx6.5130 xy例6 某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表:身高/cm60708090100110120130140150160170體重/kg6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05分析:根據(jù)表格的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖.(1)根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù),能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型,使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重ykg與身

16、高xcm的函數(shù)關(guān)系?試寫出這個(gè)函數(shù)模型的解析式.(2)若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖,低于0.8倍為偏瘦,那么這個(gè)地區(qū)一名身高為175cm,體重為78kg的在校男生的體重是否正常?xy0觀察發(fā)現(xiàn),這些點(diǎn)的連線是一條向上彎曲的曲線.根據(jù)這些點(diǎn)的分布情況,可考慮用 這一函數(shù)模型來(lái)近似刻畫這個(gè)地區(qū)未成年男性體重y與身高x的函數(shù)關(guān)系. xbay例6 某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表:身高/cm60708090100110120130140150160170體重/kg6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.

17、05(1)根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù),能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型,使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系?試寫出這個(gè)函數(shù)模型的解析式.解:(1)以身高為橫坐標(biāo),體重為縱坐標(biāo),畫出散點(diǎn)圖.根據(jù)點(diǎn)的分布特征可考慮用 這一函數(shù)模型來(lái)近似刻畫這個(gè)地區(qū)未成年男性體重與身高的函數(shù)模型. xbay1607025.47,9 . 7baba.02. 1, 2ba用計(jì)算器算得這樣我們就得到一個(gè)函數(shù)模型:xy02. 12將已知數(shù)據(jù)代入上述函數(shù)解析式,或作出上述函數(shù)的圖象,可發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好,這說(shuō)明它能較好地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重與身高的關(guān)系.例例6 某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表:身高/cm6070809010011012013014