概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程沈恒范著期末復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、1/ 6(4) Bayes 公式:P(Bk| A)P(BJP(A| BJnP(Bi)P(A|Bi)7.事件的獨(dú)立性：A,B獨(dú)立P(AB) P(A)P(B)(注意獨(dú)立性的應(yīng)用)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程期末復(fù)習(xí)提要第一章隨機(jī)事件與概率3 概率P(A)滿足的三條公理及性質(zhì):(1)0 P(A)1(2)P()1(3) 對(duì)互不相容的事件A1, A2,n,An，有P( Ak)k 1nP(Ak)k 1(n可以取 )(4)P()0(5)P(A)1 P(A)2 運(yùn)算規(guī)則(1)ABBA AB BA(2)(AB)CA (B C)(AB)CA( BC)(3)(AB)C(AC) (BC)(AB) C(A C)(B C)(4)

2、ABABAB A BAB1 事件的關(guān)系A(chǔ) BA B AB A B A(1)定義：若P(B) 0,則P(A| B)P(AB)P(B)(2) 乘法公式：P(AB)P(B)P(A| B)若B1, B2, Bn為完備事件組,P(Bi)0，則有(3) 全概率公式:P(A)nP(Bi)P(A|Bi)i 12/ 6(6)P(AB)P(A) P(AB)，若A B，則P(BA) P(B)P(A),P(A) P(B)(7)P(AB)P(A) P(B)P(AB)(8)P(ABC) P(A) P(B) P(C) P(AB)P(AC)P(BC) P(ABC)4 古典概型：基本事件有限且等可能5.幾何概率6.條件概率第二

3、章隨機(jī)變量及其分布1.離散隨機(jī)變量：取有限或可列個(gè)值，P(X Xi) Pi滿足(1)Pi0,(2)Pi=1i(3)對(duì)任意D R，P(X D) pii:xiD2.連續(xù)隨機(jī)變量：具有概率密度函數(shù)f (x)，滿足(1)f (x) 0, _ f (x)dx1；b(2)P(a X b) f (x)dx； (3)對(duì)任意a R,P(X a) 0a3.幾個(gè)常用隨機(jī)變量名稱與記號(hào)分布列或密度數(shù)學(xué)期望方差兩點(diǎn)分布B(1, p)P(X 1) p,P(X 0) q 1 pppq二項(xiàng)式分布B(n, p)P(X k) C：pkqnk,k 0,1,2, n,npnpqPoisson 分布P()kP(X k) e ,k 0,

4、1,2, k!幾何分布G(p)P(X k) qk 1p, k 1,2,1 p_q_2p均勻分布U (a,b)1f(x), a x b,b aa b2(b a)2123/ 6指數(shù)分布E()f (x)ex, x 0丄丄正態(tài)分布N( ,2)1(x )2f (x)匝e224.分布函數(shù)F(x) P(X x)，具有以下性質(zhì)(1)F( )0, F( )1; (2)單調(diào)非降；(3)右連續(xù)；(4)P(a X b) F(b) F(a)，特別P(X a) 1 F(a)；(5)對(duì)離散隨機(jī)變量，F(xiàn)(x) Pi；i:xxx(6) 對(duì)連續(xù)隨機(jī)變量，F(xiàn)(x) f(t)dt為連續(xù)函數(shù)，且在f(x)連續(xù)點(diǎn)上，F(xiàn) (x) f (x

5、)5.正態(tài)分布的概率計(jì)算以(x)記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的分布函數(shù)，則有2x(1)(0)0.5(2)( x) 1(x)；(3)若X N(,)，則F(x) ()；(6)4/ 6(4)以u(píng)記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的上側(cè) 分位數(shù)，則P(X u )P(X Xi) Pi,P(YX2,y1Y y2)F(X2,y2)F(xy2)F(X2,yJ F(X1,yJ；對(duì)二維連續(xù)隨機(jī)向量，f(x, y)F(x,y)6.隨機(jī)變量的函數(shù)Yg(X)(1)離散時(shí)，求Y的值,將相同的概率相加;(2)X連續(xù)，g(x)在X的取值范圍內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)，且有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則fY(y)fx(g1(y) | (g1(y)|，若不單調(diào)，先求分

6、布函數(shù)，再求導(dǎo)。第三章隨機(jī)向量1.二維離散隨機(jī)向量，聯(lián)合分布列P(XXi，Yyj)Pj，邊緣分布列1 (u )門)Pij0； (2)Pij1； (3)PiPij，ijPiji2.二維連續(xù)隨機(jī)向量，聯(lián)合密度f (x, y)，邊緣密度fx(x), fY(y)，有(1)f (x, y)0； (2)f(x,y) 1； (3)P(X,Y) G)Gf(x,y)dxdy；(4)fx(X)f (x, y)dy,fY(y)f (x, y)dx3.二維均勻分布1f(x,y)苗0,其它G，其中m(G)為G的面積4.二維正態(tài)分布(X,Y) N(22,1,)，其密度函數(shù)(牢記五個(gè)參數(shù)的含義)5.f(x,y)2(X1)2

