有理數(shù)及其運(yùn)算(二)解讀

1、有理數(shù)及其運(yùn)算（二）【課標(biāo)要求】 1經(jīng)歷探索有理數(shù)法則和運(yùn)算率的過程，掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方的運(yùn)算及 簡單的混合運(yùn)算（以三步為主） 。2. 理解有理數(shù)的運(yùn)算律，并能運(yùn)用運(yùn)算律簡化運(yùn)算。3. 能運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算解決簡單的實(shí)際問題。 【重難點(diǎn)知識歸納及講解】本章的重點(diǎn)是有理數(shù)的運(yùn)算。加法與乘法都是在介紹運(yùn)算法則著重是符號法則的基礎(chǔ)上，進(jìn)行基本運(yùn)算，然后 結(jié)合具體例子引入運(yùn)算律，并運(yùn)用運(yùn)算律簡化運(yùn)算。減法與除法，則是著重介紹如何由加 法與乘法轉(zhuǎn)化，從而利用加法與乘法的運(yùn)算法則、運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算。乘方是幾個(gè)相同因數(shù) 的乘積，也就可以利用乘法運(yùn)算。（1）有理數(shù)加法的法則： 同號兩數(shù)相加，取相同的

2、符號，并把絕對值相加； 絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較 小的絕對值而互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得零；任何數(shù)同零相加，仍得這個(gè)數(shù)（2）有理數(shù)加法的運(yùn)算順序： 第一步，確定和的符號；第二步，求和的絕對值 其中最關(guān)鍵的一步是搞清符號問題，符號一經(jīng)確定，問題就比較簡單了（3）有理數(shù)加法的運(yùn)算律：加法交換律，即 ab b a；加法結(jié)合律，即 abca（bc）. 巧妙地運(yùn)用加法的運(yùn)算律，可以簡化有理數(shù)的加法運(yùn)算（4）有理數(shù)減法法則： 減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。即a-b=a+（-b） 。對大家而言，做題時(shí)一定要注意兩變：一是減號變?yōu)榧犹?；二是減數(shù)變?yōu)槠湎喾磾?shù)

3、。（ 5）利用減法比較大?。篴，b 是兩個(gè)有理數(shù)，若 ab>0，則 a>b；若 a b< 0，則 a< b即大的小的> 0，小 的大的< 0（6）加減混合運(yùn)算的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是： 在交換加數(shù)的位置時(shí)，要連同前面的符號一起交換盡量使用運(yùn)算率簡便計(jì)算。（ 7）在有理數(shù)加減運(yùn)算中，正確理解運(yùn)算符號運(yùn)算符號與性質(zhì)符號既有區(qū)別，又有聯(lián) 系，有時(shí)可以相互轉(zhuǎn)化（8）有理數(shù)的乘法法則： 兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘，任何數(shù)同零相乘，都得零。（9）多個(gè)有理數(shù)乘積的確定： 幾個(gè)不等于零的有理數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)確定：當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)， 積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因

4、數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，積為正。符號確定后，再分別把絕對值相乘。只要有 一個(gè)因數(shù)為 0，則積為 0。（10）乘法的運(yùn)算律：乘法交換律，即 ab=ba；乘法結(jié)合律，即 （ab）c=a（bc） ；乘法分配律，即 a（b+c）=ab+ac 。 在做乘法時(shí)，要靈活運(yùn)用上述運(yùn)算律，以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的。乘法和加法的運(yùn)算律，都 可以推廣到多個(gè)數(shù)的情況。（11）倒數(shù)的概念：乘積為 1 的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)。 由于任何一個(gè)有理數(shù)與 0 的積為 0，不可能是 1，所以 0 沒有倒數(shù)。（12）除法的運(yùn)算法則： 法則一：除以一個(gè)數(shù)等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，即：a÷ b=a? （b 0）法則一表明了有理數(shù)的除法和乘法

5、可以互相轉(zhuǎn)化，由于 0 沒有倒數(shù)，所以除數(shù)不能為 0. 法則二：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除 .0 除以任何一個(gè)不等于 0 的數(shù)，得 0.（13）關(guān)于運(yùn)算律因?yàn)槌梢赞D(zhuǎn)化成乘法，所以乘法的運(yùn)算律有的在除法中適用，但是乘法的交換律 和結(jié)合律在除法中是不適用的，如 6÷5 5÷6，（6÷2）÷ 36÷（ 2÷3） （ 14）乘方的有關(guān)概念求 n 個(gè)相同因數(shù) a 的積的運(yùn)算叫乘方，乘方的結(jié)果叫冪 a 叫底數(shù)， n 叫指數(shù)， an 讀 作： a 的 n 次冪 （a 的 n 次方 ）乘方的意義： an表示 n 個(gè) a 相乘如：

