三角形四心向量形式

1、第1頁共 5 頁三角形“四心”向量形式的充要條件應用在學習了平面向量一章的基礎內容之后，學生們通過課堂例題以及課后習題陸續(xù)接觸了有關三角 形重心、垂心、外心、內心向量形式的充要條件?，F(xiàn)歸納總結如下：一.知識點總結MBMB1）O是ABC的重心：二OA - OB - OC = 0；1若O是ABC的重心，則SBOC =SAOC二SAOBSABCABC 故OAOB OC = 0；PG = *（PA PB PC） =G為ABC的重心.2）O是ABC的垂心:二OA OB = OB OC = OC OA；若 0 是AABC（非直角三角形）的垂心，則S售OC:S彈OC:S出OB=tanA:tanBitanC甲

2、車*故tan AOA tan BOB tanCOC =0- - -2 2 2 2 - 2 23）0 是匚ABC的外心二IOA|=|OB |=| OC |（或OA =OB = O C）若 0 是，ABC的外心則SBOC:SAOC:SAOB二sin BOC:sin AOC:sin AOB二sin2A:sin2B :sin2C故sin2AOA sin2BOB sin2COC =04）0 是內心ABC的充要條件是OA(坦-ACrOB(旦-匹rOC(竺-竺r。| AB | AC|BA | |BC |CA | |CB |引進單位向量，使條件變得更簡潔。如果記AB,BC,CA的單位向量為ei i，e2 2，

3、e3 3，則剛才 o 是ABC內心的充要條件可以寫成：O A (ei ie3 3) ) = =0 B (ei ie2)=2)=0 C (e2 2e3)3) = =00 是ABC內心的充要條件也可以是aOA - bOB cOC二0若 0 是ABC的內心，貝USBOC:S.AOC:S.AOB二a：b：c故aOA bOB cOC二0或sinAOA sinBOB sinCOC二0；)| AB| PC |BC | PA |CA|PB =0= PABC的內心；向量（山（山B一 -AC.） 0）所在直線過ABC的內心（是.BAC的角平分線所在直線）；|AB| |AC|1范例位向量分別為0和e, 又0P -0

4、A二AP，則原式可化為A （e,e2），由菱形的基本性質知 AP 平分BAC，那么在ABC中，AP 平分.BAC，則知選 B.（一） 將平面向量與三角形內心結合考查 例 1. 0 是平面上的一定點，A,B,C 是平面上不共線的三個點,動點AB ACP 滿足OP =OA (ACABAC），定通過：ABC的（ ）（A）外心（B）內心（C）重心（D）垂心解析：因為是向量AB的單位向量設AB與AC方向上的單0：則P點的軌跡CAB第2頁共 5 頁AB點評：這道題給人的印象當然是“新穎、陌生” ，首先AB是什么？沒見過！想想，一個非零向量除AB以它的模不就是單位向量？此題所用的都必須是簡單的基本知識，如向

5、量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質、角平分線的性質等，若十分熟悉，又能迅速地將它們遷移到一起，解這道題一點問題也 沒有。（二）將平面向量與三角形垂心結合考查“垂心定理”例 2 . H 是厶 ABC 所在平面內任一點，HA HB =HB HC =HC HA由 HA HB =HB HC u HB （HC -HA） =0= HB AC =0= HB _ AC , 同理 HC _AB，HA _ BC故 H 是厶ABC 的垂心.（反之亦然（證略） 例 3.（湖南）P 是厶 ABC 所在平面上一點，若PAPB二PBPC二PC卩A，A .外心B .內心C.重心D .垂心解析：由PA PB二PB PC

6、得PAPB - PB PC = o.即PB （PA - PC） = 0,即PB CA = 0則PB _CA,同理PA_ BC,PC _ AB所以P 為ABC的垂心.故選 D.數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直點 H是厶ABC 的垂心.則 P 是厶 ABC 的（D ）點評：本題考查平面向量有關運算，及 識.將三角形垂心的定義與平面向量有關運算及 合。（三）將平面向量與三角形重心結合考查例 4.G 是厶 ABC 所在平面內一點，證明作圖如右，圖中 GB GC GE 連結 BE 和 CE，貝 U CE=GB，BE=GC 是 BC 的中點，AD 為 BC 邊上的中線.將 GB GC =GE 代入 GA

