抽象函數(shù)問題的解決策略

1、抽象函數(shù)問題的解決策略抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，但給出了函數(shù)滿足的一部分性質(zhì)或運算法則的函數(shù)問題。抽象函數(shù)問題是高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的難點，也是高中與大學(xué)函數(shù)部分的銜接點。由于這類試題既能全面地考查學(xué)生對函數(shù)概念的理解及性質(zhì)的代數(shù)推理和論證能力，又能綜合考查學(xué)生對數(shù)學(xué)符號語言的理解和接受能力，以及對一般和特殊關(guān)系的認(rèn)識，因而備受高考命題者的青睞。然而由于這類問題本身的抽象性及其性質(zhì)的隱蔽性，大多數(shù)學(xué)生在解決這類問題時，感到束手無策。為使抽象函數(shù)問題解決有章可循，有法可依，本文主要介紹抽象函數(shù)問題的常見方法。一、“賦值” 策略 對于抽象函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的概念和性質(zhì)，通過觀察與分析，將變量賦

2、予特殊值，以簡化函數(shù)，從而達到轉(zhuǎn)化為要解決的問題的目的?！纠?】若奇函數(shù)，滿足，則等于（）A0B1CD解：對于，令，得即，從而，所以，選D?！纠?】設(shè)對任意實數(shù)、，函數(shù)滿足。 （1）求證：；（2）求證：為偶函數(shù)。解：（1）令，得，所以。 令，得，所以。（2）令，得，令，得，從而我們有：，所以，為偶函數(shù)。二、“穿脫”策略加上函數(shù)符號即為“穿”，去掉函數(shù)符號即為“脫”。對于有些抽象函數(shù)，可根絕函數(shù)值相等或者函數(shù)的單調(diào)性，實現(xiàn)對函數(shù)符號的“穿脫”，以達到簡化的目的?！纠?】已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，且滿足對于任意的正實數(shù)、，都有，且（1）求的值；（2）解不等式解：（1） （2）由函數(shù)是定義在上的增

3、函數(shù)，則即，依題設(shè)，有，從而不等式的解集為。點評：利用單調(diào)性，三、“模型”策略模型化策略，就是根據(jù)題目給定的關(guān)系大膽猜想抽象函數(shù)的生成原始模型，作出目標(biāo)猜想，利用模型函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)去探索解題方法。對于選擇、填空題，可用模型函數(shù)解決；對于解答題則可以起到啟迪思路并起驗證作用。抽象函數(shù)是由特殊的、具體的函數(shù)抽象而成的。如正比例函數(shù)可抽象為。因此，我們可得知如下結(jié)論：（1）抽象函數(shù)可由一個特殊函數(shù)正比例函數(shù)抽象而成的；（2）抽象函數(shù)可由一個特殊函數(shù)冪函數(shù)抽象而成的；（3）抽象函數(shù)可由一個特殊函數(shù)指數(shù)函數(shù)抽象而成的；（4）抽象函數(shù)可由一個特殊函數(shù)對數(shù)函數(shù)抽象而成的?！纠?】設(shè)定義在上的函數(shù)對于任意都有

4、成立，且，當(dāng)時，。（1）判斷f(x)的奇偶性，并加以證明；（2）試問：當(dāng)-33時，是否有最值？如果有，求出最值；如果沒有，說明理由。分析：對于任意都有，可猜想抽象函數(shù)f(x)生成的原形函數(shù)：f(x)=kx，由x>0時，f(x)<0。知k<0，所以問題（1）、（2）的答案可大膽猜想如下：（1）函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，（2）函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)。盡管這只是對問題的猜想不是嚴(yán)格的證明，但帶著結(jié)論去探求解答，思考線索明朗了，更加有的放矢了。解：令x=y=0，可得f(0)=0令y=-x，則f(0)=f(x)+f(x)，f(x)= f(x)，f(x)為奇函數(shù)設(shè)3x1x23，y=x1，

5、x=x2則f(x2x1)=f(x2)+f(x1)=f(x2)f(x1)，因為x0時，f(x)0，故f(x2x1)0，即f(x2)f(x1)0。f(x2)f(x1)、f(x)在區(qū)間3，3上單調(diào)遞減x=3時，f(x)有最大值f(3)=f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=6。x=3時，f(x)有最小值為f(3)= 6。點評：思路明確，特別提示：這時需要強調(diào)的是，對于解答題，雖然我們知道題設(shè)條件中的相應(yīng)的函數(shù)模型，但此時我們像處理選擇題或填空題那樣，直接寫出函數(shù)模型。例如，對于任意都有，而直接設(shè)f(x)=kx，這是沒有任何理論依據(jù)的。當(dāng)然在思考問題的過程中，我們可

6、聯(lián)想正比例函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，合理賦值。四、“數(shù)形”策略一般地講，抽象函數(shù)的圖象為示意圖居多，有的示意圖可能只能根據(jù)題意作出n個孤立的點，但通過示意圖卻使抽象變形象化，有利于觀察、對比、減少推理、減小計算量等好處?！纠?】若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在（0，+）內(nèi)是增函數(shù)，又f(2)=0，則的解集為（ ）A（-2，0）（0，2） B（-，-2）（0，2）C（-，-2）（2，+） D（-2，0）（2，+）分析：因為f(x)是定義域上的奇函數(shù)，所以f(x)的圖像關(guān)于原點對稱。根據(jù)題設(shè)條件可以作出函數(shù)f(x)在R上的大致圖象，由得：x與f(x)異號。由圖像可得解集為（-2，0）（0，2），選擇（A）。點評

7、：奇函數(shù)偶函數(shù)的圖象特征，尋求解題思路。五、“換元”策略對于抽象函數(shù)，可以通過換元化抽象為具體，轉(zhuǎn)化為具體函數(shù)可求解，同時要注意新元的取值范圍?！纠?】 已知函數(shù)f(x)的值域，試求的值域。解：由，得，于是，令，所以，因，則當(dāng)t=1時，y不能取得最大值1，所以只能在函數(shù)圖象的對稱軸的左側(cè)取得最值。由對稱軸t=1及拋物線開口向下，函數(shù)在上是增函數(shù)，則時，y取最小值，當(dāng)時，y取最大值故所求值域為，。點評：換元策略，一定要注意新元的取值范圍，【專項練習(xí)】1給出四個函數(shù)，分別滿足；，又給出四個函數(shù)圖象丁正確的匹配方案是（ ）（A）丁乙丙甲 （B）乙丙甲?。–）丙甲乙丁 （D）丁甲乙丙2定義在R上的函數(shù)

8、f(x)滿足f (x + y) = f (x) + f ( y )(x，yR)，當(dāng)x<0時，, f (x)>0，則函數(shù)f (x)在a,b上                                                (    )&

9、#160; A 有最小值f (a)     B有最大值f (b)     C有最小值f (b)    D有最大值f ()3 設(shè)函數(shù)的定義域為，且對恒有若（ ）4若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是（ ）A BC D5定義在R上的函數(shù)滿足：對任意實數(shù)，總有，且當(dāng) 時，（1）試舉出一個滿足條件的函數(shù)；（2）試求的值；（3）判斷的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；（4）若解不等式【參考解答】1-4 D C C D5（1）如，（2）在中，令得：因為，所以，（3）要判斷的單調(diào)性，可任取，且設(shè)在已知條件中，