史密斯圓圖與阻抗匹配講義

1、史密斯圓圖與阻抗匹配講義史密斯圓圖與阻抗匹配講義 主講人：史密斯圓圖與阻抗匹配講義 一、阻抗匹配 二、史密斯圓圖 三、反射系數(shù) 四、等阻圓及等抗圓的化簡(jiǎn) 五、導(dǎo)納圓圖 六、史密斯圓圖的應(yīng)用史密斯圓圖與阻抗匹配講義一、阻抗匹配在處理RF系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)，總會(huì)遇到一些非常困難的工作，對(duì)各部分級(jí)聯(lián)電路的不同阻抗進(jìn)行匹配 就是其中之一。一般情況下，需要進(jìn)行匹配的電路包括天線與低噪聲放大器(LNA)之間的匹配、功率放大器 輸出(RFOUT)與天線之間的匹配、LNA/VCO輸出與混頻器輸入之間的匹配。匹配的目的是為了保證信號(hào)或能 量有效地從“信號(hào)源”傳送到“負(fù)載”。 大家都知道，要使信號(hào)源傳送到負(fù)載的

2、功率最大，信號(hào)源阻抗必須等于負(fù)載的共軛阻抗，即： Rs + jXs = RL - jXL 圖1： 表達(dá)式Rs + jXs = RL - jXL 的等效圖 在這個(gè)條件下，從信號(hào)源到負(fù)載傳輸?shù)哪芰孔畲?。另外，為有效傳輸功率，滿足這個(gè)條件可以能從負(fù)載反射到信號(hào)源，尤其是在諸如視頻傳輸、RF 或微波網(wǎng)絡(luò)的高頻應(yīng)用環(huán)境更是如此。史密斯圓圖與阻抗匹配講義二、史密斯圓圖 史密斯圓圖是由很多圓周交織在一起的一個(gè)圖。正確的使用它，可以在不作任何計(jì)算的前提下得到一個(gè)表面上看非常復(fù)雜的系統(tǒng)的匹配阻抗，唯一需要作的就是沿著圓周線讀取并跟蹤數(shù)據(jù)。史密斯圓圖是反射系數(shù)(伽馬，以 符號(hào) 表示)的極座標(biāo)圖。反 射系數(shù)也可以從

3、數(shù)學(xué)上定義為單端口散射參數(shù)，即s11。史密斯圓圖是通過驗(yàn)證阻抗匹配的負(fù)載產(chǎn)生的。這里我們不直接考慮阻抗，而是用反射系數(shù) L，反射系數(shù)可以反映負(fù)載的特性(如導(dǎo)納、增益、跨導(dǎo))，在處理RF 頻率的問題時(shí)， L 更加有用。 圖2：阻抗和史密斯圓圖基礎(chǔ)史密斯圓圖與阻抗匹配講義三、反射系數(shù)我們知道反射系數(shù) 定義為反射波電壓與入射波電壓之比: 特性阻抗 輸入阻抗 圖3:負(fù)載阻抗負(fù)載反射信號(hào)的強(qiáng)度取決于信號(hào)源阻抗與負(fù)載阻抗的失配程度。反射系數(shù)的表達(dá)式定義為：由于阻抗是復(fù)數(shù)，反射系數(shù)也是復(fù)數(shù)。史密斯圓圖與阻抗匹配講義為了減少未知參數(shù)的數(shù)量，可以固化一個(gè)經(jīng)常出現(xiàn)并且在應(yīng)用中經(jīng)常使用的參數(shù)。這里ZoZo (特性阻