7、GB GC = 0，得 GA EG =0= G-GE-2GD，故 G 是厶 ABC 的重心.（反之 亦然（證略）例 5 . P 是厶 ABC 所在平面內任一點.G 是厶 ABC 的重心1*1h=PG （PA PB PC）.證明 PG =PA AG =PB BG =PC CG = 3PG =（AG BG CG） （PA PB PC） G 是厶 ABC的重心 GA GB GC= 0= AG BG CG =0，即 3PG =PA PB PC由此可得 PG （PA PB PC）.（反之亦然（證略）3例6若O為ABC內一點，OA OB OC = 0，則O是ABC的（數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三

8、角形垂心定義等相關知”等相關知識巧妙結重心定理GA GB - GC = 0：=點 G 是厶 ABC 的重心.BGCE 為平行四邊形=DA.內心B.外心解析：由0A 0B 0C二0得0B 0C - -0A，如圖以OB OC為相鄰兩邊構作平行四邊形，則OB+OC =0D，由平行四邊形性質知OE =0D,OA = 2 OE，同理2C.垂心D.重心ED平行可證其它兩邊上的這個性質，所以是重心，選 D。點評：本題需要扎實的平面幾何知識，平行四邊形的對角線互相平分及三角形重心性=。本題在解題的過程中將平面向量的有關運算與1質：重心是三角形中線的內分點，所分這比為四邊形的對角線互相平分及三角形重心性質等相關

9、知識巧妙結合。（四）.將平面向量與三角形外心結合考查第3頁共 5 頁第4頁共 5 頁A .內心B .外心C.垂心D.重心解析：由向量模的定義知0到ABC的三頂點距離相等。故0是ABC的外心，選 B。點評：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質等相關知識巧妙結合。（五）將平面向量與三角形四心結合考查例 8已知向量 0P1，0P2，0P3滿足條件OP+OP2+ OP3= o，|0P1|=|OP2i=|oP31=1, 求證 P1P2P3是正三角形（數(shù)學第一冊（下），復習參考題五 B 組第 6 題）I證明 由已知 OR +OP2=-0P3，兩邊平方得 OPi OP2=-1同理 0P2 OP3=

10、0P3 OR =-2IRP2FIP2P3FIP3P1|=“3，從而 P1P2P3是正三角形反之，若點 0 是正三角形 P1P2P3的中心，則顯然有 OR +OP2+ OF3=0 且|OP1|=|OP2|=|OP3|. 即 0 是厶 ABC所在平面內一點，OR +0P2+ 0P3= 0 且|0R |=|0P2|=|0P3|：=點 0 是正 P1P2P3的中心.例 9.在 ABC 中，已知 Q G H 分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q G H 三點共線，且QG:GH=12【證明】：以 A 為原點，AB 所在的直線為 x 軸，建立如圖所示的直角坐標系。設C（X2,y2），D E、F 分別為

11、AB BC AC 的中點，則有：._ X2(X2-Xjy4：y2QF _AC-QF *AC*(寺一今)y2(專*3)_X2(X2xJ y2y32y22x1、/ 2x2* 3x2(x2QH十2 -,”4 -y3)(2222y2例 7若0為:ABC內一點,，則0是：ABC的（A(0,0)、B (X1,0 )、D(工0)、E(2 2由題設可設Q(X1,y3).2H (X24),X1X2G( (丁丁AH =(X2,y4)，QF_/X2X1y2_( _ 2 2 2一一y3)BC二區(qū)“皿）AH - BC-AH *BC =x2(x2y2y4=0一一xj第5頁共 5 頁4 =QH3即QH =3QG，故Q G

