圓的證明與計算題專題研究 答案1份

1、圓的證明與計算 專 題 研 究圓的證明與計算是中考中的一類重要的問題，此題完成情況的好壞對解決后面問題的發(fā)揮有重要的影響，所以解決好此題比較關(guān)鍵。一、考點(diǎn)分析： 1.圓中的重要定理:(1)圓的定義:主要是用來證明四點(diǎn)共圓.(2)垂徑定理:主要是用來證明弧相等、線段相等、垂直關(guān)系等等.(3)三者之間的關(guān)系定理: 主要是用來證明弧相等、線段相等、圓心角相等.(4)圓周角性質(zhì)定理及其推輪: 主要是用來證明直角、角相等、弧相等.(5)切線的性質(zhì)定理:主要是用來證明垂直關(guān)系.(6)切線的判定定理: 主要是用來證明直線是圓的切線.(7)切線長定理: 線段相等、垂直關(guān)系、角相等. 2.圓中幾個關(guān)鍵元素之間的

2、相互轉(zhuǎn)化:弧、弦、圓心角、圓周角等都可以通過相等來互相轉(zhuǎn)化.這在圓中的證明和計算中經(jīng)常用到.二、考題形式分析：主要以解答題的形式出現(xiàn),第1問主要是判定切線；第2問主要是與圓有關(guān)的計算：求線段長（或面積）；求線段比；求角度的三角函數(shù)值（實(shí)質(zhì)還是求線段比）。三、解題秘笈：1、判定切線的方法：（1）若切點(diǎn)明確，則“連半徑，證垂直”。常見手法有：全等轉(zhuǎn)化；平行轉(zhuǎn)化；直徑轉(zhuǎn)化；中線轉(zhuǎn)化等；有時可通過計算結(jié)合相似、勾股定理證垂直；（2）若切點(diǎn)不明確，則“作垂直，證半徑”。常見手法：角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；總而言之，要完成兩個層次的證明：直線所垂直的是圓的半徑（過圓上一點(diǎn)）；直線與半

3、徑的關(guān)系是互相垂直。在證明中的關(guān)鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化,要善于進(jìn)行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線.例：（1）如圖，AB是O的直徑，BCAB，ADOC交O于D點(diǎn)，求證：CD為O的切線；（2）如圖，以RtABC的直角邊AB為直徑作O，交斜邊AC于D，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE，求證：DE是O的切線.（3）如圖，以等腰ABC的一腰為直徑作O，交底邊BC于D，交另一腰于F，若DEAC于E（或E為CF中點(diǎn)），求證：DE是O的切線.（4）如圖，AB是O的直徑，AE平分BAF，交O于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作直線EDAF，交AF的延長線于點(diǎn)D，交AB的延長線于點(diǎn)C，求證：CD是O的切線.2、與圓有關(guān)

4、的計算：計算圓中的線段長或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識的結(jié)合，形式復(fù)雜，無規(guī)律性。分析時要重點(diǎn)注意觀察已知線段間的關(guān)系，選擇定理進(jìn)行線段或者角度的轉(zhuǎn)化。特別是要借助圓的相關(guān)定理進(jìn)行弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，找出所求線段與已知線段的關(guān)系，從而化未知為已知，解決問題。其中重要而常見的數(shù)學(xué)思想方法有：（1）構(gòu)造思想：如：構(gòu)建矩形轉(zhuǎn)化線段；構(gòu)建“射影定理”基本圖研究線段（已知任意兩條線段可求其它所有線段長）；構(gòu)造垂徑定理模型：弦長一半、弦心距、半徑；構(gòu)造勾股定理模型；構(gòu)造三角函數(shù).（2）方程思想：設(shè)出未知數(shù)表示關(guān)鍵線段，通過線段之間的關(guān)系，特別是發(fā)現(xiàn)其中的相等關(guān)系建立方程

5、，解決問題。（3）建模思想：借助基本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問題中的線段關(guān)系，把問題分解為若干基本圖形的問題，通過基本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結(jié)論，進(jìn)而找出隱藏的線段之間的數(shù)量關(guān)系。3、典型基本圖型：圖形1：如圖1：AB是O的直徑，點(diǎn)E、C是O上的兩點(diǎn)，基本結(jié)論有：（1）在“AC平分BAE”；“ADCD”；“DC是O的切線”三個論斷中，知二推一。（2）如圖2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。（3）如圖（4）：若CKAB于K，則：CK=CD；BK=DE；CK=BE=DC；AE+AB=2BK=2AD;ADCACBAC2=ADAB（4）在(1)中的條件、