4、抗)通常為常數(shù)并且是實(shí)數(shù)，是常用的歸一化標(biāo)準(zhǔn)值，如5050 、75 75 、100100 和600600 。于是我們可以定義歸一化的負(fù)載阻抗：據(jù)此，將反射系數(shù)的公式重新寫為： 等式1從上式我們可以看到負(fù)載阻抗與其反射系數(shù)間的直接關(guān)系。但是這個(gè)關(guān)系式是一個(gè)復(fù)數(shù)，所以并不實(shí)用。我們可以把史密斯圓圖當(dāng)作上述方程的圖形表示。irirLLjjjxrz1111史密斯圓圖與阻抗匹配講義四、等阻圓及等抗圓的化簡(jiǎn) 4.1 等阻圓 為了建立圓圖，方程必需重新整理以符合標(biāo)準(zhǔn)幾何圖形的形式(如圓或射線)。圓的方程為： 其中圓心為（a,b），半徑為R。 從等式1中，等式兩邊的實(shí)部和虛部前面的系數(shù)必須是相等的，于是右邊等

5、式可先將分母中的虛部去掉，等式上下同時(shí)乘以（ ）。于是就有： 由于 ，公式化簡(jiǎn)為： 222Rbyaxirj1222222111111iriiriirrriririririrjjjjjjjxrjjjjjxrz12j2222222222212211121irriirriririirjjjxr史密斯圓圖與阻抗匹配講義令實(shí)部與虛部相等，得到兩個(gè)獨(dú)立的關(guān)系式：重新整理等式2.6經(jīng)過等式2.8 至2.13 得到最終的方程2.14。這個(gè)方程是在復(fù)平面( )上， 它以(r/r+1, 0)為圓心，半徑為1/1+r.ir ,史密斯圓圖與阻抗匹配講義詳細(xì)的化簡(jiǎn)步驟史密斯圓圖與阻抗匹配講義圓周上的點(diǎn)表示具有相同實(shí)部的

6、阻抗。例如，R1 的圓，以(0.5, 0)為圓心，半徑為0.5。它包含了代表反射零點(diǎn)的原點(diǎn)(0, 0) (負(fù)載與特性阻抗相匹配）。以(0，0)為圓心、半徑為1 的圓代表負(fù)載短路。負(fù)載開路時(shí)，圓退化為一個(gè)點(diǎn)(以1，0 為圓心，半徑為零)。與此對(duì)應(yīng)的是最大的反射系數(shù)1，即所有的 入射波都被反射回來。在作史密斯圓圖時(shí)，有一些需要注意的問題。下面是最重要的幾個(gè)方面： 所有的圓周只有一個(gè)相同的，唯一的交點(diǎn)(1, 0)。 代表0 、也就是沒有電阻(r = 0)的圓是最大的圓。 無限大的電阻對(duì)應(yīng)的圓退化為一個(gè)點(diǎn)(1, 0) 實(shí)際中沒有負(fù)的電阻，如果出現(xiàn)負(fù)阻值，有可能產(chǎn)生振蕩。 選擇一個(gè)對(duì)應(yīng)于新電阻值的圓周就

7、等于選擇了一個(gè)新的電阻。史密斯圓圖與阻抗匹配講義4.2 等抗圓經(jīng)過等式2.15 至2.18 的變換，2.7 式可以推導(dǎo)出另一個(gè)參數(shù)方程，方程2.19。同樣，2.19 也是在復(fù)平面( )上的圓的參數(shù)方程，它的圓心為(1, 1/x)，半徑1/x。ir ,史密斯圓圖與阻抗匹配講義圓周上的點(diǎn)表示具有相同虛部x 的阻抗。例如，x=1 的圓以(1, 1)為圓心，半徑為1。所有的圓(x為常數(shù))都包括點(diǎn)(1, 0)。與實(shí)部圓周不同的是，x 既可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)。這說明復(fù)平面下半部是其上半部的鏡像。所有圓的圓心都在一條經(jīng)過橫軸上1 點(diǎn)的垂直線上。完成圓圖為了完成史密斯圓圖，我們將兩簇圓周放在一起。可以發(fā)現(xiàn)一

