華北電力大學(xué),理論力學(xué)第13章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)ppt課件

1、第第13章章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)13-1 機(jī)械振動(dòng)及其描述機(jī)械振動(dòng)及其描述13-2 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)單自由度系統(tǒng)振動(dòng)13-3 兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)13-4 機(jī)械振動(dòng)的工程應(yīng)用機(jī)械振動(dòng)的工程應(yīng)用 13.1.1機(jī)械振動(dòng)現(xiàn)象 振動(dòng)是日常生活和工程實(shí)際中常見(jiàn)的現(xiàn)象。 例如：鐘擺的往復(fù)擺動(dòng),汽車(chē)行駛時(shí)的顛簸，電動(dòng)機(jī)、機(jī)床等工作時(shí)的振動(dòng)，以及地震時(shí)引起的建筑物的振動(dòng)等。 利：振動(dòng)給料機(jī)利：振動(dòng)給料機(jī) 弊：磨損，減少壽命，影響強(qiáng)度弊：磨損，減少壽命，影響強(qiáng)度 振動(dòng)篩振動(dòng)篩 引起噪聲，影響勞動(dòng)條件引起噪聲，影響勞動(dòng)條件 振動(dòng)沉拔樁機(jī)等振動(dòng)沉拔樁機(jī)等 消耗能量，降低精度等。消耗能量，降低精度等

2、。研究振動(dòng)的目的：消除或減小有害的振動(dòng)，充分利用振動(dòng)研究振動(dòng)的目的：消除或減小有害的振動(dòng)，充分利用振動(dòng) 為人類(lèi)服務(wù)。為人類(lèi)服務(wù)。 振動(dòng)的利弊：振動(dòng)的利弊：所謂機(jī)械振動(dòng)就是系統(tǒng)在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。所謂機(jī)械振動(dòng)就是系統(tǒng)在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。13-1 機(jī)械振動(dòng)及其描述3. 振動(dòng)系統(tǒng)：按運(yùn)動(dòng)微分方程的形式分振動(dòng)系統(tǒng)：按運(yùn)動(dòng)微分方程的形式分振動(dòng)振動(dòng)/ /系統(tǒng)分類(lèi)系統(tǒng)分類(lèi)運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程線性疊加原理線性疊加原理線性振動(dòng)線性振動(dòng)/ /系統(tǒng)系統(tǒng)線性微分方程成立非線性振動(dòng)非線性振動(dòng)/ /系統(tǒng)系統(tǒng) 非線性微分方程不成立4. 振動(dòng)分類(lèi)振動(dòng)分類(lèi) 按激勵(lì)的有無(wú)和性質(zhì)分按激勵(lì)的有無(wú)和性質(zhì)分振動(dòng)分類(lèi)振動(dòng)分類(lèi)定義定

3、義特點(diǎn)與例子特點(diǎn)與例子固有振動(dòng)固有振動(dòng)無(wú)激勵(lì)時(shí)系統(tǒng)所有可能運(yùn)動(dòng)的無(wú)激勵(lì)時(shí)系統(tǒng)所有可能運(yùn)動(dòng)的集合集合不是現(xiàn)實(shí)的振動(dòng)，不是現(xiàn)實(shí)的振動(dòng)，僅反映系統(tǒng)關(guān)于振動(dòng)僅反映系統(tǒng)關(guān)于振動(dòng)的固有屬性。的固有屬性。自由振動(dòng)自由振動(dòng)激勵(lì)消失后系統(tǒng)所作的振動(dòng)激勵(lì)消失后系統(tǒng)所作的振動(dòng)是現(xiàn)實(shí)的振動(dòng)。是現(xiàn)實(shí)的振動(dòng)。強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)在外界激勵(lì)下所作的振動(dòng)系統(tǒng)在外界激勵(lì)下所作的振動(dòng)隨機(jī)振動(dòng)隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)在非確定性的隨機(jī)激勵(lì)下系統(tǒng)在非確定性的隨機(jī)激勵(lì)下所作的振動(dòng)。所作的振動(dòng)。包括物理參數(shù)具有隨機(jī)性質(zhì)的系統(tǒng)發(fā)生包括物理參數(shù)具有隨機(jī)性質(zhì)的系統(tǒng)發(fā)生的振動(dòng)。行駛在公路上的汽車(chē)的振動(dòng)。的振動(dòng)。行駛在公路上的汽車(chē)的振動(dòng)。自激振動(dòng)自激振動(dòng)系統(tǒng)受

