點到平面距離的若干典型求法(共16頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上點到平面距離的若干典型求法目錄1. 引言12. 預(yù)備知識 13. 求點到平面距離的若干求法 33.1 定義法求點到平面距離 33.2 轉(zhuǎn)化法求點到平面距離 53.3 等體積法求點到平面距離 73.4 利用二面角求點到平面距離 83.5 向量法求點到平面距離 93.6 最值法求點到平面距離 113.7 公式法求點到平面距離 131引言 求點到平面的距離是高考立體幾何部分必考的熱點題型之一，也是學(xué)生較難準確把握難點問題之一。點到平面的距離的求解方法是多種多樣的，本講將著重介紹了幾何方法（如體積法，二面角法）、代數(shù)方法（如向量法、公式法）及常用數(shù)學(xué)思維方法（如轉(zhuǎn)化法、最值法

2、）等角度等七種較為典型的求解方法，以達到秒殺得分之功效。2預(yù)備知識 (1)正射影的定義:(如圖1所示)從平面外一點向平面引垂線，垂足為，則點叫做點在平面上的正射影，簡稱為射影。同時把線段叫作點與平面的垂線段。圖1(2)點到平面距離定義:一點到它在一個平面上的正射影的距離叫作這點到這個平面的距離，也即點與平面間垂線段的長度。(3) 四面體的體積公式其中表示四面體體積，、分別表示四面體的一個底面的面積及該底面所對應(yīng)的高。(4)直線與平面垂直的判定定理:一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。(5)三垂線定理:在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它和這

3、條斜線也垂直。(6)二面角及二面角大小:平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形，叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面。圖2所示為平面與平面所成的二面角，記作二面角，其中為二面角的棱。如圖在棱上任取一點，過點分別在平面及平面上作的垂線、，則把平面角叫作二面角的平面角，的大小稱為二面角的大小。在很多時候為了簡便敘述，也把稱作與平面所成的二面角。圖2(7)空間向量內(nèi)積:代數(shù)定義: 設(shè)兩個向量，則將兩個向量對應(yīng)分量的乘積之和定義為向量與的內(nèi)積，記作，依定義有=幾何定義: 在歐幾里得空間中，將向量與的內(nèi)積直觀地定義為，

4、這里、分別表示向量、的長度，表示兩個向量之間的夾角。 向量內(nèi)積的幾何意義為一個向量的模與另一個向量在這個向量正方向上投影向量模的乘積。當，即時，。下面說明這兩種定義是等價的。 如圖3所示，設(shè)、為空間的三點，令， 圖3由余弦定理 再設(shè)，則從而有=即 這就證得了兩個定義是等價的。3求點到平面距離的若干求法3.1 定義法求點到平面距離(直接法) 定義法求點到平面距離是根據(jù)點到平面的定義直接作出或者尋找出點與平面間的垂線段，進而根據(jù)平面幾何的知識計算垂線段長度而求得點與平面距離的一種常用方法。定義法求點到平面距離的關(guān)鍵在于找出或作出垂線段，而垂線段是由所給點及其在平面射影間線段，應(yīng)而這種方法往往在很多

5、時候需要找出或作出點在平面的射影。以下幾條結(jié)論常常作為尋找射影點的依據(jù):(1)兩平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們交線的直線垂直于另一個平面。(2) 如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這個點在該平面內(nèi)的射影在這個角的角平分線所在的直線上。(3)經(jīng)過一個角的頂點引這個角所在平面的斜線。設(shè)斜線和已知兩邊的夾角為銳角且相等，則這條斜線在這個平面的射影是這個角的角平分線。(4)若三棱錐的三條棱長相等，則頂點在底面上的射影是底面三角形的外心。 例 如圖4所示，所示的正方體 棱長為，求點到平面的距離。(注:本文所有解法均使用本例) 圖4 解法一(定義法):

6、如圖5所示，連結(jié)交于點，再連結(jié)，過點作垂直于，垂足為，下面證明平面。圖5平面又在正方形中，對角線，且 平面, 平面由線面垂直的判定定理知道平面平面又由的作法知道，且有，平面，平面由線面垂直的判定定理知道平面根據(jù)點到平面距離定義，的長度即為點到平面的距離，下面求的長度。中，容易得到，從而為正三角形，。進而在中，。由得到從而到平面的距離為。3.2轉(zhuǎn)化法求點到平面距離 有時候限于幾何體的形狀，不易直接尋找出點在平面的射影，或者由直接法作出的射影線段在所給幾何體中不易計算其長度，此時轉(zhuǎn)化法不失為一種有效的方法。轉(zhuǎn)化法即是將點到平面的距離轉(zhuǎn)化為另一點到平面間的距離的方法。轉(zhuǎn)化法依據(jù)主要有以下兩點：(1)

