導(dǎo)數(shù)小專題-----單調(diào)性的分類討論

1、小學(xué)英語(yǔ)、英語(yǔ)課件、英語(yǔ)教案、小學(xué)英語(yǔ)試題、英語(yǔ)導(dǎo)學(xué)案、英語(yǔ)單詞短語(yǔ)小洋英語(yǔ)、英語(yǔ)課件、英語(yǔ)教案、小洋英語(yǔ)試題、英語(yǔ)導(dǎo)學(xué)案、英語(yǔ)單詞短語(yǔ)導(dǎo)數(shù)小專題-單調(diào)性的分類討論函數(shù)的單調(diào)性是求函數(shù)極值，最值（值域），恒成立問(wèn)題，零點(diǎn)與交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)， 所以掌握好單調(diào)性是解決函數(shù)問(wèn)題的第一步，它往往出現(xiàn)在壓軸題的第一問(wèn)，為人人必得分。那么求單調(diào)性最難的一點(diǎn)就是含參函數(shù)的分類討論，這是難點(diǎn)、重點(diǎn)、考點(diǎn)。這類問(wèn)題的難點(diǎn)在于學(xué)生不知道怎么討論，或者討論問(wèn)題不全面， 某種情況沒(méi)有討論到， 這里總結(jié)了含參函數(shù)單調(diào)性的分類討論的固定套路，學(xué)會(huì)之后，不存在不知道怎么討論或者漏討論的情況。以下為討論單調(diào)性固定套路（能解

2、決絕大多數(shù)討論單調(diào)性問(wèn)題）：第一步：求定義域，函數(shù)離開定義域的討論都是毫無(wú)意義的，求定義域要考慮4 種情況（1 ）偶次根式，根號(hào)下整體大于0（2）分式，分母不等于 0（3 ）對(duì)數(shù)函數(shù)，真數(shù)大于 0（4）tan（）,（）整體不等于，-k二2第二步：求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，令f（x）=0，解出它的根Xi,x2注意：先通分再因式分解，因式分解的好處在于方便于我們解根和判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)第三步：如果兩根，要考慮 4 種情況；如果一根只需要考慮第一種情況；如果解不出來(lái)根， 也判斷不出導(dǎo)數(shù)正負(fù)，那我們要求該函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，通過(guò)二階導(dǎo)的正負(fù)得一階導(dǎo)的單調(diào)性, 從而得到最值。（1）某一根不存在（主要考慮根不在定義域里），得到參

3、數(shù)取值范圍（2）Xi =X2，得到參數(shù)取值范圍（3）XiX2，得到參數(shù)取值范圍小學(xué)英語(yǔ)、英語(yǔ)課件、英語(yǔ)教案、小學(xué)英語(yǔ)試題、英語(yǔ)導(dǎo)學(xué)案、英語(yǔ)單詞短語(yǔ)/Js 學(xué)英語(yǔ)、英語(yǔ)課件、英語(yǔ)教案、小洋英語(yǔ)試題、英語(yǔ)導(dǎo)學(xué)案、英語(yǔ)單詞短語(yǔ)(4)x1: x2得到參數(shù)取值范圍第四步：判斷Xi,X2把定義域分得每個(gè)區(qū)域?qū)?shù)的正負(fù)，導(dǎo)數(shù)大于 0,單調(diào)增，導(dǎo)數(shù)小于 0,單調(diào)減。判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)有以下三種方法：(1)數(shù)軸穿根法：主要用于導(dǎo)數(shù)中只有單一的高次函數(shù)或單一的對(duì)數(shù)指數(shù)函數(shù)，用得最多(2 )函數(shù)圖像法：主要適用于導(dǎo)數(shù)中有高次函數(shù)和對(duì)數(shù)指數(shù)函數(shù)的混合相乘的式子(3)區(qū)域判斷法：只需要判斷每個(gè)因式的正負(fù)第五步：綜述：把討論情

