數(shù)學必修五知識點總結(jié)

1、.數(shù)學必修五知識點總結(jié)第一章 解三角形1、正弦定理：在中，、分別為角、的對邊，為的外接圓的半徑，則有2、正弦定理的變形公式：，；xueba，；（正弦定理主要用來解決兩類問題：1、已知兩邊和其中一邊所對的角，求其余的量。2、已知兩角和一邊，求其余的量。）對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況。（一解、兩解、無解三中情況）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A為銳角）求B。具體的做法是：數(shù)形結(jié)合思想DbsinAAbaC畫出圖：法一：把a擾著C點旋轉(zhuǎn)，看所得軌跡以AD有無交點：當無交點則B無解；當有一個交點則B有一解；當有兩個交點則B有兩個解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情況：

2、 當a<bsinA，則B無解；當bsinA<ab,則B有兩解；當a=bsinA或a>b時，B有一解注：當A為鈍角或是直角時以此類推既可。3、三角形面積公式：4、余弦定理：在中，有，5、余弦定理的推論：，(余弦定理主要解決的問題：1、已知兩邊和夾角，求其余的量。2、已知三邊求角)6、如何判斷三角形的形狀：設(shè)、是的角、的對邊，則：若，則；若，則；若，則附：三角形的五個“心”；重心：三角形三條中線交點.外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點.垂心：三角形三邊上的高相交于一點.7用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型xueba測量距離問題、高度問題

3、、角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等2實際問題中的常用角xueba(1)仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖(1)(2)方位角指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為(如圖(2)(3)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°，西偏東60°等(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)一個步驟3.解三角形應(yīng)用題的一般步驟：(1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型(3)根據(jù)

4、題意選擇正弦定理或余弦定理求解(4)將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等兩種情形4.解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形(1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解例1、一船向正北航行，看見正西方向相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔

5、在船的南偏西75°，則這艘船的速度是每小時()A5海里 B5海里C10海里 D10海里解析如圖所示，依題意有BAC60°，BAD75°，所以CADCDA15°，從而CDCA10(海里)，在RtABC中，得AB5(海里)，于是這艘船的速度是10(海里/時)答案C例2、如圖所示，xueba為了測量河對岸A，B兩點間的距離，在這岸定一基線CD，現(xiàn)已測出CDa和ACD60°，BCD30°，BDC105°，ADC60°，試求AB的長審題視點 在BCD中，求出BC，在ABC中，求出AB.解在ACD中，已知CDa，ACD60&#

6、176;，ADC60°，所以ACa.BCD30°，BDC105°CBD45°在BCD中，由正弦定理可得BCa.xueba在ABC中，已經(jīng)求得AC和BC，又因為ACB30°，所以利用余弦定理可以求得A，B兩點之間的距離為ABa.例3、如圖，A，B，C，D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂，測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75°，30°，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°，AC0.1 km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B，D的距離解在ACD中，DAC3

7、0°，ADC60°DAC30°，所以CDAC0.1 km.又BCD180°60°60°60°，故CB是CAD底邊AD的中垂線，所以BDBA.又ABC15°在ABC中，所以AB(km)，同理，BD(km)故B、D的距離為 km.例4、如圖，在ABC中，已知B45°，D是BC邊上的一點，AD10，AC14，DC6，求AB的長解在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得cosADC，ADC120°，ADB60°.在ABD中，AD10，B45°，ADB60°，由正

8、弦定理得，AB5.第二章 數(shù)列1、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)2、數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)3、有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列4、無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列5、遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列6、遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列7、常數(shù)列：各項相等的數(shù)列 8、擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列9、數(shù)列的通項公式：表示數(shù)列的第項與序號之間的關(guān)系的公式10、數(shù)列的遞推公式：表示任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系的公式11、如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個常數(shù)稱為等差