4、到由其自身運(yùn)動(dòng)誘發(fā)出系統(tǒng)受到由其自身運(yùn)動(dòng)誘發(fā)出來(lái)的激勵(lì)作用而產(chǎn)生和維持的來(lái)的激勵(lì)作用而產(chǎn)生和維持的振動(dòng)。振動(dòng)。系統(tǒng)包含有補(bǔ)充能量的能源系統(tǒng)包含有補(bǔ)充能量的能源。演奏提琴。演奏提琴所發(fā)出的樂(lè)聲所發(fā)出的樂(lè)聲, , 是琴弦作自激振動(dòng)所致。是琴弦作自激振動(dòng)所致。車(chē)床切削加工時(shí)在某種切削用量下所發(fā)車(chē)床切削加工時(shí)在某種切削用量下所發(fā)生的激烈的高頻振動(dòng)生的激烈的高頻振動(dòng), , 架空電纜在風(fēng)作架空電纜在風(fēng)作用下所發(fā)生的與風(fēng)向垂直的上下振動(dòng)以用下所發(fā)生的與風(fēng)向垂直的上下振動(dòng)以及飛機(jī)機(jī)翼的顫振等。及飛機(jī)機(jī)翼的顫振等。參數(shù)振動(dòng)參數(shù)振動(dòng)激勵(lì)因素以系統(tǒng)本身的參數(shù)隨激勵(lì)因素以系統(tǒng)本身的參數(shù)隨時(shí)間變化的形式出現(xiàn)的振動(dòng)。時(shí)間

5、變化的形式出現(xiàn)的振動(dòng)。秋千在初始小擺角下被越蕩越高，受到秋千在初始小擺角下被越蕩越高，受到的激勵(lì)以擺長(zhǎng)隨時(shí)間變化的形式出現(xiàn)，的激勵(lì)以擺長(zhǎng)隨時(shí)間變化的形式出現(xiàn)，擺長(zhǎng)的變化由人體的下蹲及站直造成。擺長(zhǎng)的變化由人體的下蹲及站直造成。(2)Af 振幅圓頻率初相角13.1.2. 13.1.2. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng) 1. 1. 表示表示 2. 2. 三要素三要素( )sin()x tAt12Tf3. 周期與頻率周期與頻率周期周期 T 頻率頻率 f12fT單位：?jiǎn)挝唬篢：s(秒秒) f：Hz(赫茲赫茲) ：rad/s4. 位移、速度與加速度位移、速度與加速度位移位移 速度速度加速度加速度( )sin()xx

6、tAt( )cos()sin()2dx txAtdtAt2222( )sin()sin()d x txAtdtAt 5. 位移、速度與加速度關(guān)系位移、速度與加速度關(guān)系(1) 位移、速度與加速度均為簡(jiǎn)諧函數(shù)，位移、速度與加速度均為簡(jiǎn)諧函數(shù)，且同頻。且同頻。(2) 速度超前位移速度超前位移90，加速度超前位移，加速度超前位移180。(3) 加速度與位移關(guān)系：加速度與位移關(guān)系： 加速度與位移成正比加速度與位移成正比, 方向相反方向相反, 指指向平衡位置。向平衡位置。2xx 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量簡(jiǎn)諧振動(dòng)表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)表示位移、速度與加速度關(guān)系位移、速度與加速度關(guān)系xReImoMtMReImoAReImoAA

