二元一次方程解法大全.

1、二元一次方程解法大全1、直接開平方法：直接開平方法就是用直接開平方求解二元一次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n(n 0) 的方程，其解為x=±根號(hào)下n+m.例 1解方程（ 1） (3x+1)2=7 （ 2）9x2-24x+16=11分析：（ 1）此方程顯然用直接開平方法好做，（2）方程左邊是完全平方式(3x-4)2，右邊 =11>0，所以此方程也可用直接開平方法解。（ 1）解： (3x+1)2=7 × (3x+1)2=5 3x+1=± ( 注意不要丟解 ) x=原方程的解為x1=,x2=（ 2）解： 9x2-24x+16=11 (3x-4)2

2、=11 3x-4= ± x=原方程的解為x1=,x2=2配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a 0)先將常數(shù) c 移到方程右邊：ax2+bx=-c將二次項(xiàng)系數(shù)化為1： x2+x=-方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方：x2+x+()2=-+()2方程左邊成為一個(gè)完全平方式：(x+)2=當(dāng) b2-4ac 0 時(shí)， x+=± x=( 這就是求根公式)例 2用配方法解方程3x2-4x-2=0(注： X2 是 X 的平方）解：將常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊3x2-4x=2將二次項(xiàng)系數(shù)化為1： x2-x=方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方：x2-x+()2=+()2配方： (x-)2

3、=直接開平方得：x-= ± x=原方程的解為x1=,x2=.3公式法： 把一元二次方程化成一般形式，然后計(jì)算判別式=b2-4ac 的值，當(dāng) b2-4ac0 時(shí)，把各項(xiàng)系數(shù)a,b,c的值代入求根公式x=-b ± (b2-4ac)(1/2)/(2a),(b2-4ac0) 就可得到方程的根。例 3用公式法解方程 2x2-8x=-5解：將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0 a=2,b=-8,c=5b2-4ac=(-8)2-4× 2× 5=64-40=24>0 x=(-b ± (b2-4ac)(1/2)/(2a)原方程的解為x1=,x2=.4因

4、式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式的積的形式， 讓兩個(gè)一次因式分別等于零， 得到兩個(gè)一元一次方程， 解這兩個(gè)一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個(gè)根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。例 4用因式分解法解下列方程：(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x2+3x=0(3)6x2+5x-50=0(選學(xué)） (4)x2-2(+)x+4=0（選學(xué)）(1) 解： (x+3)(x-6)=-8化簡(jiǎn)整理得x2-3x-10=0(方程左邊為二次三項(xiàng)式，右邊為零)(x-5)(x+2)=0(方程左邊分解因式) x-5=0 或 x+2=0( 轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程) x1=

5、5,x2=-2 是原方程的解。(2) 解： 2x2+3x=0x(2x+3)=0(用提公因式法將方程左邊分解因式) x=0 或 2x+3=0( 轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程) x1=0， x2=- 是原方程的解。注意：有些同學(xué)做這種題目時(shí)容易丟掉x=0 這個(gè)解，應(yīng)記住一元二次方程有兩個(gè)解。(3) 解： 6x2+5x-50=0(2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式時(shí)要特別注意符號(hào)不要出錯(cuò)) 2x-5=0 或 3x+10=0 x1=,x2=- 是原方程的解。(4) 解： x2-2(+)x+4=0 （ 4 可分解為 2· 2，此題可用因式分解法）(x-2)(x-2)=0 x1=2,x2=

6、2 是原方程的解。小結(jié)：一般解一元二次方程， 最常用的方法還是因式分解法， 在應(yīng)用因式分解法時(shí)， 一般要先將方程寫成一般形式，同時(shí)應(yīng)使二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)。直接開平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程（有人稱之為萬(wàn)能法），在使用公式法時(shí)，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在用公式前應(yīng)先計(jì)算判別式的值，以便判斷方程是否有解。配方法是推導(dǎo)公式的工具， 掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了， 所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)有廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學(xué)方法之一，一定要掌握好。 （三種重要的