9、數(shù)列的公差12、由三個數(shù)，組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，則稱為與的等差中項若，則稱為與的等差中項13、若等差數(shù)列的首項是，公差是，則 通項公式的變形：；14、若是等差數(shù)列，且（、），則；若是等差數(shù)列，且（、），則；下角標成等差數(shù)列的項仍是等差數(shù)列；連續(xù)m項和構(gòu)成的數(shù)列成等差數(shù)列。15、等差數(shù)列的前項和的公式：；16、等差數(shù)列的前項和的性質(zhì)：若項數(shù)為，則，且，若項數(shù)為，則，且，（其中，）17、如果一個數(shù)列從第項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比18、在與中間插入一個數(shù)，使，成等比數(shù)列，則稱為與的等比中項若，則稱為與的等比中項19

10、、若等比數(shù)列的首項是，公比是，則 20、通項公式的變形：；21、若是等比數(shù)列，且（、），則；若是等比數(shù)列，且（、），則；下角標成等差數(shù)列的項仍是等比數(shù)列；連續(xù)m項和構(gòu)成的數(shù)列成等比數(shù)列。22、等比數(shù)列的前項和的公式：時，即常數(shù)項與項系數(shù)互為相反數(shù)。23、等比數(shù)列的前項和的性質(zhì)：若項數(shù)為，則】 ，成等比數(shù)列24、與的關(guān)系：一些方法：一、求通項公式的方法：1、由數(shù)列的前幾項求通項公式：待定系數(shù)法若相鄰兩項相減后為同一個常數(shù)設(shè)為，列兩個方程求解；若相鄰兩項相減兩次后為同一個常數(shù)設(shè)為，列三個方程求解；若相鄰兩項相減后相除后為同一個常數(shù)設(shè)為，q為相除后的常數(shù)，列兩個方程求解；2、由遞推公式求通項公式：若

11、化簡后為形式，可用等差數(shù)列的通項公式代入求解；若化簡后為形式，可用疊加法求解；若化簡后為形式，可用等比數(shù)列的通項公式代入求解；若化簡后為形式，則可化為，從而新數(shù)列是等比數(shù)列，用等比數(shù)列求解的通項公式，再反過來求原來那個。（其中是用待定系數(shù)法來求得）3、由求和公式求通項公式： 檢驗，若滿足則為，不滿足用分段函數(shù)寫。4、其他 （1）形式，便于求和，方法：迭加；例如：有：（2）形式，同除以，構(gòu)造倒數(shù)為等差數(shù)列；例如：，則，即為以-2為公差的等差數(shù)列。（3）形式，方法：構(gòu)造：為等比數(shù)列；例如：，通過待定系數(shù)法求得：，即等比，公比為2。（4）形式：構(gòu)造：為等比數(shù)列；來源:數(shù)理化網(wǎng)（5）形式，同除，轉(zhuǎn)化為

12、上面的幾種情況進行構(gòu)造；因為，則，若轉(zhuǎn)化為（1）的方法，若不為1，轉(zhuǎn)化為（3）的方法二、等差數(shù)列的求和最值問題：（二次函數(shù)的配方法；通項公式求臨界項法）若，則有最大值，當n=k時取到的最大值k滿足若，則有最小值，當n=k時取到的最大值k滿足三、數(shù)列求和的方法：疊加法：倒序相加，具備等差數(shù)列的相關(guān)特點的，倒序之后和為定值；錯位相減法：適用于通項公式為等差的一次函數(shù)乘以等比的數(shù)列形式，如：；分式時拆項累加相約法：適用于分式形式的通項公式，把一項拆成兩個或多個的差的形式。如：，等；一項內(nèi)含有多部分的拆開分別求和法：適用于通項中能分成兩個或幾個可以方便求和的部分，如：等；四、綜合性問題中等差數(shù)列中一些

