廣東省廣州市2016屆高三數(shù)學(xué)一模試卷文(含解析)

1、62016 年廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）一 .選擇題：本大題共合題目要求的.1 .12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符A.已知集合 A=x| - x|-1WxW2已知復(fù)數(shù)z 滿足1WxW1, B=x|x2- 2xw0，貝 y AnB=()B.x|-1wxw0C. x|1wxW2D. x|0wxW1z=-(i1+i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù) z 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（A. 第一象限B.第二象限 C .第三象限 D.第四象限已知函數(shù)則 f （f （- 2）的值為（A.B.C.- - D.5設(shè))4AB.3如果函數(shù)5)6則點(diǎn)4)為A.y)滿.=2 卜：，則厶 PAB

2、與厶 PBC 的面積之比是(x) =sin(a3的值P 的坐標(biāo)（XA. 6B. 8C. 107.在平面區(qū)域 (x, y) 足 yw2x 的概率為(C（）3B.執(zhí)行如圖所示的程序框圖LT *右 sina6C. 12D. 24如果輸入 x=3,則輸出 k 的值為訂今a 0 ）的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為 ，則xSSS6兀+ )=(12(P 是厶 ABC 所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且C DA.B&已知 fD.12|0Wxw1, 1wyw2內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn) P )D(x+ ),6C.1 B,貝Usi nA sinB .其中真命題的個(gè)數(shù)是()A. 1B. 2C. 3D. 412如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為

3、1，粗線畫出的是某個(gè)四面體的三視圖，則該四面體的表面積為()2-(a 0, b 0)的左頂點(diǎn)為 A,右焦點(diǎn)為 F,點(diǎn) B (0, b), b2C 的離心率為_(kāi).AB 上, CDL BC,二二! , Jj, CD=5 BD=2AD 貝UAD 的長(zhǎng)為_(kāi)三解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17 .已知數(shù)列an是等比數(shù)列，a2=4, a3+2 是 a2和 a4的等差中項(xiàng).(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(H)設(shè) bn=2log2an-1,求數(shù)列anbn的前 n 項(xiàng)和 Tn.18 .從某企業(yè)生產(chǎn)的某中產(chǎn)品中抽取 100 件，測(cè)量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值. 由測(cè)量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質(zhì)

4、量指標(biāo)值落在區(qū)間55 , 65), 65 , 75), 75 , 85內(nèi)的頻率之比為 4: 2： 1 .(I)求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)落在區(qū)間75 , 85內(nèi)的概率；(H)用分層抽樣的方法在區(qū)間45 , 75)內(nèi)抽取一個(gè)容量為 6 的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任意抽取 2 件產(chǎn)品，求這 2 件產(chǎn)品都在區(qū)間45 , 65)內(nèi)的概率.A. 8+8 二+4 |：B. 8+8 +2 :,C.2+2二+D.】+罕+ 二 .填空題：本大題共13 .函數(shù) f(x) =x3-4 小題，每小題 5 分.J：IL3x 的極小值為2y- 3014 .設(shè)實(shí)數(shù) x, y 滿足約束條件1 時(shí)，證明：f(x) 1.請(qǐng)考生在

5、第 22、23、24 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.作答時(shí)請(qǐng) 寫清題號(hào).【選修 4-1 :幾何證明選講】22.如圖所示， ABC 內(nèi)接于OO,直線 AD 與OO 相切于點(diǎn) A 交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D,過(guò)點(diǎn) D 作DE/ CA 交 BA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E.(I)求證:DE=AE?BE(n)若直線 EF 與OO 相切于點(diǎn) F，且 EF=4, EA=2 求線段 AC 的長(zhǎng).4B選修 4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程23. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，以坐標(biāo)原點(diǎn) 0 為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為p=2sin0,0 , 2n).1(1) 求曲線 C

6、 的直角坐標(biāo)方程；(2) 在曲線 C 上求一點(diǎn) D,使它到直線 I :, (t 為參數(shù)，t R)的距離最短,1尸3t+2并求出點(diǎn) D 的直角坐標(biāo).選修 4-5 :不等式選講24. 設(shè)函數(shù) f (x) =|x+ 一| - |x -| - -| .(I )當(dāng) a=1 時(shí)，求不等式 f(x )，的解集；(H)若對(duì)任意 a 0 , 1，不等式 f(x) b 的解集為空集，求實(shí)數(shù) b 的取值范圍.522)=(-2) -(-2)=6,f(f(-2)=f(6)=-g.1 - b 5故選：P 是厶 ABC 所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且；=2 卜：；，則厶 PAB 與厶 PBC 的面積之比是（D1Q 23B.C.D.2