7、數(shù)學(xué)方法：換元法，配方法，待定系數(shù)法）。二元一次方程練習(xí)題一、判斷1、是方程組的解 ,（）2、方程組的解是方程3x-2y=13 的一個(gè)解（）3、由兩個(gè)二元一次方程組成方程組一定是二元一次方程組（）4、方程組，可以轉(zhuǎn)化為（）5、若 (a2-1)x2+(a-1)x+(2a-3)y=0是二元一次方程，則a 的值為± 1（）6、若 x+y=0 ，且 |x|=2 ，則 y 的值為 2,（）7、方程組有唯一的解，那么m的值為 m -5 ,（）8、方程組有無(wú)數(shù)多個(gè)解 ,（）9、 x+y=5 且 x，y 的絕對(duì)值都小于5 的整數(shù)解共有5 組,（）10、方程組的解是方程x+5y=3 的解，反過(guò)來(lái)方程x

8、+5y=3 的解也是方程組的解 ,（）11、若 |a+5|=5 ， a+b=1 則,（）12、在方程4x-3y=7 里，如果用x 的代數(shù)式表示y，則（）二、選擇：13、任何一個(gè)二元一次方程都有（）（ A）一個(gè)解；（ B）兩個(gè)解；（ C）三個(gè)解；（ D）無(wú)數(shù)多個(gè)解；14、一個(gè)兩位數(shù)，它的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為6，那么符合條件的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)有（）（ A）5 個(gè)（ B）6 個(gè)（ C）7 個(gè)（ D）8 個(gè)15、如果的解都是正數(shù)，那么a 的取值范圍是（）（ A） a<2；（ B）；（ C）；（ D）；16、關(guān)于 x、 y 的方程組的解是方程3x+2y=34 的一組解，那么m的值是（）（ A） 2

9、；（ B） -1 ；（ C）1；（ D）-2 ；17、在下列方程中，只有一個(gè)解的是（）（ A）（ B）（ C）（ D）18、與已知二元一次方程5x-y=2 組成的方程組有無(wú)數(shù)多個(gè)解的方程是（）（ A） 15x-3y=6 （ B） 4x-y=7 （ C）10x+2y=4 （ D） 20x-4y=319、下列方程組中，是二元一次方程組的是（）（ A）（ B）（ C）（ D）20、已知方程組有無(wú)數(shù)多個(gè)解，則a、 b 的值等于（）（ A） a=-3,b=-14 （ B） a=3,b=-7（ C） a=-1,b=9 （ D） a=-3,b=1421、若 5x-6y=0 ，且 xy 0，則的值等于（）（

10、A）（ B）（ C） 1（ D）-122、若 x、 y 均為非負(fù)數(shù)，則方程6x=-7y 的解的情況是（）（ A）無(wú)解（ B）有唯一一個(gè)解（ C）有無(wú)數(shù)多個(gè)解（ D）不能確定23、若 |3x+y+5|+|2x-2y-2|=0，則 2x2-3xy 的值是（）（ A） 14（ B） -4 （ C） -12 （ D） 1224、已知與都是方程y=kx+b 的解，則k 與 b 的值為（）（ A）， b=-4 （ B）， b=4（ C）， b=4（ D）， b=-4三、填空：25、在方程3x+4y=16 中，當(dāng) x=3 時(shí)， y=_，當(dāng) y=-2 時(shí)， x=_若 x、y 都是正整數(shù)，那么這個(gè)方程的解為_；

11、26、方程 2x+3y=10 中，當(dāng) 3x-6=0 時(shí)， y=_ ；27、如果 0.4x-0.5y=1.2，那么用含有y 的代數(shù)式表示的代數(shù)式是_；28、若是方程組的解，則；29、方程 |a|+|b|=2的自然數(shù)解是_；30、如果 x=1，y=2 滿足方程，那么a=_；31、已知方程組有無(wú)數(shù)多解，則a=_， m=_；32、若方程x-2y+3z=0 ，且當(dāng) x=1 時(shí)， y=2，則 z=_ ；33、若 4x+3y+5=0，則 3(8y-x)-5(x+6y-2)的值等于 _ ；34、若 x+y=a ，x-y=1 同時(shí)成立，且x、 y 都是正整數(shù)，則a 的值為 _；35、從方程組中可以知道，x:z=