6、 （3）3（3）×（3）×（3），表示 3 個(gè)（3）相乘（15）寫法的注意：當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，底數(shù)一定要打括號，不然意義就全變了21 1 1 1 12 1 1如： （ 3 ）2 3 ×3 ，表示兩個(gè) 3 相乘而 3 3 ，表示 2 個(gè) 1 相乘的積除以 3 （2）2（2）×（2），表示兩個(gè) （ 2）相乘 22 （2 ×2） ，表示 2個(gè) 2 的乘積的相反數(shù)（16）乘方運(yùn)算的符號規(guī)律正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù) 0 的奇數(shù)次 冪，偶次冪都是 0所以，任何數(shù)的偶次冪都是正數(shù)或0（17）有理數(shù)的混合運(yùn)算有理數(shù)的運(yùn)算中

7、，加減為一級運(yùn)算，乘除為二級運(yùn)算，乘方（及開方乘方的逆運(yùn) 算，以后將講到）為三級運(yùn)算。對于有理數(shù)的混合運(yùn)算，要特別注意運(yùn)算順序及正確使用 符號法則確定各步運(yùn)算結(jié)果的符號。有理數(shù)的運(yùn)算順序是：先算乘方，再算乘除，最后算加減，對于同級運(yùn)算，一般從左 到右依次進(jìn)行。 如果有括號， 就先算括號內(nèi)的， 且一般先算小括號內(nèi)的， 再算中括號內(nèi)的， 最后算大括號內(nèi)的。如果能利用運(yùn)算律簡化計(jì)算，可變更上面的運(yùn)算順序，靈活處理。（18）為了加強(qiáng)與相關(guān)運(yùn)算的聯(lián)系，利用計(jì)算器計(jì)算分散安排在相關(guān)內(nèi)容中。例如，教科 書用計(jì)算器計(jì)算一些負(fù)數(shù)的乘方，進(jìn)而探求負(fù)數(shù)的乘方的符號規(guī)律。學(xué)會了使用計(jì)算器進(jìn) 行有理數(shù)運(yùn)算，較復(fù)雜的計(jì)算

8、就可以用計(jì)算器完成。簡單的有理數(shù)運(yùn)算仍需要學(xué)生熟練地 用筆算完成?！緮?shù)學(xué)史料】數(shù)學(xué)符號的起源數(shù)學(xué)除了記數(shù)以外，還需要一套數(shù)學(xué)符號來表示數(shù)和數(shù)、數(shù)和形的相互關(guān)系。數(shù)學(xué)符號的發(fā)明和使用比數(shù)字晚，但是數(shù)量多得多?，F(xiàn)在常用的有200 多個(gè)，初中數(shù)學(xué)書里就不下 20 多種。它們都有一段有趣的經(jīng)歷。例如加號曾經(jīng)有好幾種，現(xiàn)在通用 "+" 號。"+" 號是由拉丁文 "et" （" 和"的意思）演變而來的。十六世紀(jì)，意大利科學(xué)家塔塔里 亞用意大利文 "pi ù"（加的意思）的第一個(gè)字母表示加，草為&q

9、uot; "最后都變成了 "+" 號。"-" 號是從拉丁文 "minus" （"減" 的意思）演變來的，簡寫 m，再省略掉字母，就成了也有人說，賣酒的商人用 "-" 表示酒桶里的酒賣了多少。以后，當(dāng)把新酒灌入大桶的 時(shí)候，就在 "-" 上加一豎，意思是把原線條勾銷，這樣就成了個(gè) "+" 號。到了十五世紀(jì)，德國數(shù)學(xué)家魏德美正式確定： "+" 用作加號， "-" 用作減號。乘號曾經(jīng)用過十幾種，現(xiàn)在通用兩種。一個(gè)

10、是" × " ，最早是英國數(shù)學(xué)家奧屈特1631年提出的；一個(gè)是 "? " ，最早是英國數(shù)學(xué)家赫銳奧特首創(chuàng)的。德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨認(rèn)為： " ×"號象拉丁字母 "X" ，加以反對，而贊成用 "? " 號。他自己還提出用 " "表示相乘?？?是這個(gè)符號現(xiàn)在應(yīng)用到集合論中去了。到了十八世紀(jì)，美國數(shù)學(xué)家歐德萊確定，把" × "作為乘號。他認(rèn)為 "×"是"+" 斜起來寫，是另一種表示增加的