7、A26. 旋轉(zhuǎn)矢量表示旋轉(zhuǎn)矢量表示( )sin()x tAt()jtzAe( )Im( )sin()x tzAt( )jj tj tz tAeeAejAAe旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量復(fù)振幅，包含振幅和相位信息復(fù)振幅，包含振幅和相位信息cos()sin()AtjAt7.復(fù)數(shù)表示二. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成1. 兩個(gè)同頻率振動(dòng)合成111( )sin()x tAt12( )( )( )sin()x tx tx tAt2211221122(sinsin)(coscos)AAAAA11221122sinsincoscosAAtgAA222( )sin()x tAt同頻振動(dòng)合成ReIm x(t)oAA11A22111222(

8、 )sin( )sinx tAtx tAt二. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成2. 兩個(gè)不同頻率振動(dòng)合成(1) 1與2之比為有理數(shù)11221222mmnTmTnTn設(shè)12( )( )( )x tx tx t12112212()()()()()( )( )( )x tTx tTx tTx tmTx tnTx tx tx t111222( )sin( )sinx tAtx tAt二. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成2. 兩個(gè)不同頻率振動(dòng)合成(1) 1與2之比為有理數(shù)T為x1(t)和x2(t)合成之周期。結(jié)論： 兩不同頻振動(dòng)合成不再為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。但頻率比為有理數(shù)時(shí)，可合成為周期振動(dòng)。合成振動(dòng)周期為兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期之最小公倍數(shù)。( )2co

9、ssin2( )sinx tAttA tt1212AAA若，設(shè)(2) 1與與 2之比為無(wú)理數(shù)之比為無(wú)理數(shù)結(jié)論結(jié)論:無(wú)公共周期，合成振動(dòng)為非周無(wú)公共周期，合成振動(dòng)為非周期振動(dòng)。期振動(dòng)。111222( )sin( )sinx tAtx tAt21212 cossin22Att121122( )( )( )sinsinx tx tx tAtAt21212令：，( )2 cos2A tAt(2) 1與與 2之比為無(wú)理數(shù)之比為無(wú)理數(shù)“拍拍”: 頻率為頻率為的變幅振動(dòng)，振幅在的變幅振動(dòng)，振幅在02A之間緩慢之間緩慢周期變化。包絡(luò)線為周期變化。包絡(luò)線為A(t)，拍頻為，拍頻為 。2A124212tx(t)o

10、x(t)stl0kABxomgFm 物塊質(zhì)量 k 彈簧剛度l0 彈簧自然長(zhǎng)度st彈簧靜變形靜止時(shí)0,0stXmgk運(yùn)動(dòng)時(shí)0,()stXmgkxmx0mxkx20nxx常系數(shù)二階齊次微分方程13.2.1 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 1.單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)模型13-2 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)固有圓頻率式中mkn2.單自由度固有振動(dòng)方程求解0012020)sin()(xxtgxxAtAtxnnn02xxn 振動(dòng)方程：txtxxnnnsincos00解nxCxC020100, 0 xxxxt 初始條件：積分常數(shù)、通解：2121,sincosCCtCtCxnn無(wú)阻尼自由振動(dòng)周期kmTn22固有頻率mkTfnn21

11、21nnf23.單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)初始條件：xxxxt)()(初始速度：初始位移：時(shí)，ttxtxtxnnn),(sin)(cos)(時(shí)刻后自由振動(dòng)解：對(duì)于t=0初始條件：00)0()0(0 xxxxt，0,sincos)(00ttxtxtxnnn0012020 xxtgxxAnn，4.固有頻率計(jì)算 靜變形法stkmgstngmk13.2.213.2.2計(jì)算固有頻率的能量法計(jì)算固有頻率的能量法: :原理與方法原理與方法對(duì)不計(jì)阻尼的系統(tǒng)，因?yàn)闆](méi)有能量損失，所以可以用能量守恒原理建立自由振動(dòng)微分方程，或直接求出系統(tǒng)固有頻率。方法方法設(shè)系統(tǒng)任一瞬時(shí)的動(dòng)能及勢(shì)能分別為T(mén)及U，由機(jī)械能守恒有0)(UTd