4、況單調(diào)性相同的合并在一起。綜述是很多人容易忽略的一步，沒(méi)有這一步，是要扣分的【例題詳解】例 1.(2011，浙江高考改編)設(shè)函數(shù)f (x)二a21n x - x2 ax，求f (x)單調(diào)區(qū)間解：該函數(shù)定義域?yàn)?0, ：)(第一步：對(duì)數(shù)真數(shù)大于0 求定義域)2入.,、a c 1(xa)(2x+a)八 ” fa令f (x)2x a0，解得xi = a,x2：xx2(第二步，令導(dǎo)數(shù)等于 0,解出兩根x1,x2)(1)當(dāng)a 0時(shí)，小學(xué)英語(yǔ)、英語(yǔ)課件、英語(yǔ)教案、小學(xué)英語(yǔ)試題、英語(yǔ)導(dǎo)學(xué)案、英語(yǔ)單詞短語(yǔ)/Js 學(xué)英語(yǔ)、英語(yǔ)課件、英語(yǔ)教案、小洋英語(yǔ)試題、英語(yǔ)導(dǎo)學(xué)案、英語(yǔ)單詞短語(yǔ)x (0, a), f (x)0

5、, f (x)單調(diào)增，x(a/:), f (x)： 0, f (x)單調(diào)減(第三步，X1存在，X2不存在得到a 0；第四步數(shù)軸穿根或圖像判斷正負(fù))(2)當(dāng)a0時(shí)，x1不存在aax(0,- ), f(x) - 0, f (x)單調(diào)增，x(- , ：), f (x)： 0, f (x)單調(diào)減2 2(第三步，X2存在，Xi不存在得到a :： 0第四步數(shù)軸穿根或圖像判斷正負(fù))(3)當(dāng)a=0時(shí)，x (0, ：), f (x) - -2x ： 0, f (x)單調(diào)減(第三步，Xi=X2得到a=0第四步很顯然-2x0 恒成立)綜上可知：當(dāng)a 0時(shí)x(0,a), f(x)單調(diào)增，x(a, =), f(x)單調(diào)

6、減；當(dāng)a：0aa(0,- ), f(x)時(shí),單調(diào)增，(-：)，f(x)單調(diào)減；當(dāng)a=0時(shí)，(0, ：),f(X)22單調(diào)減(第五步綜述一定要有)小結(jié)：這是一道比較簡(jiǎn)單的分類討論單調(diào)性，按照我們的步奏，就不會(huì)存在漏解的情況。討論一根不存在的時(shí)候，又分了兩種情況，x2不存在或者x1不存在。因?yàn)楸绢}一根存在，另一根就必然不存在，故不存在比較兩根大小的情況。因式分解后我們發(fā)現(xiàn)最高次為負(fù)，數(shù)軸穿根的時(shí)候我們從下往上穿，也可以用圖像法判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)。小學(xué)英語(yǔ)、英語(yǔ)課件、英語(yǔ)教案、小學(xué)英語(yǔ)試題、英語(yǔ)導(dǎo)學(xué)案、英語(yǔ)單詞短語(yǔ)/Js 學(xué)英語(yǔ)、英語(yǔ)課件、英語(yǔ)教案、小洋英語(yǔ)試題、英語(yǔ)導(dǎo)學(xué)案、英語(yǔ)單詞短語(yǔ)212例 2：已知

7、f (x) =(ax2_x)inx ax2x，求f (x)單調(diào)區(qū)間解：該函數(shù)定義域?yàn)?0, (第一步：對(duì)數(shù)真數(shù)大于0 求定義域)1令f(x) =(2ax_1)lnx，解得洛一，x2=12a(第二步，令導(dǎo)數(shù)等于0,解出兩根x1,x2)(1)當(dāng)a乞0時(shí)，x (0,1), f(x) 0, f (x)單調(diào)增，x (1,二)，f (x) ： 0, f (x)單調(diào)減(第三步，X1不存在得到a乞0；第四步數(shù)軸穿根或圖像判斷正負(fù))11(2)當(dāng)丄=1 時(shí)即a=丄2a2x (0, f (x)0, f(x)單調(diào)增，1(第三步，X1=X2得到a=-第四步圖像判斷正負(fù))211(3)當(dāng)01時(shí)，即a2a211x-0f(x)