7、342016 年廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）參考答案與試題解析一選擇題：本大題共12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.21.已知集合 A=x| - K xW1, B=x|x - 2x 0，貝 U AAB=（）A. x|-1Wx2B. x|-1WxW0 C. x|1Wx2 D. x|0Wx11_XA .【考點(diǎn)】C5C函數(shù)的值.B. 0 )的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為=,則足 yw2x 的概率為( )5如果函數(shù)為(A. 3【考點(diǎn)】【解)B.y=Asin (3x+ $)中參數(shù)的物理意義.根據(jù)余弦函數(shù)的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離恰好等于半個(gè)周期，即可求得解：

8、函數(shù):1-. (3 0)的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為4廣i6C. 12D. 24的值.nnT=，又一廣 ，解得3=6.故選：B.T=2X6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入x=3，則輸出 k 的值為(A. 6【考點(diǎn)】【分析】確定輸出【解答】x=3, k=0 x=9, k=2/ Y.XB. 8C. 10 D. 12程序框圖.根據(jù)框圖的流程依次計(jì)算程序運(yùn)行的結(jié)果，直到滿足條件k 的值.解：模擬執(zhí)行程序，可得x 100,跳出循環(huán)體,不滿足條件 x 100,x=21 , k=4不滿足條件 x 100,x=45,k=6不滿足條件 x 100,x=93,k=8不滿足條件 x 100,x=189, k=10滿

9、足條件 x 100，退出循環(huán),輸出7.在平面區(qū)域 (x, y)|0 xw1, KP,則點(diǎn)P 的坐7【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃；幾何概型.A.C.D.8【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域，利用幾何概型的概率公式，即可得到結(jié)論.【解答】解：不等式組。今三 1表示的平面區(qū)域?yàn)?D 的面積為 1,ly2不等式 y 2x 對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)槿切?ABC則三角形 ABC 的面積 S=224則在區(qū)域 D 內(nèi)任取一點(diǎn) P (x, y),則點(diǎn) P 滿足 yw2x 的概率為一4故選：A.-1-2.兀 卄3兀.TT&已知 f(x) =sin(x+眉)，右 sina話- an),貝Uf (a+)=()A.C * D 10

10、 10 10 10【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦函數(shù).【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系，以及兩角和的正弦公式，即可求出.【解答】解：Ta B,貝 U si nA sinB .其中真命題的個(gè)數(shù)是()X 頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為(A. 20nB.- C. 5nD._3【考點(diǎn)】球的體積和表面積.V 1【分析】作出六棱柱的最大對(duì)角面與外截球的截面，設(shè)正六棱柱的上下底面中心分別為O,0A 再P3：i0. 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為Q,球心為 0, 個(gè)頂點(diǎn)為 A,如右圖.可根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合勾股定理算出球的半徑11A. 1B. 2C. 3D. 4【考點(diǎn)】命題的真假判斷與

11、應(yīng)用.【分析】pi:根據(jù)線面垂直的判斷定理判定即可；P2：根據(jù)奇函數(shù)的定義判定即可；P3：對(duì)表達(dá)式變形可得宀=X+1+- 1，利用均值定理判定即可；x+1x+1P4：根據(jù)三角形角邊關(guān)系和正弦定理判定結(jié)論成立.【解答】解：Pi：根據(jù)判斷定理可知， 若直線 I 和平面a內(nèi)兩條相交的直線垂直， 則 I 丄a, 若沒(méi)有相交，無(wú)數(shù)的平行直線也不能判斷垂直，故錯(cuò)誤；P2：根據(jù)奇函數(shù)的定義可知， f (- x)=2-x- 2X= - f (x)，故？x R, f(- x)=- f(x),故正確；P3：若八*+1=x+1+1- 1 1,且當(dāng) x=0 時(shí)，等號(hào)成立，故不存在 Xo( 0, +8), x+1 x+

