第四章扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算.

1、一、傳動(dòng)軸如圖19-5( a)所示。主動(dòng)輪A輸入功率Na =36.75kW，從動(dòng)輪B、C、D輸出功率分別為 Nb =Nc =11kW,ND =14.7kW，軸的轉(zhuǎn)速為 n=300r/min。試畫出軸的扭 矩圖。M B I M C II M AIII M DIII(b)(c)(d)III DM n® M D468N m(e)702Nm圖 19-5解 (1)計(jì)算外力偶矩：由于給出功率以kW為單位，根據(jù)(19-1)式：Na36.75Ma =9550=95501170(N m)n300Nb11M b =Mc=9550 =9550351 (N m)n300Nd14.7Md =9550 D=95

2、50468(N m)n300(2)計(jì)算扭矩：由圖知，外力偶矩的作用位置將軸分為三段：BC、CA、AD?，F(xiàn)分別在各段中任取一橫截面，也就是用截面法，根據(jù)平衡條件計(jì)算其扭矩。BC段：以M n1表示截面I I上的扭矩，并任意地把M n1的方向假設(shè)為圖19-5 ( b)所示。根據(jù)平衡條件 ' mx =0得：M n1 * M b 二0M 皿二-M b 二-351 (N m)結(jié)果的負(fù)號說明實(shí)際扭矩的方向與所設(shè)的相反，應(yīng)為負(fù)扭矩。BC段內(nèi)各截面上的扭矩不變，均為351N m。所以這一段內(nèi)扭矩圖為一水平線。同理，在CA段內(nèi)：M nn+ MC M B =0M n n = M c - M b = 702(

3、N m)AD 段：Mn 皿M d 0M n皿二M D =468(N m)根據(jù)所得數(shù)據(jù)，即可畫出扭矩圖圖19 5(e)。由扭矩圖可知，最大扭矩發(fā)生在 CA 段內(nèi)，且 M “max =702 N m如圖19-15所示汽車傳動(dòng)軸AB,由45號鋼無縫鋼管制成，該軸的外徑41D=90mm,壁厚t=2.5mm,工作時(shí)的最大扭矩Mn= 1.5kNm，材料的許用剪應(yīng)力 =60MPa。求（1）試校核AB軸的強(qiáng)度；（2）將AB軸改為實(shí)心軸，試在強(qiáng)度相同的條件 下，確定軸的直徑，并比較實(shí)心軸和空心軸的重量。(1)校核AB軸的強(qiáng)度:dD -2tot =一 =D D90 -2 2.590= 0.944Wn二辛16（14

4、）二-：90316(1 一0.9444) =29400(mm3)軸的最大剪應(yīng)力為-maxM n max150029400 10 62=51 10 (N/m ) = 51 MPa < t 故AB軸滿足強(qiáng)度要求。（2）確定實(shí)心軸的直徑：按題意，要求設(shè) 計(jì)的實(shí)心軸應(yīng)與原空心軸強(qiáng)度相同，因此要求 實(shí)心軸的最大剪應(yīng)力也應(yīng)該是：max =51（MPa）設(shè)實(shí)心軸的直徑為D1，則42_ 1500D1316=51 106Dr =3 1500 漢1 =0.0531(m) =53.1(mm) ,二 51 106在兩軸長度相同，材料相同的情況下，兩軸重量之比等于其橫截面面積之比，即A空心A實(shí)心2 290 855

5、3.12=0.31如圖19-16所示的階梯軸。AB段的直徑d1=4cm, BC段的直徑d2 =7cm，外Mn(a)圖 19-16(b)力偶矩Mi = 0.8kN -m, M3=1.5kN -m,已知材料的剪切彈性模量G = 80GPa，試計(jì)算 *和最大的單位長度扭轉(zhuǎn)角'max。解(1 )畫扭矩圖：用截面法逐段求得：M ni = M i =0.8 kN - mM 門2 二M 3 二1.5 kN m畫出扭矩圖圖19-16 (b)(2)計(jì)算極慣性矩:I P1蘭 竺=25.1 (cm4)3232I P2E474 .2363232(cm4)(3)求相對扭轉(zhuǎn)角AC :由于AB段和BC段內(nèi)扭矩不等，

6、且橫截面尺寸也不相同，®AB和® BC，然后取®AB和® BC的代數(shù)和,故只能在兩段內(nèi)分別求出每段的相對扭轉(zhuǎn)角即求得軸兩端面的相對扭轉(zhuǎn)角AC。6_Mn1l10.8 10800GI p1 80 103 25.1 104= 0.0318 (rad)BC6_Mn22 _ -1.5 101000GI p2 80 103236 104二 AB BC =0.0318 -0.0079=-0.0079 (rad)=0.0239 (rad) =1.37 °30043(4)求最大的單位扭轉(zhuǎn)角：max :考慮在AB段和BC段變形的不同，需要分別計(jì)算其單位扭轉(zhuǎn)角。A

