圓錐曲線拓展知識及證明

1、理科數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)報告2橢圓的幾何性質(zhì)拓展班級：209 姓名：張祺媛 評定： 1、 橢圓的切線方程：若點是橢圓上任一點，則橢圓過該點的切線方程為：。對于這個公理，網(wǎng)上的證明過程涉及到了求導(dǎo)。但我想，用我們現(xiàn)在的知識，也能解決。方法一是我的證明方法，方法二是網(wǎng)上的方法。在后面證明橢圓的光學(xué)性質(zhì)時，會用到這個公理。證明：方法一：【類比圓的切線方程求法，來求橢圓的切線方程。】 解：設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1 ，過p(x0，y0)的點的方程為(x-x0)2a2+(y-y0)2b2=0 -x2a2+y2b2-(x-x0)2a2+(y-y0)2b2=1-0x2-(x-x0)2a2+y2-(y-y0)2

2、b2=1(x0)(x+x-x0)a2+y0(y+y-y0)b2=1由可知，x-x0=0，y-y0=0 代入上式（非負(fù)數(shù)和為0，每個式子都為0）橢圓的切線方程為：x0xa2+y0yb2=1方法二：當(dāng)時，過點的切線斜率一定存在，且對式求導(dǎo)：切線方程為點在橢圓上，故 代入得而當(dāng)時， 切線方程為，也滿足式故是橢圓過點的切線方程.2、 橢圓的光學(xué)性質(zhì)圖1橢圓的光學(xué)性質(zhì)： 從橢圓一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上。（如右圖1）證明：由證法一得切線的斜率，而的斜率，的斜率到所成的角滿足在橢圓上同理，到所成的角滿足，而橢圓的這種光學(xué)特性，常被用來設(shè)計一些照明設(shè)備或聚熱裝置例如

3、在F1處放置一個熱源，那么紅外線也能聚焦于F2處，對F2處的物體加熱。電影放映機(jī)的反光鏡也是這個原理。3、 橢圓焦點三角形的面積公式在橢圓（0）中，焦點分別為、，點P是橢圓上任意一點，則.證明：記，由橢圓的第一定義得在中，由余弦定理得：配方得：即由任意三角形的面積公式得：.4、 小結(jié)橢圓雙曲線拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2b2=1x2a2-y2b2=1y2=2px切線方程x0xa2+y0yb2=1x0xa2-y0yb2=1y0y=p(x0+x)光學(xué)性質(zhì)·圖1.3F2··F1圖1.2··AF1F2DO圖1.1B從橢圓一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上。從雙曲線一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上。從拋物線的焦點發(fā)出的光，經(jīng)過拋物線反射后，反射光線都平行于拋物線的軸。應(yīng)用圓的這種光學(xué)特性，常被用來設(shè)計一些照明設(shè)備或聚熱裝置例如在F1處放置一個熱源，那么紅外線也能聚焦于F2處，對F2處的物體加熱雙曲線這種反向虛聚焦性質(zhì)，在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計等方面，也能找到實際應(yīng)用拋物線這種聚焦特性，成為聚能裝置或定向發(fā)射裝置的最佳選擇例如探照燈、汽車大燈、衛(wèi)星通訊、太