12、1f (xo) =1 ,故錯(cuò)誤；卩4：在厶 ABC 中，根據(jù)大邊對(duì)大角可知，若A B,貝Ua b，由正弦定理可知，si nA sinB ,故正確.故選：B.的表面積為()棱長(zhǎng)求面積.【解答】 解：由三視圖可知幾何體為從邊長(zhǎng)為4 的正方體切出來(lái)的三棱錐 A- BCD 作出直觀圖如圖所示:其中 A, C, D 為正方體的頂點(diǎn)，B 為正方體棱的中點(diǎn).12.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1， 粗線畫出的A.8+8二+4 7B.8+8 二+2C. 2+2 二 + 7：【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.D.+二+：一224【分析】由三視圖可知幾何體為從邊長(zhǎng)為4 的正方體切出來(lái)的三棱錐. 作出直觀圖，計(jì)算各SA

13、ABC=_=4,SABCE=.八:9=4./AC=47, AC 丄 CD SAACF,：=87,12由勾股定理得 AB=BD=,.Jy=2 AD=4 二13 cos / ABD 八 I =-, sin / ABD= .2AB*BD55SMBD=一.=4 :.zb幾何體的表面積為 8+8 7+4 7：. 故選 A.二填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分.13.函數(shù) f (x) =x3- 3x 的極小值為-2 .【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.【分析】首先求導(dǎo)可得 f ( x) =3x2- 3,解 3x2- 3=0 可得其根，再判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)分析 函數(shù)的單調(diào)性，即可得到極小值.【解答】解析

14、：令 f( x) =3x2- 3=0,得 x= 1，可求得 f(x)的極小值為 f(1) = - 2. 故答案：-2.7- 2y- 30 x+2y - 3 一3【考點(diǎn)】F2 Z由題意作平面區(qū)域，化簡(jiǎn)z= - 2x+3y 為 y= . x+ 一，從而結(jié)合圖象求解.z y*/$ $解：由題意作平面區(qū)域如下，【分【解14.設(shè)實(shí)數(shù) x, y 滿足約束條件14故結(jié)合圖象可知，在點(diǎn) B ( 3, 0)處有最小值，在點(diǎn) C (- 3, 3)處有最大值，故-2X3+3XOWz 0, b 0)的左頂點(diǎn)為 A,右焦點(diǎn)為 F,點(diǎn) B (0, b),a2b2且二下，則雙曲線 C 的離心率為丄丄2【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性

15、質(zhì).【分析】 設(shè)出 A, F 的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合a, be 的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值.【解答】解：由題意可得 A (- a, 0) , F (e, 0) , B ( 0, b),可得.;=(-a, - b), - . = (e，- b),由二八,可得-ae+b =0,即有 b2=e2- a2=ae,由 e=，可得 e2- e-仁 0,a解得 e=(負(fù)的舍去).15故答案為：丄丄1616.在 ABC 中，點(diǎn) D 在邊 AB 上,【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算.【分析】根據(jù)題意畫出圖象，延長(zhǎng) 股定理依次求出 AE CE BC【解答】解：如圖所示：延長(zhǎng)CD 丄 BC,

16、 CD/ AErn 9/ CD=5, BD=2ADAE 3CDL BC, K. -UV：, CD=5 BD=2AD 貝 U AD 的長(zhǎng)為 5BD,BC解得在 RTAACE CE= 上=由 得 BC=2CE=5=,CEBC過(guò) A 做 AE! BC 垂足為 E,根據(jù)平行線的性質(zhì)和勾 由條件求出 AD 的長(zhǎng).過(guò) A 做 AE! BC 垂足為AE=,-= ,4 2E,在 RTABCD 中,BD 呢 L?C.U零加汽創(chuàng)屈=10,則 AD=5故答案為：5.三解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知數(shù)列an是等比數(shù)列，a2=4, a3+2 是 a2和 a4的等差中項(xiàng).(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)