8、單調(diào)增，x單調(diào)減1(第三步，x x2得到a；第四步圖像判斷正負(fù))小學(xué)英語(yǔ)、英語(yǔ)課件、英語(yǔ)教案、小學(xué)英語(yǔ)試題、英語(yǔ)導(dǎo)學(xué)案、英語(yǔ)單詞短語(yǔ)/Js 學(xué)英語(yǔ)、英語(yǔ)課件、英語(yǔ)教案、小洋英語(yǔ)試題、英語(yǔ)導(dǎo)學(xué)案、英語(yǔ)單詞短語(yǔ)2(4)當(dāng)丄1時(shí)，即0 ：a J2a2x (0,1), x(丄，：)f(x) 0, f(x)單調(diào)增，x 1,丄,f(x) ： 0, f (x)單調(diào)減2a2a1(第三步，為x2得到0. a；第四步圖像判斷正負(fù))2綜上可知:a，x (0,1), f(x)0, f(x)單調(diào)增，x (1/-), f (x): 0, f(x)單調(diào)減;1a，x(0, ：), f(x) 0, f (x)單調(diào)增2小學(xué)英語(yǔ)、

9、英語(yǔ)課件、英語(yǔ)教案、小學(xué)英語(yǔ)試題、英語(yǔ)導(dǎo)學(xué)案、英語(yǔ)單詞短語(yǔ)/Js 學(xué)英語(yǔ)、英語(yǔ)課件、英語(yǔ)教案、小洋英語(yǔ)試題、英語(yǔ)導(dǎo)學(xué)案、英語(yǔ)單詞短語(yǔ)11 1a x (0,),x(1, ：)f(x) . 0, f(x)單調(diào)增,x ,1, f(x) :：: 0, f(x)單調(diào)減22a2a1 110：a,x (0,1),x(, ：)f(x) . 0, f (x)單調(diào)增，x 1, f (x) :：: 0, f (x)22a2a單調(diào)減小結(jié)：這是一道稍微復(fù)雜的分類討論單調(diào)性，按照我們的步奏，每一步都清晰明朗, 這道題 4 種情況全部都討論到。討論一根不存在的時(shí)候，只要特別注意判斷正負(fù)時(shí)我們用圖像法，畫出（2ax-1）和I

10、n x的圖像，判斷它們乘積的正負(fù)就很簡(jiǎn)單了。例 3（ 2016，北京理）已知f（x）=xe2 ex，求f （x）單調(diào)區(qū)間2 x2 x解：f（x）=e -xe e（明顯一階導(dǎo)不能解出根或者判斷出正負(fù)，必須要求二階導(dǎo)）2 _x令f（x） =（x-2）e -0，得到 x=2 （令二階導(dǎo)為 0，解出二階導(dǎo)的根）x （-：,2）f （x） ：0, f（x）單調(diào)減，x （2,：）f （x） 0, f （x）單調(diào)增（判斷一階導(dǎo)單調(diào)性）所以f（X）min二f（弋-10（求出一階導(dǎo)的最值）所以f （x）在 R 上單調(diào)增小結(jié)：這道題我們求了一階導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)解不了這個(gè)方程，那么我們就應(yīng)該轉(zhuǎn)換思路求它的二 階導(dǎo)數(shù)，通過(guò)二

11、階導(dǎo)10就不在定義域內(nèi)了。小學(xué)英語(yǔ)、英語(yǔ)課件、英語(yǔ)教案、小學(xué)英語(yǔ)試題、英語(yǔ)導(dǎo)學(xué)案、英語(yǔ)單詞短語(yǔ)/Js 學(xué)英語(yǔ)、英語(yǔ)課件、英語(yǔ)教案、小洋英語(yǔ)試題、英語(yǔ)導(dǎo)學(xué)案、英語(yǔ)單詞短語(yǔ)的正負(fù)得到一階導(dǎo)的單調(diào)性，從而得到一階導(dǎo)的最小值，進(jìn)而得到一 階導(dǎo)的正負(fù)，判斷出原函數(shù)的單調(diào)性。這屬于第三步中求不出來(lái)根也判斷不了正負(fù)的情況。例 4 已知函數(shù)f (x) =axxln a，其中a 0且a= 1。 討論f (x)的單調(diào)性；解：令f (x) = axIn an a = In a(ax1) = 0，解得x= 0(1)當(dāng)0 ： a ：1時(shí)，Ina. 0 x(0,：), f(x) 0, f (x)單調(diào)增，x(-： ,0, f (x) ： 0, f (x)單調(diào)減(2)當(dāng)a 1時(shí),ln a 0 x(0,：), f (x)0, f (x)單調(diào)增，x(-：,0, f