12、_ ； y:z=_ ；36、已知 a-3b=2a+b-15=1 ，則代數(shù)式a2-4ab+b2+3 的值為 _；四、解方程組37、； 38、；39、； 40、；41、； 42、；43、； 44、；45、； 46、；五、解答題：47、甲、乙兩人在解方程組時(shí)，甲看錯(cuò)了式中的x 的系數(shù)，解得；乙看錯(cuò)了方程中的 y 的系數(shù)，解得，若兩人的計(jì)算都準(zhǔn)確無(wú)誤，請(qǐng)寫出這個(gè)方程組，并求出此方程組的解；48、使 x+4y=|a| 成立的 x、y 的值，滿足 (2x+y-1)2+|3y-x|=0，又 |a|+a=0 ，求 a 的值；49、代數(shù)式 ax2+bx+c 中，當(dāng) x=1 時(shí)的值是0，在 x=2 時(shí)的值是3，在

13、 x=3 時(shí)的值是28，試求出這個(gè)代數(shù)式；50、要使下列三個(gè)方程組成的方程組有解，求常數(shù)a 的值。2x+3y=6-6a ， 3x+7y=6-15a ， 4x+4y=9a+951、當(dāng) a、 b 滿足什么條件時(shí)，方程(2b2-18)x=3與方程組都無(wú)解；52、 a、 b、 c 取什么數(shù)值時(shí)，x3-ax2+bx+c程(x-1)(x-2)(x-3)恒等？53、 m取什么整數(shù)值時(shí)，方程組的解：（ 1）是正數(shù)；（ 2）是正整數(shù)？并求它的所有正整數(shù)解。54、試求方程組的解。六、列方程（組）解應(yīng)用題55、汽車從甲地到乙地，若每小時(shí)行駛45 千米，就要延誤30 分鐘到達(dá)； 若每小時(shí)行駛50 千米，那就可以提前3

14、0 分鐘到達(dá)，求甲、乙兩地之間的距離及原計(jì)劃行駛的時(shí)間？56、某班學(xué)生到農(nóng)村勞動(dòng)，一名男生因病不能參加，另有三名男生體質(zhì)較弱，教師安排他們與女生一起抬土，兩人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁擔(dān)，兩只筐），這樣安排勞動(dòng)時(shí)恰需筐 68 個(gè)，扁擔(dān) 40 根，問(wèn)這個(gè)班的男女生各有多少人？57、甲、乙兩人練習(xí)賽跑，如果甲讓乙先跑10 米，那么甲跑5 秒鐘就可以追上乙；如果甲讓乙先跑2 秒鐘，那么甲跑4 秒鐘就能追上乙，求兩人每秒鐘各跑多少米？58、甲桶裝水 49 升，乙桶裝水 56 升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶裝滿后，乙桶剩下的水， 恰好是乙桶容量的一半， 若把甲桶的水倒入乙桶， 待乙桶裝滿后則甲

15、桶剩下的水恰好是甲桶容量的，求這兩個(gè)水桶的容量。59、甲、乙兩人在A 地，丙在 B 地，他們?nèi)送瑫r(shí)出發(fā)，甲與乙同向而行，丙與甲、乙相向而行，甲每分鐘走100 米，乙每分鐘走110 米，丙每分鐘走125 米，若丙遇到乙后10分鐘又遇到甲，求 A、 B 兩地之間的距離。60、有兩個(gè)比50 大的兩位數(shù)，它們的差是10，大數(shù)的10 倍與小數(shù)的5 倍的和的是11的倍數(shù)，且也是一個(gè)兩位數(shù)，求原來(lái)的這兩個(gè)兩位數(shù)?！緟⒖即鸢浮恳?、 1、； 2、； 3、×； 4、×； 5、×； 6、×；7、； 8、； 9、×； 10、×； 11、×； 12

16、、×；二、 13、 D； 14、 B； 15、C； 16、A； 17、 C； 18、 A；19、 C； 20、 A；21、 A；22、 B； 23、 B； 24、 A；三、 25、， 8，； 26、 2；27、； 28、 a=3，b=1；29、 30、； 31、3， -432 、 1； 33、20；34、 a 為大于或等于3 的奇數(shù)； 35、4:3 ， 7:936 、 0；四、 37、； 38、； 39、； 40、；41、； 42、； 43、； 44、；45、； 46、；五、 47、，； 48、 a=-149 、 11x2-30x+19 ；50、； 51、， b=± 352