7、若直線平面，則直線上所有點到平面的距離均相等。(2)若直線與平面交于點，則點、到平面的距離之比為。特別地，當為中點時，、到平面的距離相等。下面用轉(zhuǎn)化法重解上面例題解法二(轉(zhuǎn)化法) 如圖6所示，連結(jié)、，交于點，連結(jié)交于點，延長至點使得，連結(jié)。 圖6平面從而斜線在平面的射影為、為正方形對角線，由三垂線定理知道同理可以得到又，平面，平面平面平面，即點為在平面的射影，的長度為所求即，且四邊形為平行四邊形 在由等比性質(zhì)有 而在正方體中對角線在本例中，未直接計算垂線段的長度，而是找出了其與正方體中對角線的數(shù)量關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為求正方體對角線長度，而長度是極易計算的，故用這種轉(zhuǎn)化方法降低了運算量。本例運用的轉(zhuǎn)

8、化方法與依據(jù)(2)類似，都是尋求所要求的垂線段與某一已知或易求線段的數(shù)量關(guān)系，從而簡化計算。3.3等體積法求點到平面距離用等體積法求點到平面的距離主要是一個轉(zhuǎn)換的思想，即要將所要求的垂線段置于一個四面體中，其中四面體的一個頂點為所給點，另外三點位于所給點射影平面上，這里不妨將射影平面上的三點構(gòu)成的三角形稱為底面三角形。先用簡單的方法求出四面體的體積，然后計算出底面三角形的面積，再根據(jù)四面體體積公式求出點到平面的距離。在常規(guī)方法不能輕松獲得結(jié)果的情況下，如果能用到等體積法，則可以很大程度上提高解題效率，達到事半功倍的效果。特別是遇到四面體的有一條棱垂直于其所相對的底面時，首選此方法。下面用等體積

9、法求解上面例子.解法三(等體積法):如圖7所示，作垂直于平面于點，則長度為所求。對于四面體，易見底面的高為，底面的高為。對四面體的體積而言有：圖7即有: 也即: 由，從而為正三角形，進而可求得 又易計算得到的面積為所以 我們在使用等體積法求點到平面距離時使用的點與平面間的垂線段只是概念上的，并不一定要知道點在平面射影的具體位置，從而也就不需要使用幾何方法尋找或者求作垂線段，垂線段的長度在這種方法上只是作為幾何體高的意義而存在的。3.4利用二面角求點到平面距離如圖8所示，為二面角的的棱，為二面角的一個平面角。下面考慮點到平面的距離。作，垂足為，下面證明平面。 圖8為二面角的一個平面角、又平面又平

10、面又 ，平面，平面平面在中，有 這個公式就建立點到平面距離與二面角的一個數(shù)量關(guān)系。從而如果能將點與平面置于一個二面角中，則可利用通過所給點關(guān)于平面的一條斜線及二面角計算點與平面間的距離。下面利用二面角法求解上面例子。解法四(二面角法):如圖9所示，連結(jié)、，與相交于點，連結(jié)。與為正方形的對角線（即），為中點圖9 又中 為二面角的平面角 設(shè)到平面的距離為，是過點的關(guān)于平面的一條斜線，又上面得到的公式 有易見，平面，從而在中有從而點到平面的距離為3.5向量法求點到平面的距離向量法求點到平面的距離主要是依據(jù)如下結(jié)論: 點到平面的距離等于這個與平面上任一點所連接的向量與該平面法向量方向上的單位向量數(shù)量積

11、的絕對值。證明:如圖10所示，為平面外一點，為平面上任意一點，平面于點，為平面的單位法向量。圖10即 這個公式將點到平面的距離轉(zhuǎn)化為了過所給點的任意斜線上的起點和終點分別在所給點及所給平面上一點的向量與平面法單位法向量的內(nèi)積。下面用向量法從新求解上面例子解法五(向量法) 如圖11所示以點為原點，所在的正方向分別，軸的正方向建立空間直角坐標系。圖11由所給條件知道坐標點、，從而有，。設(shè)平面的任意一個法向量為,則有， 即 代入已知得到 這是一個關(guān)于的不定方程，為了方便起見，不妨設(shè)，這樣上式變?yōu)?解該式得到 這樣就得到平面的一個法向量為，將其單位化得到平面的一個單位法向量為。設(shè)點到平面的距離為，結(jié)合