8、簇圓周的所有圓會(huì)與另一簇圓周的所有圓相交。若已知阻抗為r + jx，只需要找到對(duì)應(yīng)于r 和x 的兩個(gè)圓周的交點(diǎn)就可以得到相應(yīng)的反射系數(shù)?？苫Q性上述過程是可逆的，如果已知反射系數(shù)，可以找到兩個(gè)圓周的交點(diǎn)從而讀取相應(yīng)的r 和x 的值。過程如下： 確定阻抗在史密斯圓圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn) 找到與此阻抗對(duì)應(yīng)的反射系數(shù) ( ) 已知特性阻抗和 ，找出阻抗 將阻抗轉(zhuǎn)換為導(dǎo)納 找出等效的阻抗 找出與反射系數(shù)對(duì)應(yīng)的元件值史密斯圓圖與阻抗匹配講義五、導(dǎo)納圓圖史密斯圓圖是用阻抗(電阻和電抗)建立的。一旦作出了史密斯圓圖，就可以用它分析串聯(lián)和并聯(lián)情況下的參數(shù)?？梢蕴砑有碌拇?lián)元件，確定新增元件的影響只需沿著圓周移動(dòng)到它們相

9、應(yīng)的數(shù)值即可。然而，增加并聯(lián)元件時(shí)分析過程就不是這么簡(jiǎn)單了，需要考慮其它的參數(shù)。通常，利用導(dǎo)納更容易處理并聯(lián)元件。我們知道，根 據(jù)定義Y = 1/Z，Z = 1/Y。導(dǎo) 納的單位是姆歐或者 -1 (早些時(shí)候?qū)Ъ{的單位是西門子或S)。并且，如果Z 是復(fù)數(shù)，則Y 也一定是復(fù)數(shù)。所以Y = G + jB ,其中G 叫作元件的“電導(dǎo)”，B 稱“電納”。在演算的時(shí)候應(yīng)該小心謹(jǐn)慎，按照似乎合乎邏輯的假設(shè)，可以得出：G = 1/R 及B = 1/X，然而實(shí)際情況并非如此，這樣計(jì)算會(huì)導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。用導(dǎo)納表示時(shí)，第一件要做的事是歸一化， y = Y/Yo，得出 y = g + jb。？通過下面的式子進(jìn)行推導(dǎo)：結(jié)

10、果是G 的表達(dá)式符號(hào)與z 相反，并有 (y) = - (z)。也就是說：如果知道z，就能通過將的符號(hào)取反找到一個(gè)與(0，0)的距離相等但在反方向的點(diǎn)。圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180可以得到同樣的結(jié)果。史密斯圓圖與阻抗匹配講義180度旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果：當(dāng)然，表面上看新的點(diǎn)好像是一個(gè)不同的阻抗，實(shí)際上Z 和1/Z 表示的是同一個(gè)元件。(在史密斯圓上，不同的值對(duì)應(yīng)不同的點(diǎn)并具有不同的反射系數(shù)，依 次類推)出現(xiàn)這種情況的原因是我們的圖形本身是一個(gè)阻抗圖，而新的點(diǎn)代表的是一個(gè)導(dǎo)納。因此在圓圖上讀出的數(shù)值單位是姆歐。史密斯圓圖與阻抗匹配講義在前面的討論中，我們看到阻抗圓圖上的每一個(gè)點(diǎn)都可以通過以 復(fù)平面原點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)18