11、符號。" ÷ " 最初作為減號，在歐洲大陸長期流行。直到1631 年英國數(shù)學(xué)家奧屈特用 " ： " 表示除或比，另外有人用 "-" （除線）表示除。后來瑞士數(shù)學(xué)家拉哈在他所著的代數(shù)學(xué) 里，才根據(jù)群眾創(chuàng)造，正式將 "÷" 作為除號。平方根號曾經(jīng)用拉丁文 "Radix" （根）的首尾兩個(gè)字母合并起來表示，十七世紀(jì)初葉， 法國數(shù)學(xué)家笛卡兒在他的 幾何學(xué) 中，第一次用 " "表示根號。 "r" 是由拉丁字線 "r" 變， &

12、quot;-" 是括線。十六世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家維葉特用 "=" 表示兩個(gè)量的差別?？墒怯＝虼髮W(xué)數(shù)學(xué)、修辭 學(xué)教授列考爾德覺得：用兩條平行而又相等的直線來表示兩數(shù)相等是最合適不過的了，于 是等于符號 "=" 就從 1540 年開始使用起來。1591 年，法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)在菱中大量使用這個(gè)符號， 才逐漸為人們接受。 十七世紀(jì)德 國萊布尼茨廣泛使用了 "=" 號，他還在幾何學(xué)中用 " "表示相似，用 " "表示全等。大于號" "和小于號 ""，是 163

13、1年英國著名代數(shù)學(xué)家赫銳奧特創(chuàng)用。 至于 "" "、 " "這三個(gè)符號的出現(xiàn)，是很晚很晚的事了。大括號" " 和中括號 " " 是代數(shù)創(chuàng)始人之一魏治德創(chuàng)造的?！局腔哿熊嚒?. 有一種“二十四點(diǎn)”的游戲，其游戲規(guī)則是這樣的：任取四個(gè) 1 至 13 之間的自然數(shù)， 將這四個(gè)數(shù)（每個(gè)數(shù)用且只能用一次）進(jìn)行加減乘除四則運(yùn)算，使其結(jié)果等于24。例如對1，2，3，4，可作如下運(yùn)算： （1+2+3） ×4 24（上述運(yùn)算與 4×（1 23） 視為相同方法的 運(yùn)算）現(xiàn)有四個(gè)有理數(shù) 3， 4， 6， 1

14、0，運(yùn)用上述規(guī)則寫出三種不同方法的運(yùn)算式，可以使用括號 ， 使 其 結(jié) 果 等 于 24 。 運(yùn) 算 式 如 下 ：（ 1 ），（2），（ 3）。另有四個(gè)有理數(shù) 3，5，7，13，可通過運(yùn)算式 （4）使其結(jié)果等于 24。2小亮的爸爸在一家合資企業(yè)工作，月工資2500 元，按規(guī)定：其中 800 元是免稅的，其余部分要繳納個(gè)人所得稅， 應(yīng)納稅部分又要分為兩部分， 并按不同稅率納稅， 即不超過 500 元的部分按 5%的稅率；超過 500 元不超過 2000 元的部分則按 10%的稅率，你能算出小亮 的爸爸每月要繳納個(gè)人所得稅多少元？解： 500×5%+（2500800500）×

15、 10%=145（元） 因此，小亮的爸爸每月要繳納個(gè)人所得稅 145 元【中考欣賞 】1. 下表列出了國外幾個(gè)城市與北京的時(shí)差 （帶正號的數(shù)表示同一時(shí)刻比北京的時(shí)間早的時(shí) 數(shù)）?，F(xiàn)在的北京時(shí)間是上午 8 00（1）求現(xiàn)在紐約時(shí)間是多少？ （2）斌斌現(xiàn)在想給遠(yuǎn)在巴黎的姑媽打電話，你認(rèn)為合適嗎？城市時(shí)差 / 時(shí)紐約13巴黎7東京1芝加哥14解：（ 1）上午 8： 00往前推 13小時(shí)時(shí)前一天晚上 19 點(diǎn)。 （ 2） 8+（ -7 ） =1巴黎現(xiàn)在是凌晨 1 點(diǎn)，所以不合適。2.M 國股民吉姆上星期六買進(jìn)某公司股票 1000 股，每股 27 元，下表為本周內(nèi)每日該股票 的漲跌情況（單位：元）星期一二三四五六每股漲跌+4+4.512.56+2（ 1）星期三收盤時(shí)，每股是多少元？ （2）本周內(nèi)最高價(jià)是每股多少元？最低價(jià)是每股多少元？（ 3）已知吉姆買進(jìn)股票時(shí)付了0.15%的手續(xù)費(fèi)，賣出時(shí)需付成交額0.