13、在加法和乘法中設(shè)一些數(shù)為類型，這樣可以相加約掉，相乘為平方差；等比數(shù)列中一些在加法和乘法中設(shè)一些數(shù)為類型，這樣可以相乘約掉。附：數(shù)列求和的常用方法1. 公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。2.裂項相消法:適用于其中 是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。3.錯位相減法:適用于其中 是等差數(shù)列，是各項不為0的等比數(shù)列。4.倒序相加法: 類似于等差數(shù)列前n項和公式的推導方法.5.常用結(jié)論1）: 1+2+3+.+n = 2） 1+3+5+.+(2n-1) = 3）4） 5）6） 例1、已知數(shù)列an的通項為an=,求這個數(shù)列的前n項和Sn.解：觀察后發(fā)

14、現(xiàn)：an=例2：已知數(shù)列an的通項公式為，求這個數(shù)列的前n項之和。解：由題設(shè)得： =即= 把式兩邊同乘2后得= 用-，即：= = 得例3. 求和Sn= 解: 由得,令k=1、2、3、n得 21=3·13·11 323·23·21433·33·31 （n+1）n=3n+3n+1把以上各式兩邊分別相加得：（n+1）1=3(1+2+n)+3(1+2+3+n)+n =3Sn+n(n+1)+n因此，Snn(n+1)(2n+1)例4、已知數(shù)列：1，求它的前n項的和Sn解： an1an2則原數(shù)列可以表示為：(21)，前n項和Sn(21)2n2n2n

15、22n2例5、設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn，bnan·2n，求數(shù)列bn的前n項和Tn解：取n1，則a1a11又Sn可得：an1(nN*) an2n1Tn1·23·225·23(2n1)·2n 2Tn1·223·235·24(2n1)·2n1得：、Tn22324252n1(2n1)·2n12(2n1)·2n16(1n)·2n2Tn6(n1)·2n2例6、設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn2n2，bn為等比數(shù)列，且a1b1，b2(a2a1)b1. 求數(shù)列an和bn通項

16、公式 設(shè)Cn，求數(shù)列Cn前n項和Tn 解：（1）當n1時a1S12，當n2時，anSnSn14n2，故an通項公式為an4n2，即an是a12，d4的等差數(shù)列，設(shè)bn的公比為q，則b1qdb1，d4， q，故bnb1qn1（2）CnTnC1C2Cn13×45×42（2n1）4n14Tn1×43×425×43（2n3）4nn（2n1）4n兩式相減 3Tn Tn第三章 不等式1、；比較兩個數(shù)的大小可以用相減法；相除法；平方法；開方法；倒數(shù)法等等。2、不等式的性質(zhì)：；，；3、一元二次不等式：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的不等式4、二次函數(shù)

17、的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關(guān)系：判別式二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根有兩個相異實數(shù)根 有兩個相等實數(shù)根沒有實數(shù)根一元二次不等式的解集t5、二元一次不等式：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是的不等式6、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組7、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的和的取值構(gòu)成有序數(shù)對，所有這樣的有序數(shù)對構(gòu)成的集合8、在平面直角坐標系中，已知直線，坐標平面內(nèi)的點若，則點在直線的上方若，則點在直線的下方9、在平面直角坐標系中，已知直線若，則表示直線上方的區(qū)域；表示直線下方的區(qū)域若，則表示直線下方的區(qū)域；表示直線上方的區(qū)域10線性約束

18、條件：由，的不等式（或方程）組成的不等式組，是，的線性約束條件目標函數(shù)：欲達到最大值或最小值所涉及的變量，的解析式線性目標函數(shù)：目標函數(shù)為，的一次解析式線性規(guī)劃問題：求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題可行解：滿足線性約束條件的解可行域：所有可行解組成的集合最優(yōu)解：使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解11、設(shè)、是兩個正數(shù)，則稱為正數(shù)、的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)、的幾何平均數(shù)12、均值不等式定理： 若，則，即13、常用的基本不等式：； ；14、極值定理：設(shè)、都為正數(shù)，則有若（和為定值），則當時，積取得最大值若（積為定值），則當時，和取得最小值一元二次不等式的求解：特例 一元一次不等式a