11、0后得到與之對(duì)應(yīng)的導(dǎo)納點(diǎn)。于是，將整個(gè)阻抗圓圖旋轉(zhuǎn)180就得到了導(dǎo)納圓圖。這種方法十分方便，它使我們不用建立一個(gè)新圖。所有圓周的交點(diǎn)(等電導(dǎo)圓和等電納圓)自然出現(xiàn)在點(diǎn)(-1, 0)。使用導(dǎo)納圓圖，使得添加并聯(lián)元件變得很容易。在數(shù)學(xué)上，導(dǎo)納圓圖由下面的公式構(gòu)造：接下來，令方程3.3 的實(shí)部和虛部相等，我們得到兩個(gè)新的獨(dú)立的關(guān)系：史密斯圓圖與阻抗匹配講義化簡(jiǎn)上面2個(gè)等式可以得到2個(gè)圓的方程，從等式3.4，我們可以推導(dǎo)出下面的式子：它也是復(fù)平面 ( )上圓的參數(shù)方程，以(-g/g+1, 0)為圓心，半徑為1/(1+g)。ir ,史密斯圓圖與阻抗匹配講義從等式3.5，我們可以推導(dǎo)出下面的式子：它也是復(fù)

12、平面 ( )上圓的參數(shù)方程，以(-1，-1/b)為圓心，半徑為1/b。ir ,史密斯圓圖與阻抗匹配講義六、史密斯圓圖的應(yīng)用 6.1 求解等效阻抗 當(dāng)解決同時(shí)存在串聯(lián)和并聯(lián)元件的混合電路時(shí)，可以使用同一個(gè)史密斯圓圖，在需要進(jìn)行從z 到y(tǒng) 或從y到z 的轉(zhuǎn)換時(shí)將圖形旋轉(zhuǎn)。考慮圖 所示網(wǎng)絡(luò)(其中的元件以Zo=50 進(jìn)行了歸一化)。串聯(lián)電抗(x)對(duì)電感元件而言為正數(shù)，對(duì)電容元件而言為負(fù)數(shù)。而電納(b)對(duì)電容元件而言為正數(shù)，對(duì)電感元件而言為負(fù)數(shù)。 圖一個(gè)多元件電路史密斯圓圖與阻抗匹配講義這個(gè)電路需要進(jìn)行簡(jiǎn)化從最右邊開始，有一個(gè)電阻和一個(gè)電感，數(shù)值都是1，我們可以在r1的圓周和x1 的圓周的交點(diǎn)處得到一個(gè)

13、串聯(lián)等效點(diǎn)，即點(diǎn)A。下一個(gè)元件是并聯(lián)元件，我們轉(zhuǎn)到導(dǎo)納圖(將整個(gè)平面旋轉(zhuǎn)180)，此時(shí)需要將前面的那個(gè)點(diǎn)變成導(dǎo)納，記為A?，F(xiàn)在我們將平面旋轉(zhuǎn)180，于是我們?cè)趯?dǎo)納模式下加入并聯(lián)元件，沿著電導(dǎo)圓逆時(shí)針方向(負(fù)值)移動(dòng)距離0.3，得到點(diǎn)B。然后又是一個(gè)串聯(lián)元件?，F(xiàn)在我們?cè)倩氐阶杩箞A圖。史密斯圓圖與阻抗匹配講義在返回阻抗圓圖之前，還必需把剛才的點(diǎn)轉(zhuǎn)換成阻抗(此前是導(dǎo)納)，變換之后得到的點(diǎn)記為B，用上述方法，將圓圖旋轉(zhuǎn)180回到阻抗模式。沿著電阻圓周移動(dòng)距離1.4 得到點(diǎn)C 就增加了一個(gè)串元件，注意是逆時(shí)針移動(dòng)(負(fù)值)。進(jìn)行同樣的操作可增加下一個(gè)元件(進(jìn)行平面旋轉(zhuǎn)變換到導(dǎo)納)，沿著等電導(dǎo)圓順時(shí)針方向(