6、中任選兩個條件，當(dāng)BGCD于E時（如圖5），則：DE=GB；DC=CG；AD+BG=AB；ADBG=DC2 圖形2：如圖：RtABC中，ACB=90°。點(diǎn)O是AC上一點(diǎn)，以O(shè)C為半徑作O交AC于點(diǎn)E，基本結(jié)論有：（1）在“BO平分CBA”;“BODE”;“AB是O的切線”;“BD=BC”。四個論斷中，知一推三。（2）G是BCD的內(nèi)心； ；BCOCDEBODE=COCE=CE2；（3）在圖（1）中的線段BC、CE、AE、AD中，知二求四。（4）如圖（3），若BC=CE，則：=tanADE；BC：AC：AB=3：4：5 ；（在、中知一推二）設(shè)BE、CD交于點(diǎn)H，,則BH=2EH圖形3：如

7、圖：RtABC中，ABC=90°,以AB為直徑作O交AC于D，基本結(jié)論有：如右圖：（1）DE切OE是BC的中點(diǎn)； （2）若DE切O，則：DE=BE=CE； D、O、B、E四點(diǎn)共圓CED=2ACD·CA=4BE2, 圖形特殊化：在（1）的條件下如圖1：DEABABC、CDE是等腰直角三角形；如圖2：若DE的延長線交AB的延長線于點(diǎn)F，若AB=BF，則：;圖形4：如圖，ABC中，AB=AC，以AB為直徑作O，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F，基本結(jié)論有：（1）DEACDE切O；（2）在DEAC或DE切O下，有：DFC是等腰三角形；EF=EC；D是 的中點(diǎn)。與基本圖形1的結(jié)論重合。連A

8、D，產(chǎn)生母子三角形。圖形5：以直角梯形ABCD的直腰為直徑的圓切斜腰于， 基本結(jié)論有：（1）如圖1：AD+BCCD； COD=AEB=90°； OD平分ADC（或OC平分BCD）；（注：在、及“CD是O的切線”四個論斷中，知一推三）AD·BC2=R2；（2）如圖2，連AE、CO，則有：COAE，COAE=2R2(與基本圖形2重合)（3）如圖3，若EFAB于F，交AC于G，則：EG=FG.圖形6：如圖：直線PRO的半徑OB于E，PQ切O于Q，BQ交直線PQ于R。基本結(jié)論有：（1）PQ=PR (PQR是等腰三角形)；（2）在“PROB”、“PQ切O”、“PQ=PR”中，知二推一

9、（3）2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB2圖形7：如圖，ABC內(nèi)接于O，I為ABC的內(nèi)心。基本結(jié)論有：（1）如圖1，BD=CD=ID；DI2DE·DA；AIB=90°+ACB;（2）如圖2，若BAC=60°，則：BD+CE=BC.圖形8：已知，AB是O的直徑，C是 中點(diǎn)，CDAB于D。BG交CD、AC于E、F?；窘Y(jié)論有：（1）CD=BG；BE=EF=CE；GF=2DE(反之，由CD=BG或BE=EF可得：C是 中點(diǎn))（2）OE=AF，OEAC；ODEAGF（3）BE·BG=BD·BA（4）若D是OB的中點(diǎn)

10、，則：CEF是等邊三角形； 四、范例講解：例題1：ABP中，ABP=90°，以AB為直徑作O交AP于C點(diǎn)，弧=，過C作AF的垂線，垂足為M，MC的延長線交BP于D.（1）求證：CD為O的切線；（2）連BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求的值。例題2：直角梯形ABCD中，BCD=90°，AB=AD+BC，AB為直徑的圓交BC于E，連OC、BD交于F.求證：CD為O的切線若，求的值例題3：如圖，AB為直徑，PB為切線，點(diǎn)C在O上，ACOP。（1）求證：PC為O的切線。（2）過D點(diǎn)作DEAB，E為垂足，連AD交BC于G，CG=3，DE=4，求的值。其實(shí)正確的方法是：第一步：證