7、DAB0.0318n HQOQ ( r o /4m O OQ / mAB段-AB - 0.0398(i a dm) 2.28 / ml10.8BC段cp a十BC-BC -0.0079= -0.0079(r a dm) =-0.453 /ml21.0負(fù)號表示轉(zhuǎn)向與=AB相反。所以 m a x= ZAB = 2.28o/m四、實(shí)心軸如圖19-17所示。已知該軸轉(zhuǎn)速n = 300r/min，主動(dòng)輪輸入功率NC=40kW,從動(dòng)輪的輸出功率分別為NA=10 kW, NB=12 kW, ND =18 kW。材料的剪切彈性模量G = 80GPa，若1= 50MPa ,字=0.3o/m，試按強(qiáng)度條件和剛度條

8、件設(shè)計(jì)此 軸的直徑。解(1)求外力偶矩:Ma=9550業(yè)=9550 衛(wèi) 318(N - m)n300NbM B =9550BnNCMC =9550Cn12=9550382 (N - m)300=9550401273( N - m)NM D =9550 - =9550 8 573( N m) n300圖 19-17(a)47(2)求扭矩、畫扭矩圖：M ni - -M a - 3 1 8N m)M n2 - -M a -M b i -318 -382 - -700 (N m)M n3 =M D =573 (N m)BC段根據(jù)以上三個(gè)扭矩方程，畫出扭矩圖圖19-17 ( b)。由圖可知，最大扭矩發(fā)生

9、在內(nèi)，其值為：Mn max" 0N m因該軸為等截面圓軸，所以危險(xiǎn)截面為BC段內(nèi)的各橫截面。(3)按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)軸的直徑：由強(qiáng)度條件：'max二d316d _316M nmaxr_3 16 700 10:'： > 50=41.5(mm)(4)按剛度條件設(shè)計(jì)軸的直徑：由剛度條件:M n max 180X.-'maxGl p 二d4"P - 32得 d> 4 32 M n max 180,32 700 103 18043, =64.2(mm)80 100.3 1064.2mm。為使軸同時(shí)滿足強(qiáng)度條件和剛度條件，所設(shè)計(jì)軸的直徑應(yīng)不小于五、油泵分

10、油閥門彈簧工作圈數(shù)n = 8,軸向壓力P = 90N，簧絲直徑d =2.25mm,簧圈外徑Di=18mm,彈簧材料的剪切彈性模量 G = 82GPa , !. .1= 400 MPa。試校核簧絲 強(qiáng)度，并計(jì)算其變形。解(1)校核簧絲強(qiáng)度：簧絲平均直徑：D =D1 -d = 18 2.25 = 15.75 (mm)彈簧指數(shù)：15.75-2.25=7 ：:10由表19-1查得彈簧的曲度系數(shù)k=1.21，則：|.-max8PD=1.218 90 15.75二 2.253= 380(MPa) ：.該彈簧滿足強(qiáng)度要求。(2)計(jì)算彈簧變形：3 38PD n 8 90 15.758,、4 34 '

11、10.7(mm)Gd 482X103 X2.25419-1 說明扭轉(zhuǎn)應(yīng)力，變形公式二二匹一Ip應(yīng)力變形公式時(shí)是否也有這些條件限制？MnGI pdx的應(yīng)用條件。應(yīng)用拉、壓19-2扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力在圓軸橫截面上是怎樣分布的？指出下列應(yīng)力分布圖中哪些是正 確的？19-3 一空心軸的截面尺寸如圖所示。它的極慣性矩 按下式計(jì)算？為什么？I p和抗扭截面模量 Wn是否可-：D432a-：-4)二D316(1-4)19-4 若將實(shí)心軸直徑增大一倍，而其它條件不變，問最大剪應(yīng)力，軸的扭轉(zhuǎn)角將 如何變化？19-5 直徑相同而材料不同的兩根等長實(shí)心軸，在相同的扭矩作用下，最大剪應(yīng)力 max、扭轉(zhuǎn)角和極慣性矩Ip是否相同

12、？19-6 何謂純剪切？何謂剪應(yīng)力互等定理？(a)(b)(d)思考題19-3圖思考題19-2圖習(xí)題19-1繪制圖示各桿的扭矩圖。(a)(c)倫-q2kN -m 1kNm 4kN -m 1kN -m題19-1圖19-2 直徑為D =5cm的圓軸，受到扭矩Mn=2.15kNm的作用，試求在距離軸心1cm 處的剪應(yīng)力，并求軸截面上的最大剪應(yīng)力。19-3 已知作用在變截面鋼軸上的外力偶矩m1 =1.8kN m，m2=1.2kNm。試求最大剪應(yīng)力和最大相對轉(zhuǎn)角。材料的G=80GPa。19-4 已知圓軸的轉(zhuǎn)速n =300r/min，傳遞功率 330.75kW，材料的.=60MPa，G =82GPa。要求在