17、、a=6,b=11,c=-6；53、（ 1） m是大于 -4 的整數(shù)，（ 2） m=-3，-2 ， 0，；54、或；六、 55、 A、 B 距離為 450 千米，原計(jì)劃行駛9.5 小時(shí)；56、設(shè)女生x 人，男生 y 人，57、設(shè)甲速x 米/ 秒，乙速y 米 / 秒58、甲的容量為63 升，乙水桶的容量為84 升；59、 A、 B 兩地之間的距離為52875 米；60、所求的兩位數(shù)為52 和 62。二元一次方程組練習(xí)題100 道（卷二）一、選擇題：1下列方程中，是二元一次方程的是（）A 3x 2y=4zB 6xy+9=0C +4y=6D 4x=2下列方程組中，是二元一次方程組的是（）A3二元一次

18、方程5a 11b=21（）A有且只有一解B有無(wú)數(shù)解C無(wú)解 D有且只有兩解4方程 y=1 x 與 3x+2y=5 的公共解是（）A5若 x 2 +（ 3y+2）2=0，則的值是（）A 1B 2C 3D6方程組的解與x 與 y 的值相等，則k 等于（）7下列各式，屬于二元一次方程的個(gè)數(shù)有（） xy+2x y=7； 4x+1=x y； +y=5 ； x=y ； x2 y2=2 6x2y x+y+z=1 y（y 1） =2y2 y2+x A 1B 2C 3D 48某年級(jí)學(xué)生共有246 人，其中男生人數(shù)y 比女生人數(shù)x 的 2 倍少 2 人，?則下面所列的方程組中符合題意的有（）A二、填空題9已知方程2

19、x+3y 4=0，用含 x 的代數(shù)式表示y 為： y=_；用含 y 的代數(shù)式表示 x 為： x=_10在二元一次方程x+3y=2 中，當(dāng) x=4 時(shí)， y=_；當(dāng) y= 1 時(shí)， x=_ 11若 x3m 3 2yn 1=5 是二元一次方程，則m=_， n=_12已知是方程x ky=1 的解，那么k=_13已知 x 1 +（ 2y+1） 2=0，且 2x ky=4，則 k=_14二元一次方程x+y=5 的正整數(shù)解有_15以為解的一個(gè)二元一次方程是_16已知的解，則m=_， n=_三、解答題17當(dāng) y= 3 時(shí)，二元一次方程3x+5y= 3 和 3y2ax=a+2（關(guān)于 x，y 的方程） ?有相同

20、的解，求a 的值18如果（ a 2）x+（b+1）y=13 是關(guān)于 x，y 的二元一次方程，則 a，b 滿足什么條件？19二元一次方程組的解x， y 的值相等，求k20已知 x， y 是有理數(shù)，且（x 1）2+（ 2y+1） 2=0，則 x y 的值是多少？21已知方程 x+3y=5，請(qǐng)你寫出一個(gè)二元一次方程， ?使它與已知方程所組成的方程組的解為22根據(jù)題意列出方程組：（ 1）明明到郵局買 0.8 元與 2 元的郵票共 13 枚，共花去 20 元錢， ?問(wèn)明明兩種郵票各買了多少枚？（2）將若干只雞放入若干籠中，若每個(gè)籠中放4 只，則有一雞無(wú)籠可放；?若每個(gè)籠里放 5 只，則有一籠無(wú)雞可放，問(wèn)

21、有多少只雞，多少個(gè)籠？23方程組的解是否滿足2xy=8？滿足 2x y=8 的一對(duì) x，y 的值是否是方程組的解？24（開放題）是否存在整數(shù) m，使關(guān)于 x 的方程 2x+9=2（ m 2） x 在整數(shù)范圍內(nèi)有解，你能找到幾個(gè) m的值？你能求出相應(yīng)的 x 的解嗎？答案：一、選擇題1 D解析：掌握判斷二元一次方程的三個(gè)必需條件：含有兩個(gè)未知數(shù)；含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1；等式兩邊都是整式2 A 解析：二元一次方程組的三個(gè)必需條件：含有兩個(gè)未知數(shù)，每個(gè)含未知數(shù)的項(xiàng)次數(shù)為1；每個(gè)方程都是整式方程3 B 解析：不加限制條件時(shí)，一個(gè)二元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解4 C解析：用排除法，逐個(gè)代入驗(yàn)證5 C解析：利用非

