基于MATLAB的科學(xué)計(jì)算—線性方程組1

1、科學(xué)計(jì)算理論、方法及其基于的程序?qū)崿F(xiàn)與分析三、 解線性方程組（線性矩陣方程）解線性方程組是科學(xué)計(jì)算中最常見的問題。所說的“最常見”有兩方面的含義：） 問題的本身是求解線性方程組；） 許多問題的求解需要或歸結(jié)為線性方程組的求解。關(guān)于線性方程組（）其求解方法有兩類：） 直接法：高斯消去法（Gaussian Elimination）；） 間接法：各種迭代法（Iteration）。、高斯消去法） 引例考慮如下（梯形）線性方程組：高斯消去法的求解思路：把一般的線性方程組（）化成（上或下）梯形的形式。）高斯消去法示例考慮如下線性方程組：） 第一個(gè)方程的兩端乘加到第二個(gè)方程的兩端，第一個(gè)方程的兩端乘加到第三

2、個(gè)方程的兩端，得）第二個(gè)方程的兩端乘加到第三個(gè)方程的兩端，得） 從上述方程組的第三個(gè)方程依此求解，得）高斯消去法的不足及其改進(jìn)高斯（全、列）主元素消去法在上例中，由于建模、計(jì)算等原因，系數(shù)2.001而產(chǎn)生0.0005的誤差，實(shí)際求解的方程組為注：數(shù)值穩(wěn)定的算法高斯列主元素消去法就是在消元的每一步選?。校┲髟匾涣兄薪^對(duì)值最大的元取做主元素，高斯列主元素消去法是數(shù)值穩(wěn)定的方法。列主元素消去法的基本思想：在每輪消元之前，選列主元素（絕對(duì)值最大的元素）,使乘數(shù).列主元素消去法的步驟：設(shè)已經(jīng)完成第1步到第步的按列選主元、交換兩行、消元計(jì)算，得到矩陣.第步計(jì)算如下：對(duì)于，（1） 選列主元素，即確定使；

3、（2） 如果，則方程組解不唯一，或者接近奇異矩陣，停止運(yùn)算；（3） 如果，則交換第行與第行元素；（4） 消元計(jì)算： （5） 回代計(jì)算：完全主元素消去法即是每次選主元時(shí)，依次按行、列選取絕對(duì)值最大的元素作為主元素，然后交換兩行、兩列，再進(jìn)行消元計(jì)算.完全主元素消去法的步驟：設(shè)已經(jīng)完成第1步到第步的選主元、交換行和列、消元計(jì)算，得到矩陣.第步計(jì)算選主元素的范圍為，即確定使.第步計(jì)算如下：對(duì)于，（1） 選主元素，即確定使；（2） 如果，則方程組解不唯一，或者接近奇異矩陣，停止運(yùn)算；（3） 如果，則交換第行與第行元素；如果，則交換第列與第列元素；（4） 消元計(jì)算： （5） 回代求解.【注】 完全主元消

4、去法是解低階稠密矩陣方程組的有效方法，但完全主元消去法解方程組，在選主元素時(shí)要化費(fèi)較多的計(jì)算機(jī)時(shí)間，行主元消去法與列主元消去法運(yùn)算量大體相同，實(shí)際計(jì)算時(shí)，用列主元消去法即可滿足一定的精度要求.對(duì)同一數(shù)值問題，用不同的計(jì)算方法，所得結(jié)果的精度大不一樣.對(duì)于一個(gè)算法來說，如果計(jì)算過程中舍入誤差能得到控制，對(duì)計(jì)算結(jié)果影響較小，則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的；否則，如果計(jì)算過程中舍入誤差增長迅速，計(jì)算結(jié)果受舍入誤差影響較大，則稱此算法為數(shù)值不穩(wěn)定的.因此，我們解數(shù)值問題時(shí)，應(yīng)選擇和使用數(shù)值穩(wěn)定的算法，否則如果使用數(shù)值不穩(wěn)定的算法，就可能導(dǎo)致計(jì)算失敗.）高斯列主元素消去法的MATLAB實(shí)現(xiàn)：，意為例 Linea