19、x>b解的討論；一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)解的討論. 二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根 無實根 R對于a<0的不等式可以先把a化為正后用上表來做即可。2.分式不等式的解法（1）標準化：移項通分化為>0(或<0)； 0(或0)的形式，（2）轉(zhuǎn)化為整式不等式（組）3.含絕對值不等式的解法：基本形式：型如：|x|a (a0) 的不等式 的解集為：型如：|x|a (a0) 的不等式 的解集為：變型： 解得。其中-c<ax+b<c等價于不等式組 在解-c<ax+b<c得注意a的符號型的不等式的解法可以由來

20、解。對于含有兩個或兩個以上的絕對值的不等式：用“零點分區(qū)間法”分類討論來解.絕對值不等式解法中常用幾何法：即根據(jù)絕對值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.4.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的實根的分布常借助二次函數(shù)圖像來分析：對稱軸x=yox設(shè)ax2+bx+c=0的兩根為，f(x)=ax2+bx+c,那么：若兩根都大于0，即，則有對稱軸x=oxy若兩根都小于0，即，則有oyx若兩根有一根小于0一根大于0，即，則有X=nxmoy若兩根在兩實數(shù)m,n之間，即，則有X=yomtnx若兩個根在三個實數(shù)之間，即，則有35、二元一次不等式：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是的不等式36、二

21、元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組37、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的和的取值構(gòu)成有序數(shù)對，所有這樣的有序數(shù)對構(gòu)成的集合38、在平面直角坐標系中，已知直線，坐標平面內(nèi)的點若，則點在直線的上方若，則點在直線的下方39、在平面直角坐標系中，已知直線（一）由B確定：若，則表示直線上方的區(qū)域；表示直線下方的區(qū)域若，則表示直線下方的區(qū)域；表示直線上方的區(qū)域（二）由A的符號來確定：先把x的系數(shù)A化為正后，看不等號方向：若是“>”號，則所表示的區(qū)域為直線l: 的右邊部分。若是“<”號，則所表示的區(qū)域為直線l: 的左邊部分。（三）確定不等式組所表示區(qū)域的步驟：畫

22、線：畫出不等式所對應(yīng)的方程所表示的直線定測：由上面（一）（二）來確定求交：取出滿足各個不等式所表示的區(qū)域的公共部分。40、線性約束條件：由，的不等式（或方程）組成的不等式組，是，的線性約束條件目標函數(shù)：欲達到最大值或最小值所涉及的變量，的解析式線性目標函數(shù)：目標函數(shù)為，的一次解析式線性規(guī)劃問題：求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題可行解：滿足線性約束條件的解可行域：所有可行解組成的集合最優(yōu)解：使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解41、設(shè)、是兩個正數(shù)，則稱為正數(shù)、的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)、的幾何平均數(shù)42、均值不等式定理： 若，則，即43、常用的基本不等式：；44、極值定理：設(shè)、都為

23、正數(shù)，則有：若（和為定值），則當時，積取得最大值若（積為定值），則當時，和取得最小值例1、求不等式的解集。解：將原不等式因式分解為： 由方程：解得 將這三個根按從小到大順序在數(shù)軸上標出來，如圖+-214x由圖可看出不等式的解集為： 例2、已知，求函數(shù)的最大值。解：， 由原式可以化為：當，即時取到“=”號也就是說當時有例3、求解不等式：32x解：零點分類討論法： 分別令 解得： 在數(shù)軸上，-3和2就把數(shù)軸分成了三部分，如右上圖 當時，（去絕對值符號）原不等式化為：當時，（去絕對值符號）原不等式化為：當時，（去絕對值符號）原不等式化為：5=10yo2x由得原不等式的解集為：（注：是把的解集并在一起）函數(shù)圖像法：令則有：在直角坐標系中作出此分段函數(shù)及的圖像如圖由圖像可知原不等式的解集為：例4、若方程有兩個正實數(shù)根，求的取值范圍。解：由型得所以方程有兩個正實數(shù)根時，。例5、方程的一根大于1，另一根小于1，求的范圍。解：因為有兩個不同的根，所以由例6、(山東省煙臺市2012屆高三上