11、等腰FBD: BDE=BAD(BDEBAD),BAD=CAD(對應(yīng)的弧相等），CAD=CBD(對應(yīng)的弧相同），BDE=CBD,FB=FD。 第二步:證在直角BDG中，F(xiàn)B=FG=FD: 在直角BDG中，GDF+BDF=90,DGB+DBF=90,BDF=DBF,GDF=DGB(等角的余角相等），F(xiàn)D=FG。 FB=FG=FD=5/2(我們證明的是非常經(jīng)典的標(biāo)準(zhǔn)圖形：直角三角形斜邊上的中線=斜邊的一半） 第三步，利用DFM全等于BFE（FB=FD,對頂角，直角分別相等）求各邊邊長：CB=CG+GF+FB=3+5/2+5/2=8，MB=(1/2)*BC=4，MF=MB-FB=4-5/2=3/2，直

12、角DFM中，用勾股定理求出DM=（DF2-MF2)(1/2)。最后，在直角DMB中，tanDBM=DM/MB。又DAC=DBM,tanDAC=tanDBM例題4（2009調(diào)考）：如圖，已知ABC中，以邊BC為直徑的O與邊AB交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為 的中點(diǎn)，AF為ABC的角平分線，且AFEC。（1）求證：AC與O相切；（2）若AC6，BC8，求EC的長五、練習(xí)：1如圖，RtABC，以AB為直徑作O交AC于點(diǎn)D， ，過D作AE的垂線，F(xiàn)為垂足.（1）求證：DF為O的切線；（2）若DF=3，O的半徑為5，求的值.2如圖，AB為O的直徑，C、D為O上的兩點(diǎn)， ，過D作直線BC的垂線交直線AB于點(diǎn)E，F(xiàn)為垂足

13、.（1）求證：EF為O的切線；（2）若AC=6，BD=5，求的值.3如圖，AB為O的直徑，半徑OCAB，D為AB延長線上一點(diǎn)，過D作O的切線，E為切點(diǎn)，連結(jié)CE交AB于點(diǎn)F.（1）求證：DE=DF；（2）連結(jié)AE，若OF=1，BF=3，求的值.連BC，過F作BC的垂線，垂足為H則有等腰RTBFH，角A=角BCEBF=3，F(xiàn)H=BH=（3倍根號2）/2BC=4倍根號2HC=（5倍根號2）/2RTCFH中，tanHCF=3/5=tanA4如圖，RtABC中，C=90°，BD平分ABC，以AB上一點(diǎn)O為圓心過B、D兩點(diǎn)作O，O交AB于點(diǎn)一點(diǎn)E，EFAC于點(diǎn)F.（1）求證：O與AC相切；（2

14、）若EF=3，BC=4，求的值.）連OD在圓O中，OD=OB ODB=OBDBD平分ABC即DBC=OBD ODB=DBCODBC ODA=C=90° O與AC相切；（2）EFAC，C=90° EFA=C=90°EFBC AE/AB=EF/BC=3/4設(shè)AE=3a，AB=4aEB=aEO=OD=0.5a AO=3a+0.5a=3.5a在RTODA中，AD=2倍根號3atanA=OD/AD=0,5a/2倍根號3a=根號3/125如圖，等腰ABC中，AB=AC，以AB為直徑作O交BC于點(diǎn)D，DEAC于E.（1）求證：DE為O的切線；（2）若BC=，AE=1，求的值.

15、6如圖，BD為O的直徑，A為 的中點(diǎn)，AD交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)為BC延長線上一點(diǎn)，且FD=FE.（1）求證：DF為O的切線；（2）若AE=2，DE=4，BDF的面積為，求的值.7、如圖，AB是O的直徑，M是線段OA上一點(diǎn)，過M作AB的垂線交AC于點(diǎn)N，交BC的延長線于點(diǎn)E，直線CF交EN于點(diǎn)F，且ECF=E（1）求證：CF是O的切線；（2）設(shè)O的半徑為1，且AC=CE，求的長8、如圖，AB是O的直徑，BCAB，過點(diǎn)C作O的切線CE，點(diǎn)D是CE延長線上一點(diǎn)，連結(jié)AD，且AD+BC=CD.（1）求證：AD是O的切線；（2）設(shè)OE交AC于F，若OF=3，EF=2，求線段BC的長.9、如圖，ABC中，AB=BC，以AB為直徑的O交AC于點(diǎn)D，且CD=BD.（1）求證：BC是O的切線；（2