第10講 植樹問題

1、 第10講 植樹問題綠化工程是造福子孫后代的大事。確定在一定條件下栽樹、種花的棵數(shù)是最簡單、最基本的“植樹問題”。還有許多應(yīng)用題可以化為“植樹問題”來解，或借助解“植樹問題”的思考方法來解。先介紹四類最簡單、最基本的植樹問題。為使其更直觀，我們用圖示法來說明。樹用點(diǎn)來表示，植樹的沿線用線來表示，這樣就把植樹問題轉(zhuǎn)化為一條非封閉或封閉的線上的“點(diǎn)數(shù)”與相鄰兩點(diǎn)間的線的段數(shù)之間的關(guān)系問題。顯然，只有下面四種情形：(1)非封閉線的兩端都有“點(diǎn)”時(shí)，“點(diǎn)數(shù)”“段數(shù)”1。(2)非封閉線只有一端有“點(diǎn)”時(shí)，“點(diǎn)數(shù)”=“段數(shù)”。(3)非封閉線的兩端都沒有“點(diǎn)”時(shí)，“點(diǎn)數(shù)”“段數(shù)”-1。(4)封閉線

2、上，“點(diǎn)數(shù)”=“段數(shù)”。最簡單、最基本的植樹問題只有這四類情形。例如，一條河堤長420米，從頭到尾每隔3米栽一棵樹，要栽多少棵樹？這是第(1)種情形，所以要栽樹420÷31141(棵)。又如，肖林家門口到公路邊有一條小路，長40米。肖林要在小路一旁每隔2米栽一棵樹，一共要栽多少棵樹？由于門的一端不能栽樹，公路邊要栽樹，所以，屬于第(2)種情形，要栽樹40÷220(棵)。再如，兩座樓房之間相距30米，每隔2米栽一棵樹，一直行能栽多少棵樹？因緊挨樓房的墻根不能栽樹，所以，屬于第(3)種情形，能栽樹30÷2-114(棵)。再例如，一個(gè)圓形水池的圍臺(tái)圈長60米。如果在此臺(tái)

3、圈上每隔3米放一盆花，那么一共能放多少盆花？這屬于第(4)種情形，共能放花60÷320(盆)。許多應(yīng)用題都可以借助或歸結(jié)為上述植樹問題求解。例1在一段路邊每隔50米埋設(shè)一根路燈桿，包括這段路兩端埋設(shè)的路燈桿，共埋設(shè)了10根。這段路長多少米？解：這是第(1)種情形，所以，“段數(shù)”1019。這段路長為50×(10-1)450(米)。答：這段路長450米。例2小明要到高層建筑的11層，他走到5層用了100秒，照此速度計(jì)算，他還需走多少秒？分析：因?yàn)?層不用走樓梯，走到5層走了4段樓梯，由此可求出走每段樓梯用100÷(51)25(秒)。走到11層要走10段樓梯，還要走6段

4、樓梯，所以還需25×6150(秒)。解：100÷(5-1)×(11-5)150(秒)。答：還需150秒。例3一次檢閱，接受檢閱的一列彩車車隊(duì)共30輛，每輛車長4米，前后每輛車相隔5米。這列車隊(duì)共排列了多長？如果車隊(duì)每秒行駛2米，那么這列車隊(duì)要通過535米長的檢閱場地，需要多少時(shí)間？解：車隊(duì)間隔共有30-129(個(gè))，每個(gè)間隔5米，所以，間隔的總長為(30-1)×5145(米)，而車身的總長為30×4120(米)，故這列車隊(duì)的總長為(30-1)×5+30×4265(米)。由于車隊(duì)要行265535800(米)，且每秒行2米，所以

5、，車隊(duì)通過檢閱場地需要(265535)÷2400(秒)6分40秒。答：這列車隊(duì)共長265米，通過檢閱場地需要6分40秒。例4下圖是五個(gè)大小相同的鐵環(huán)連在一起的圖形。它的長度是多少？十個(gè)這樣的鐵環(huán)連在一起有多長？解：如上圖所示。關(guān)鍵是求出重疊的“環(huán)扣”數(shù)(每個(gè)長6毫米)。根據(jù)植樹問題的第(3)種情形知，五個(gè)連在一起的“環(huán)扣”數(shù)為5-14(個(gè))，所以重疊部分的長為6×(5-1)24(毫米)，又4厘米=40毫米，所以五個(gè)鐵環(huán)連在一起長40×5-6×(51)176(毫米)。同理，十個(gè)鐵環(huán)連在一起的長度為40×10-6×(10-1)=346(毫米)。答：五個(gè)鐵環(huán)連在一起的長度為176毫米。十個(gè)鐵環(huán)連在一起的長度為346毫米。例5父子倆一起攀登一個(gè)有300個(gè)臺(tái)階的山坡，父親每步上3個(gè)臺(tái)階，兒子每步上2個(gè)臺(tái)階。從起點(diǎn)處開始，父子倆走完這段路共踏了多少個(gè)臺(tái)階？(重復(fù)踏的臺(tái)階只算一個(gè))。解：因?yàn)閮啥说呐_(tái)階只有頂?shù)呐_(tái)階被踏過，根據(jù)已知條件，兒子踏過的臺(tái)階數(shù)為300÷2150(個(gè))，父親踏過的臺(tái)階數(shù)為300÷3100(個(gè))。由于2&#