13、2m長度內(nèi)的相對扭轉(zhuǎn)角不超過1o,試求該軸的直徑。19-5 圖示一圓截面直徑為 80cm的傳動(dòng)軸，上面作用的外力偶矩為 m)1=1000N m, m2 =600N m, m3 =200N m, m4 =200N m, (1 )試作出此軸的扭矩圖， (2)試計(jì)算各段 軸內(nèi)的最大剪應(yīng)力及此軸的總扭轉(zhuǎn)角(已知材料的剪切彈性模量G=79GPa); (3)若將外力偶矩m1和m2的作用位置互換一下，問圓軸的直徑是否可以減少？19-6 發(fā)電量為15000kW的水輪機(jī)主軸如圖所示，D =55cm, d =30cm，正常轉(zhuǎn)速n =250r/min。材料的許用剪應(yīng)力=50MPa。試校核水輪機(jī)主軸的強(qiáng)度。題19-3

14、圖m4 m3m2mi1 m1.5 m2m題19-5圖D2題19-7圖19-7 圖示AB軸的轉(zhuǎn)速n =120r/min，從B輪輸入功率 N=44.15kW，此功率的一半 通過錐形齒輪傳給垂直軸C,另一半由水平軸 H輸出。已知D1=60cm ,D2=24cm ,d1=10cm,d2=8cm， d3=6cm， . =20MPa。試對各軸進(jìn)行強(qiáng)度校核，19-8 實(shí)心軸和空心軸通過牙嵌式離合器連接在一起。已知軸的轉(zhuǎn)速n =100r/min，傳遞的功率N=7.5kW，材料的許用應(yīng)力.=40MPa。試選擇實(shí)心軸直徑 d1和內(nèi)外徑比值 為1的空心軸的外徑D2。219-9 已知一皮帶輪傳動(dòng)軸。 主動(dòng)輪A由電動(dòng)機(jī)

15、輸入功率 Na = 7.35 kW，B輪和C輪 分別帶動(dòng)兩臺水泵，消耗功率 Nb =4.41 kW， Nc=2.94kW，軸的轉(zhuǎn)速n =600r/min,軸的 材料=20MPa，G=80GPa，節(jié)=1o/m，試按強(qiáng)度和剛度條件確定軸的直徑 d。2d-192V題19-8圖M b |_|M c題19-9圖19-10 鋼質(zhì)實(shí)心軸和鋁質(zhì)空心軸（內(nèi)外徑比值0=0.6）的橫截面面積相等。鋼=80MPa , 鋁=50MPa。若僅從強(qiáng)度條件考慮，哪一根軸能承受較大的扭矩?19-11 傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速 n =500r/min，主動(dòng)輪I輸入功率 2 =367.5kW，從動(dòng)輪2、3分 別輸出功率 N2=147kW, N

16、3=220.5kW。已知=70MPa ,捫=1o/m, G =80GPa （1 ）試 確定AB段的直徑d1和BC段的直徑d2。（ 2）若AB和BC兩段選用同一直徑，試確定直 徑d。（ 3）主動(dòng)輪和從動(dòng)輪應(yīng)如何安排才比較合理。N1題19-11圖#19-12 圖示圓軸的直徑 d=50mm,外力偶矩 m=1kN?m,材料的 G=82GPa。試求：（1）橫截面上A點(diǎn)處（pA=d/4 ）的剪應(yīng)力和相應(yīng)的剪應(yīng)變；（2）最大剪應(yīng)力和單位長度相對扭轉(zhuǎn)角。19-13 由厚度t=8mm的鋼板卷制成的圓筒，平均直徑為D=200mm。接縫處用鉚釘鉚接。若鉚釘直徑 d=20mm,許用剪應(yīng)力T=60 MPa，許用擠壓應(yīng)力%=160 MPa，筒的 兩端受扭轉(zhuǎn)力偶矩 m=30kN m作用，試求鉚釘?shù)拈g距 s。題19-12圖題19-13圖19-14 圓截面桿AB的左端固定，承受一集度為 m的均布力偶矩作用。試導(dǎo)出計(jì)算 截面B的扭轉(zhuǎn)角的公式。19-15 受扭轉(zhuǎn)力偶作用的圓截面桿，長l=1m,直徑d=20mm,材料的剪切彈性模量G=80GPa，兩端截面的相對扭轉(zhuǎn)角護(hù)0.1 rad。試求此桿外表面任意點(diǎn)處的剪應(yīng)變，橫截面上的最大剪應(yīng)力和外加力偶矩m。ml題19-15圖19-16 圓柱形密圈螺旋彈簧， 簧絲橫截面直徑 d =18mm,彈簧平均直徑 D =125mm, 彈