22、負(fù)數(shù)的性質(zhì)6 B7C 解析：根據(jù)二元一次方程的定義來(lái)判定，?含有兩個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)不超過(guò)1 次的整式方程叫二元一次方程，注意整理后是二元一次方程8 B二、填空題9 10 1011， 2 解析：令3m 3=1， n 1=1， m=， n=212 1 解析：把代入方程x ky=1 中，得 2 3k=1， k=113 4 解析：由已知得x1=0， 2y+1=0， x=1， y=，把代入方程 2x ky=4 中， 2+k=4， k=114解：解析： x+y=5， y=5x，又 x， y 均為正整數(shù)， x 為小于 5 的正整數(shù)當(dāng) x=1 時(shí)， y=4；當(dāng) x=2 時(shí)， y=3；當(dāng) x=3， y=2

23、；當(dāng) x=4 時(shí)， y=1 x+y=5 的正整數(shù)解為15 x+y=12 解析：以x 與 y 的數(shù)量關(guān)系組建方程，如2x+y=17， 2x y=3 等，此題答案不唯一16 14 解析：將中進(jìn)行求解三、解答題17解： y= 3 時(shí)， 3x+5y= 3， 3x+5 ×（ 3） = 3， x=4，方程 3x+5y=? ?3?和 3x 2ax=a+2 有相同的解， 3×（ 3） 2a× 4=a+2， a=18解：（ a 2） x+（b+1） y=13 是關(guān)于 x， y 的二元一次方程， a 2 0， b+1 0， ?a 2， b 1解析：此題中，若要滿足含有兩個(gè)未知數(shù)，需使

24、未知數(shù)的系數(shù)不為0（ ?若系數(shù)為0，則該項(xiàng)就是0）19解：由題意可知x=y， 4x+3y=7 可化為 4x+3x=7， x=1， y=1將 x=1， y=?1?代入 kx+（ k 1） y=3 中得 k+k 1=3， k=2 解析：由兩個(gè)未知數(shù)的特殊關(guān)系，可將一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式代替，化“二元”為“一元”，從而求得兩未知數(shù)的值20解：由（ x 1）2+（ 2y+1） 2=0，可得 x 1=0 且 2y+1=0， x=± 1，y=當(dāng) x=1， y=時(shí)， x y=1+=；當(dāng) x= 1， y=時(shí)， x y= 1+=解析：任何有理數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，且題中兩非負(fù)數(shù)之和為0，則這

25、兩非負(fù)數(shù)（x 1） 2 與（ 2y+1 ） 2 都等于 0，從而得到 x 1=0， 2y+1=021解：經(jīng)驗(yàn)算是方程x+3y=5 的解，再寫一個(gè)方程，如x y=322（ 1）解：設(shè) 0 8 元的郵票買了x 枚， 2 元的郵票買了y 枚，根據(jù)題意得（ 2）解：設(shè)有x 只雞， y 個(gè)籠，根據(jù)題意得23解：滿足，不一定解析：的解既是方程x+y=25 的解，也滿足2x y=8， ?方程組的解一定滿足其中的任一個(gè)方程，但方程2xy=8 的解有無(wú)數(shù)組，如 x=10， y=12，不滿足方程組24解：存在，四組原方程可變形為mx=7，當(dāng) m=1時(shí)， x= 7； m= 1 時(shí)， x=7； m=?7時(shí)， x=1；

26、 m= 7 時(shí) x=1二元一次方程應(yīng)用題題型一：配套問(wèn)題1某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2 米的某種布料可做上衣的衣身3 個(gè)或衣袖 5 只 . 現(xiàn)計(jì)劃用132 米這種布料生產(chǎn)這批秋裝( 不考慮布料的損耗) ，應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？題型二：年齡問(wèn)題2甲對(duì)乙說(shuō)：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你才4 歲”乙對(duì)甲說(shuō)：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將61 歲”請(qǐng)你算一算，甲、乙現(xiàn)在各多少歲？題型三：百分比問(wèn)題3有甲乙兩種銅和銀的合金，甲種合金含銀25%，乙種合金含銀37.5%，現(xiàn)在要熔制含銀 30%的合金 100 千克，甲、乙兩種合金各應(yīng)取多少？題型四：數(shù)字問(wèn)題4有一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大5，如果把這兩個(gè)數(shù)字的位置對(duì)換，那么所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143，求這個(gè)兩位數(shù).題型五：古算術(shù)問(wèn)題5巍巍古寺在山林，不知寺內(nèi)幾多僧。364 只碗，看看用盡不差爭(zhēng)。三人共食一碗飯，四人共吃一碗羹。請(qǐng)問(wèn)先生明算