14、因?yàn)槭钦?移動(dòng)指定的距離(1.1)。這個(gè)點(diǎn)記為D。最后，我們回到阻抗模式增加最后一個(gè)元件(串聯(lián)電感)。于是我們得到所需的值，z，位于0.2 電阻圓和0.5 電抗圓的交點(diǎn)。至此，得出z0.2 + j0.5。如果系統(tǒng)的特性阻抗是50 ,有 Z = 10 + j25。742Fig10.pdf史密斯圓圖與阻抗匹配講義6.2 阻抗匹配史密斯圓圖的另一個(gè)用處是進(jìn)行阻抗匹配。這 和找出一個(gè)已知網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗是相反的過程。此 時(shí)，兩 端(通常是信號(hào)源和負(fù)載)阻抗是固定的，如圖所示。我們的目標(biāo)是在兩者之間插入一個(gè)設(shè)計(jì)好的網(wǎng)絡(luò)已達(dá)到合適的阻抗匹配。實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的方法是在史密斯圓圖上不斷增加串聯(lián)和并聯(lián)元件、直到得

15、到我們想要的阻抗。 實(shí)例圖史密斯圓圖與阻抗匹配講義在網(wǎng)分中，我們通常使用仿真軟件來進(jìn)行阻抗匹配，下面是串并聯(lián)電容、電阻的Marker點(diǎn)的走向規(guī)律：但在我們實(shí)際進(jìn)行電路匹配時(shí)，通常會(huì)出現(xiàn)Marker點(diǎn)的走向與理論的不一致，這是一個(gè)疑點(diǎn)？（在校準(zhǔn)電延遲時(shí)，有時(shí)發(fā)現(xiàn)校準(zhǔn)端口與校準(zhǔn)制具線Smith圖中Marker點(diǎn)位置不一樣？）史密斯圓圖與阻抗匹配講義同時(shí)有公式：從公式中看出改變電容值和電感值的大小，直接影響到Z的值，從而影響到Smith圓圖中Marker點(diǎn)向左或向右移動(dòng)的幅度和沿著阻抗圓移動(dòng)的幅度。jWCjWLRZ1jWCjWLRG11史密斯圓圖與阻抗匹配講義6.3 實(shí)例這是MAX2472的輸出匹配

16、電路，匹配于50負(fù)載阻抗(zL)，工作品率為900MHz 。該網(wǎng)絡(luò)采用與MAX2472數(shù)據(jù)資料相同的配置結(jié)構(gòu)，上圖給出了匹配網(wǎng)絡(luò)，包括一個(gè)并聯(lián)電感和串聯(lián)電容，以下給出了匹配網(wǎng)絡(luò)元件值的查找過程。史密斯圓圖與阻抗匹配講義首先將S22散射參數(shù)轉(zhuǎn)換成等效的歸一化源阻抗。MAX2472的Z0為50，S22 = 0.81/-29.4轉(zhuǎn)換成zS = 1.4 - j3.2, zL = 1和zL* = 1。下一步，在圓圖上定位兩個(gè)點(diǎn)，zS標(biāo)記為A，zL*標(biāo)記為D。因?yàn)榕c信號(hào)源連接的是第一個(gè)元件是并聯(lián)電感，將源阻抗轉(zhuǎn)換成導(dǎo)納，得到點(diǎn)A。 確定連接電感LMATCH后下一個(gè)點(diǎn)所在的圓弧，由于不知道LMATCH的數(shù)值，因此不能確定圓弧終止的位置。但是，我們了解連接LMATCH并將其轉(zhuǎn)換成阻抗后，源阻抗應(yīng)該位于r = 1的圓周上。由此，串聯(lián)電容后得到的阻抗應(yīng)該為z = 1 + j0。以原點(diǎn)為中心，在r = 1的圓上旋轉(zhuǎn)180，反射系數(shù)圓和等電納圓的交點(diǎn)結(jié)合A點(diǎn)可以得到B (導(dǎo)納)。B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的阻抗為B點(diǎn)。找到B和B后，可以測(cè)量圓弧AB以及圓弧BD的長(zhǎng)度，第一個(gè)測(cè)量值可以得到LMATCH。電納的歸一化值，第二個(gè)測(cè)量值得到CMATCH電抗的歸一化值。圓弧AB的測(cè)量值為b = -0.575，B = -0.575 Y0 = 0.0115S。因?yàn)?/L = B，