5、rEquiation02.mopen LinearEquiation02 LinearEquiation02 一個(gè)典型的例子: Hilbert矩陣:注: 非奇異矩陣的條件數(shù): ）分解（Factorization）（高斯消去法、Doolittle分解）高斯消去法的消元過程，從代數(shù)運(yùn)算的角度看就是用一個(gè)下三角矩陣左乘方程組的系數(shù)矩陣，且乘積的結(jié)果為上三角矩陣，即 ()可通過直接用A元素計(jì)算矩陣A的三角分解矩陣L和U.這種直接計(jì)算A的三角分解的方法有實(shí)用上的好處.下面利用矩陣乘法規(guī)則來確定三角矩陣L和U.第一步：利用A的第一行、第一列元素確定U的第一行、L的第一列元素.由矩陣乘法，得到,. （3.7

6、）設(shè)已經(jīng)計(jì)算出U的第1至r -1行元素，L的第1至r -1列元素，現(xiàn)在要計(jì)算U的第r行元素及L的第r列元素.第r步：利用A的第r行、第r列剩下的元素確定U的第r行、L的第r列元素.由矩陣乘法，有，得U的第r行元素為. （3.8）由，得. （3.9）例5 用LU分解法求解方程組.解 對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行LU分解，.由，有.，.因此.解方程組，得.解方程組，得.6） LU 分解的MATLAB實(shí)現(xiàn)：或例 A=rand(5);L,U，P=lu(A)A=rand(5);L,U,P=lu(A)L=PL 當(dāng)是主對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角矩陣時(shí)，基于Doolittle分解可得到解這類方程組的追趕法。、Cholesky分解

7、(Cholesky Factorization)對(duì)稱正定矩陣的Cholesky分解和以為系數(shù)矩陣地的線性方程組的改進(jìn)的平方根法：設(shè)階方程組，是對(duì)稱正定矩陣(Positive Definite Matrix)，則有三角分解.再將分解為,則.（1） 對(duì)稱正定矩陣有唯一的分解這是由于，且對(duì)稱陣，則有再利用三角分解的唯一性，得.因此，對(duì)稱正定矩陣有唯一的分解.（2） 是正定對(duì)角陣（即）由于對(duì)稱正定的充要條件是對(duì)稱正定，其中是階可逆方陣.取，就推知是正定對(duì)角陣.因此的對(duì)角元素，記，其中,則.（3） 喬萊斯基（Cholesky）分解將記為，則稱為Cholesky分解.利用Cholesky直接分解公式，推導(dǎo)

8、出的解方程組方法，稱為Cholesky方法或平方根法.（4） 解方程組的平方根法（Cholesky方法）由Cholesky分解，有. （3.10）利用矩陣乘法，逐步確定的第行元素.由（當(dāng)時(shí)，），有分解公式：對(duì)于 （3.11）將對(duì)稱正定矩陣作Cholesky分解后，則解方程組就轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)三角方程組.例7 用Cholesky方法解方程組.解 對(duì)系數(shù)矩陣作Cholesky分解得到.解，得.解，得.cholesky分解的MATLAB的實(shí)現(xiàn)：L=chol(A)。3、追趕法在許多實(shí)際問題中，如，常微分方程兩點(diǎn)邊值問題、三次樣條插值方法等，往往遇到線性方程組的求解，其中. （3.13）稱具有公式（3.13

9、）形式的系數(shù)矩陣為三對(duì)角陣,稱相應(yīng)的線性方程組為三對(duì)角方程組（Tridiagonal Linear Systems).具有這種形式的方程組在實(shí)際問題中是經(jīng)常遇到的，而且往往是對(duì)角占優(yōu)（Diagonally Dominant）的.滿足條件： ，.這類方程組的解存在唯一（非奇異），可以直接利用高斯消去法或直接分解法，而其解答可以用極其簡單的遞推公式表示出來，即下面介紹的追趕法.追趕法通常是數(shù)值穩(wěn)定的.對(duì)作LU分解（Doolitle分解），可以發(fā)現(xiàn)L、U具有非常簡單的形式.由矩陣乘積，得.比較等式兩端，得到 （3.14）因?yàn)樯鲜龇纸?，則方程組的求解轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)簡單的三角方程組和，從而得到求解方程組的