12、式所給出的結(jié)論有即點到平面的距離為。用向量法求解點到平面的距離比之前面提供的幾種幾何方法而言，這種方法不需要大量的幾何證明，而主要是較為機械地進行代數(shù)運算。因而在實際使用這種方法時，第一步建立空間直角坐標系常常成為最為關(guān)鍵的步驟，如果所建立的坐標系不能確定所給幾何圖形中關(guān)鍵點（所給平面外點及所給平面上不共線的任意三個點）在建立的坐標系的坐標，則無法進行后續(xù)步驟;如果所建立的坐標系雖然能夠表示的關(guān)鍵點的坐標，但在所建立的坐標系中得到關(guān)鍵點坐標的計算過程復(fù)雜，或者得到的關(guān)鍵點坐標表達式復(fù)雜，都將會導(dǎo)致繁瑣的的計算。因此，選擇恰當?shù)闹苯亲鴺讼祵τ谑褂帽痉椒昂喕嬎愣际窍喈斨匾摹?.6利用最值求點

13、到平面距離在介紹最值法之前，先介紹一個簡單的知識，即點到平面的距離是點與平面上任意點連線的最小值。以下對這點做簡要說明。如圖12所示，平面外一點在平面的射影為點,為平面上任意一點。圖12若不與重合，則，構(gòu)成三角形。因平面，平面,，三角形為直角三角形，從而由勾股定理有這樣就證得了結(jié)論。有了上面這個結(jié)論，那么只要找到平面外一點到平面上任意一點的距離的函數(shù)表示，再求出該函數(shù)的最小值，則由上面結(jié)論即可知該最小值即為點到平面的距離。一般構(gòu)造函數(shù)沒有確定的方法，不同的角度構(gòu)造出的函數(shù)表示很可能是不一樣的，不過這并不影響最終結(jié)果。下面用常用的向量構(gòu)造方法構(gòu)造函數(shù)求解上面例子中點到平面的距離.解法六（最值法）

14、如圖13所示，為平面上任意一點，以點為原點，所在的正方向分別，軸的正方向建立空間直角坐標系。圖13由所給條件知道、，從而有，。 設(shè)點在所建立的坐標系下的坐標為，因在平面上，從而向量可由相交向量、線性表示，不妨設(shè) （）則因此 （當且僅當時取等號）從而到平面上點的距離最小值為，也即點到平面的距離為。 最值方法提供了求解點到平面距離的一種較為新穎的方法，同時這種方法是建立在對點到平面距離的深入理解的基礎(chǔ)上的，也有助于加深理解點到平面距離的概念。不過這種方法對使用者的代數(shù)知識素養(yǎng)要求較高，要將幾何圖形中的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，構(gòu)造出平面外點到平面上點的函數(shù)關(guān)系，而且對函數(shù)最值的求法也需要較高的變形技

15、巧，否則即使構(gòu)造出平面外點到平面上點的函數(shù)關(guān)系也難求出函數(shù)最值，故一般這種方法對水平較高的讀者比較適用。3.7利用點到平面的距離公式求點到平面的距離 點到平面的距離公式主要是利用解析幾何的知識，將所給點及平面均給予代數(shù)表式，從而用代數(shù)方法得到的點與平面距離的統(tǒng)一的代數(shù)表示。點到平面的距離公式的推導(dǎo)方法有相當多，如直接用兩點間距離公式推導(dǎo)、利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何性質(zhì)推導(dǎo)、利用球的切平面性質(zhì)推導(dǎo)、利用極值法推導(dǎo)等等。公式法的實質(zhì)是幾何量代數(shù)化的結(jié)果，因此絕大多數(shù)求解點到平面距離的幾何方法轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言都可以得到一般意義上的點到平面的距離公式。限于本文篇幅，就不對這些方法一一介紹了，下面僅從利

16、用兩點間距離公式的角度給出點到平面的距離公式一種推導(dǎo)。如圖14所示，平面外一點在平面的射影為點。圖14在某空間直角坐標系下，設(shè)平面的代數(shù)方程為：，點的坐標為。將平面的方程改寫為 又由平面及直線過點知道直線的方程為下面不妨設(shè) 將代入中得到顯然的坐標在直線上，從而滿足，即有進而根據(jù)兩點間的距離公式 =即 這樣就得到了點與平面的距離公式，依據(jù)式，只要知道在同一空間直角坐標系下所給點的坐標與平面的方程即可求得點與平面的距離。下面用公式法求解上面例子解法七（公式法）如圖15所示，以點為原點，以向量，的正方向分別，軸的正方向建立空間直角坐標系。由所給條件知道、，。設(shè)平面在該空間直角坐標系下的方程為，因，均在平面上，從而滿足平面方程，即有圖15由這個方程組得到從而平面的方程為設(shè)點到而平面的距離為，由點到平面的距離公式有即點到而平面的距離為。 有了這個公式之后，求點與平面的距離將變得更加簡單，同時也變得更加機械化。對于機械化的方法