7、212(xJ(y2) (y2)2222且X N(1,1), Y N(;)；二維隨機(jī)向量的分布函數(shù)F(x,y) P(Xx,Yy)有(1)關(guān)于x, y單調(diào)非降；(2)關(guān)于x, y右連續(xù);(3)F(x,F(,y)F(4)F(1,F(x,)Fx(x),F(,y)FYW)；(5)6隨機(jī)變量的獨(dú)立性X,Y獨(dú)立F(x,y) Fx(x)FY(y)5/ 6x y6隨機(jī)變量的獨(dú)立性X,Y獨(dú)立F(x,y) Fx(x)FY(y)6/ 6(1)離散時(shí)X, Y獨(dú)立pijpiPj(2)連續(xù)時(shí)X, Y獨(dú)立f (x, y)fx(Xf(y)(3)二維正態(tài)分布X,Y獨(dú)立0,且XY N(122,117.隨機(jī)變量的函數(shù)分布(1) 和的

8、分布ZX 丫的密度fz(z)f (z y, y)dyf (x, z x)dx(2) 最大最小分布第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 期望(1)離散時(shí)E(X)XiPi,E(g(X)g(xPi;ii(2)連續(xù)時(shí)E(X) xf(x)dx,E(g(X) g(x)f(x)dx；二維時(shí)E(g(X,Y)g(Xi,yj)Pj,E(g(X,Y)g(x, y)f (x, y)dxdyi,j E(C) C; (5)E(CX) CE(X);(6)E(X Y) E(X) E(Y);(7)X,Y獨(dú)立時(shí)，E(XY) E(X)E(Y)2方差(1)方差D(X) E(X E(X)2E(X2) (EX)2，標(biāo)準(zhǔn)差(X) D(X)；(2)

9、D(C) 0, D(X C) D(X);(3)D(CX ) C2D(X)；(4)X,Y獨(dú)立時(shí)，D(X Y) D(X) D(Y)3 協(xié)方差(1)Cov(X,Y)E(XE(X)(YE(Y)E(XY) E(X)E(Y)；(2)Cov(X,Y)Cov(Y,X), Cov(aX,bY)abCov(X,Y)；(3)Cov(X1X2,Y)Cov(X1,Y) Cov(X2,Y)；6隨機(jī)變量的獨(dú)立性X,Y獨(dú)立F(x,y) Fx(x)FY(y)7/ 6(4)Cov(X,Y)0時(shí)， 稱X,Y不相關(guān)，獨(dú)立不相關(guān)，反之不成立，但正態(tài)時(shí)等價(jià);8/ 6(5)D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)4相關(guān)系數(shù)XY

10、C0V(X,Y)；有|XYI 1,|XYI 1 a,b, P(Y aX b) 1(X)(Y)5.k階原點(diǎn)矩kE(Xk),k階中心矩kE(X E(X)k第五章大數(shù)定律與中心極限定理1.Chebyshev 不等式P| X E(X) |或P| X E(X) |12.大數(shù)定律3.中心極限定理(1 )設(shè)隨 機(jī)變量X1,X2, ,Xn獨(dú)立 同分布E(Xi)n2 1n 2i1Xi近以N(n,n)，或；Xi近以N(，丁)(2)設(shè)m是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，P(A) p,則對(duì)任意x,有l(wèi)imPmnpx(x)或理解為若X B(n, p)，則X N(np,npq)近似第六章樣本及抽樣分布nnpq1 .總體、

11、樣本(1)簡單隨機(jī)樣本：即獨(dú)立同分布于總體的分布(注意樣本分布的求法)(2)樣本數(shù)字特征：2統(tǒng)計(jì)量：樣本的函數(shù)且不包含任何未知數(shù)3三個(gè)常用分布(注意它們的密度函數(shù)形狀及分位點(diǎn)定義)(1)2分布2X； X；X；2(n)，其中X1,X2, ,Xn獨(dú)立同分布于標(biāo) 2 2 2準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，若X (n1), Y (n2)且獨(dú)立，則X Y (m n2);nXi或i 1n近以N(0,1)，1Xik，樣本k階中心矩kni 1樣本k階原點(diǎn)矩kniXX)k9/ 61nXini 12樣本均值X(E(X)，D(X);n樣本方差S21nn1(Xi1i 1X)2(E(S2)2) 樣本標(biāo)準(zhǔn)差s、1nY n 1i

12、1(XiX)2n10/ 6(2)t分布tX_t( n)，其中XN(0,1),Y2(n)且獨(dú)立;JY/ n4.正態(tài)總體的抽樣分布121)第七章參數(shù)估計(jì)1 .矩估計(jì)：(1)根據(jù)參數(shù)個(gè)數(shù)求總體的矩；(2)令總體的矩等于樣本的矩；2.極大似然估計(jì)：(1)寫出極大似然函數(shù)；(2)求對(duì)數(shù)極大似然函數(shù)(3)求導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)；(4)令導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)為 0,解出極大似然估計(jì)(如無解回到(1)直接求最大值，一般為 minxi或 maxxi)3.估計(jì)量的評(píng)選原則(1)無偏性：若E(?)，則為無偏；(2)有效性：兩個(gè)無偏估計(jì)中方差小的有效;4.參數(shù)的區(qū)間估計(jì)(正態(tài))參數(shù)條件估計(jì)函數(shù)置信區(qū)間2已知xu/真X百2未知t x s/ J n_sX t (n 1)L 2、n(3)F分布FY/n2(m,n2)，其中X 2(nJ,丫2(n2