12、H三點共線，且【注】：本例如果用平面幾何知識、向量的代數(shù)運算和幾何運算處理，都相當麻煩，而借用向量的坐 標形式，將向量的運算完全化為代數(shù)運算，這樣就將“形”和“數(shù)”緊密地結合在一起，從而，很多對稱、 共線、共點、垂直等問題的證明，都可轉化為熟練的代數(shù)運算的論證。例 10 .若 0、H 分別是 ABC 的外心和垂心.求證 OH =0A OB OC.證明 若厶 ABC 的垂心為 H，外心為 0,如圖.連 B0 并延長交外接圓于 D，連結 AD , CD. AD_AB , CD_BC.又垂心為 H , AH _ BC , CH _ AB , AH / CD , CH / AD ,四邊形 AHCD 為

13、平行四邊形， AH =DC =D0 OC，故 OH =0A AH =0A OB OC .著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”一一外心、心、垂心的位置關系：(1)三角形的外心、重心、垂心三點共線一一“歐拉線”；(2 )三角形的重心在“歐拉線”上，且為外一一垂連線的第一個三分點，即重心到垂心的距離是重 心到外心距離的 2 倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡單，可簡化成如下的向量問題 例 11 . 設 0、G、H 分別是銳角 ABC 的外心、重心、垂心求證 OGOH3證明 按重心定理 G 是厶 ABC 的重心=0G =丄(OA OB 0C)3按垂心定理OH=OAOBOC由此可得OGHOH.

14、3補充練習1.已知 A、B、C 是平面上不共線的三點， 0 是三角形 ABC 的重心，動點 P 滿足. 1 1. 1 0P=(0A+0B+20C),則點 P 一定為三角形 ABC 的(B )3 22A.AB 邊中線的中點B.AB 邊中線的三等分點(非重心)C.重心D.AB 邊的中點- - - - 1 1 - 1 - -1. B 取 AB 邊的中點 M，則0A 0B二20M，由0P= (0A+ 0B+20C)可得322230P =30M 2MC, MP MC，即點 P 為三角形中 AB 邊上的中線的一個三等分點，且點3P 不過重心，故選 B._ _ _ _2 2 2 2 2 22.在同一個平面上

15、有 八ABC及一點 o 滿足關系式：OA+BC= =OB+CA= =OC+AB，2X2-Xi1y2/2X2-X!y2X2(X2-xj y22丁)(2)3X2(X2-Xi)y6y21/2X2-Xi(322y23X2(X2-XJy22y2-T)QG GH1： 2第6頁共 5 頁則 o 為ABC的(D )A 外心 E 內心 C 重心 D 垂心2.已知 ABC 的三個頂點 A、B、C 及平面內一點 P 滿足：PA PB PC=O，貝 y P 為ABC的第7頁共 5 頁（ C ）A 外心 E 內心 C 重心 D 垂心3.已知 O 是平面上一 定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P 滿足：OP =

16、0A （AB - AC），貝 U P 的軌跡一定通過厶 ABC 的（C）A 外心 E 內心 C 重心 D 垂心4.已知 ABC , P 為三角形所在平面上的動點，且動點P 滿足：PA *PC PA PB PB *P0，則 P 點為三角形的（ D ）A外心B 內心C 重心D 垂心5. 已知 ABC,P 為三角形所在平面上的一點，且點P 滿足：a卩A b卩BcPC=0,則 P 點為三角形的(B)A外心B 內心C 重心D 垂心6. 在三角形ABC 中,動點 P 滿足：2 - 2 - -CA =CB -2ABCP,貝 V P 點軌跡一定通過厶ABC 的：(B )A外心B 內心C 重心D 垂心7.已知非

17、零向量AB 與 AC 滿足(AB +AC|AB| |AC|TABAC1 心“) BC=0 且TT=2,則厶 ABC 為()|AB | |AC|2A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形AB AC解析：非零向量與滿足（）=0 ,即角 A 的平分線垂直于 BC , AB=AC ,又|AB| |AC|A B A C1co SA - -=，/ A=，所以 ABC 為等邊三角形，選 D .|AB| |AC|238. ABC的外接圓的圓心為 O,兩條邊上的高的交點為 H,OH =m（0A 0B 0C），則實數(shù) m9點 O 是三角形 ABC 所在平面內的一點，滿足OA OB二OB OC =OC OA，則點 O 是.：ABC的（B ）（A）三個內角的角平分線的交點（B）三條邊的垂直平分線的