10、算法公式.先解，即. （3.15）再解，即. （3.16）這種把三對(duì)角方程組的解用遞推公式（3.14）、（3.15）、（3.16）表示出來的方法形象化地叫做追趕法，其中（3.14）、（3.15）是關(guān)于下標(biāo)由小到大的遞推公式稱為追的過程，而（16）卻是下標(biāo)由大到小的遞推公式稱為趕的過程，一追一趕構(gòu)成了求解的追趕法.例9 用追趕法解三對(duì)角方程組.解 系數(shù)矩陣分解得到.解，得.解，得.調(diào)用函數(shù)LU_Factorization.m解例9.輸入 A=4 -1 0;-1 4 -1;0 -1 4;b=1;3;2;x,L,U,index=LU_Factorization(A,b)得到方程組的解及相應(yīng)的LU分解

11、矩陣：x = 0.5179 L= 1.0000 0 0 U= 4.0000 -1.0000 0 1.0714 -0.2500 1.0000 0 0 3.7500 -1.0000 0.7679 0 -0.2667 1.0000 0 0 3.7333為了對(duì)線性方程組的直接法作出誤差分析，為了討論方程組迭代法的收斂性，需要對(duì)向量和矩陣的大小進(jìn)行度量，進(jìn)而引入了范數(shù)用于度量“量”的大小的概念、 引言實(shí)數(shù)的絕對(duì)值：是數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；復(fù)數(shù)的模：是平面上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；還有其他刻畫復(fù)數(shù)大小的方法（準(zhǔn)則）：如）；）向量的內(nèi)積、范數(shù)及維空間距離的度量令是一數(shù)域，是上的向量空間，如果函數(shù)有如下性質(zhì)：、共

12、軛對(duì)稱性：，；、非負(fù)性：，；、線性性：，；則稱是上的一個(gè)向量內(nèi)積（inner product），向量空間上的向量內(nèi)積通常用符號(hào)表示，定義了內(nèi)積的向量空間稱為內(nèi)積空間（inner product space）。記做表示。例，容易驗(yàn)證函數(shù)（）定義了上的一個(gè)內(nèi)積。令是一數(shù)域，是上的向量空間，如果函數(shù)有如下性質(zhì)：、非負(fù)性：，；、齊次性：，；、三角不等式：，；則稱是上的一個(gè)向量范數(shù)（norm），向量空間上的范數(shù)通常用符號(hào)表示。定義了范數(shù)的向量空間稱為賦范空間（normed space）。記做表示。例，容易驗(yàn)證函數(shù) （）定義了上的一個(gè)范數(shù)，這樣定義的范數(shù)稱為由內(nèi)積（）誘導(dǎo)的范數(shù)。例上常用的向量范數(shù)：，、范數(shù)：；、范數(shù)：；、范數(shù)：；令是一數(shù)域，是上的向量空間，如果實(shí)值函數(shù)有如下性質(zhì)：、對(duì)稱性：，；、非負(fù)性：，、三角不等式：，；則稱是上的一個(gè)距離（函數(shù)）（distance function）或度量（metric），定義了度量的向量空間稱為度量空間（metric space），記做表示。例4上常用的（由范數(shù)誘導(dǎo)的）度量：，、范數(shù)誘導(dǎo)的度量：；、范數(shù)誘導(dǎo)的度量：；、范數(shù)誘導(dǎo)的度量：；矩陣的范數(shù)矩陣是線性映射（當(dāng)時(shí)為線性變換）的一種表現(xiàn)形式。因此，除了可以把矩陣看做向量而定義其范數(shù)外，更為基本、更為重要的是表征其線性映射的