12、td將系統(tǒng)能量的具體表達(dá)式代入，便可導(dǎo)出自由振動(dòng)微分方程，并求出系統(tǒng)固有頻率。原理原理例例1 1 彈簧質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)彈簧質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng) 221xmT2021kxkxdxUx動(dòng)能動(dòng)能勢(shì)能勢(shì)能0)(0)2121()(22xkxxmkxxmdtdUTdtd 0kxxm 由于速度不可能恒為零k2maxmax21xmT2maxmax21kxU在靜平衡位置，系統(tǒng)勢(shì)能為零，動(dòng)能最大在靜平衡位置，系統(tǒng)勢(shì)能為零，動(dòng)能最大在最大位移處，系統(tǒng)動(dòng)能為零，勢(shì)能最大在最大位移處，系統(tǒng)動(dòng)能為零，勢(shì)能最大maxmaxUTmaxmaxxxn固有圓頻率mkn能量守恒能量守恒考慮兩個(gè)特殊位置上系統(tǒng)能量：考慮兩個(gè)特殊位置上系統(tǒng)能量： 由于系統(tǒng)的

13、固有振動(dòng)是以固有頻率為振動(dòng)頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，所以最大速度與最大位移有關(guān)系：例例2 位移計(jì)位移計(jì)k2 BWk1bcO質(zhì)量塊重W,搖臂AB繞支點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I,兩彈簧剛度為k1,k2,求系統(tǒng)固有頻率。解22max)(2121bxIxgWTmm 2221max)(2121mmxbckxkU最大動(dòng)能最大動(dòng)能最大勢(shì)能最大勢(shì)能maxmaxUT22221/)/(bIgWkbckn能量守恒能量守恒22221)(21mxkbck 222)(21nmxbIgW設(shè)質(zhì)塊最大速度和最大位移為mmxx ，2/mmxbkcxb搖臂最大角速度彈簧最大伸長(zhǎng)量例3 圓柱體微振動(dòng)重重W半徑半徑r的圓柱體在半徑為的圓柱體在半徑為R圓

14、柱面內(nèi)作圓柱面內(nèi)作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)。求圓柱體在平衡位置附近作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)。求圓柱體在平衡位置附近作微振動(dòng)的微分方程和固有頻率。微振動(dòng)的微分方程和固有頻率。解 設(shè)角坐標(biāo)，系統(tǒng)勢(shì)能為2/)()cos1)(2rRWrRWUA為瞬心，質(zhì)心線速度為設(shè)圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為 rrRrrRvc/)()(系統(tǒng)動(dòng)能222222)(43)(21(2121rRgWrrRrgWrgWITA)( 320)( 320)()(232rRgrRgrRWrRgWn 彈簧串并聯(lián)1.并聯(lián)彈簧變形相等21kkKe等效彈簧剛度stl0mgF1 F2k1 k2stl0mgFKeststststkkkkFFkF)(2121212.串聯(lián)彈簧受力相等21

15、21kkkkKe等效彈簧剛度stststlllll21210l0stmgFKe1stl1l22st21111kkKe21kmgkmgKmge21111kkKek1k2mgF 13.2.4 單自由度系統(tǒng)的無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)一、強(qiáng)迫振動(dòng)的概念一、強(qiáng)迫振動(dòng)的概念 強(qiáng)迫振動(dòng)：在外加激振力作用下的振動(dòng)。強(qiáng)迫振動(dòng)：在外加激振力作用下的振動(dòng)。 簡(jiǎn)諧激振力：簡(jiǎn)諧激振力： H力幅；力幅； 激振力的圓頻率激振力的圓頻率 ； 激振力的初相位。激振力的初相位。)sin(tHS)sin(tHkxxm 則令 , 2mHhmkn)sin(2thxxn 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。二、無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程及其解二、無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程及其解 21xxx)sin()sin(21tbxtAxn為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為特解)sin( , 22222thxhbnn)sin()sin(22thtAxnn全解為：穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng) 3、強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅大小與運(yùn)動(dòng)初始條件無(wú)關(guān)，而與振動(dòng)系統(tǒng) 的固