17、公式；(H)設(shè) bn=2log2an-1,求數(shù)列anbn的前 n 項(xiàng)和 Tn.【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合.【分析】(I)等比數(shù)列an中，a2=4, a3+2 是 a2和 a4的等差中項(xiàng)，有等比數(shù)列的首項(xiàng)和公 比分別表示出已知條件， 解方程組即可求得首項(xiàng)和公比， 代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得 結(jié)果；()把(1)中求得的結(jié)果代入 bn=2log2an- 1，求出 bn,利用錯(cuò)位相減法求出 Tn.【解答】 解：(I)設(shè)數(shù)列an的公比為 q,因?yàn)?a2=4,所以 a3=4q,因?yàn)?a3+2 是 a2和 a4的等差中項(xiàng)，所以 2 (a3+2) =a2+a4.即 2 (4q+2) =4

18、+4q2,化簡(jiǎn)得 q2- 2q=0.因?yàn)楣?0,所以 q=2.所以 ana2qn4X2n_2= 2n(n N).(n)因?yàn)?JJ,所以 bn=2log2an1=2n-1.1718則 : :- 21-:丁1T| I 二 :21：，21.,-! : 2:-八;：上門：；1 2 -廠 丁 ,-得，二廠:汁門汽護(hù)十 2：*、-I 才- Z- -.：?。核裕?工f18.從某企業(yè)生產(chǎn)的某中產(chǎn)品中抽取 100 件，測(cè)量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值. 由測(cè)量結(jié)果得到 如圖所示的頻率分布直方圖，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 55 ,65), 65 , 75), 75 , 85內(nèi)的頻率之比為 4: 2: 1 .(I)求這些產(chǎn)品

19、質(zhì)量指標(biāo)落在區(qū)間75 , 85內(nèi)的概率；(H)用分層抽樣的方法在區(qū)間45 , 75)內(nèi)抽取一個(gè)容量為 6 的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任意抽取 2 件產(chǎn)品，求這 2 件產(chǎn)品都在區(qū)間45 , 65)內(nèi)的概率.- - 1 i_L：第討 4S 51 的刊 U 質(zhì)量指標(biāo)值【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖.【分析】(I )由題意，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間55 , 65), 65 , 75), 75 , 85內(nèi)的頻率之和，利用之比為 4: 2: 1 ,即可求出這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間75 , 85內(nèi)的頻率；(2)由頻率分布直方圖得從45, 65)的產(chǎn)品數(shù)中抽取 5 件，記為

20、A, B , C, D, E,從65 , 75)的產(chǎn)品數(shù)中抽取 1 件，記為 a,由此利用列舉法求出概率.【解答】解：(I)由題意，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間55 , 65), 65, 75), 75 , 85內(nèi)的頻率之和為 1 - 0.04 - 0.12 - 0.19 - 0.3=0.35 ,質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間55 , 65) , 65, 75), 75 , 85內(nèi)的頻率之比為 4: 2: 1 ,這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間75 , 85內(nèi)的頻率為 0.35X. =0.05 ,(H)由頻率分布直方圖得：這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間55 , 65)內(nèi)的頻率為 0.35X4(1-嚴(yán)打= .- .- -廠m3

21、：.1920抽取 6X=1 件，記為 a,6從中任取兩件，所有可能的取法有：(A, B), (A, C), (A, D),(A, E), ( A a), ( B, C),(B, D), (B, E), (B, a), (C, D) (D( C, E) (C, a), (D, E) (D, a), (E, a),共15 種，一 一I J這 2 件產(chǎn)品都在區(qū)間45 , 65)內(nèi)的取法有 10 種，從中任意抽取 2 件產(chǎn)品，求這 2 件產(chǎn)品都在區(qū)間45 , 65)內(nèi)的概率丄三=.#比319.如圖，四棱柱 ABCD- ABGD 的底面 ABCD 是菱形，AS BD=Q AO 丄底面 ABCDAB=AA

22、=2.JJ【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；直線與平面垂直的判定.【分析】(I)證明 AO 丄 BD. COL BD.即可證明 BD 丄平面 ACOJ/Tf(H)解法一：說(shuō)明點(diǎn) B 到平面 ABCD 勺距離等于點(diǎn) A 到平面 ABCD 勺距離 AQ.設(shè)點(diǎn) C 到平 面 OBB的距離為 d,、通過(guò)二-:遷i.八丄-遷，求解點(diǎn) C 到平面 OBB 的距離.解法二：連接 A1C1與 BD 交于點(diǎn) O,連接 CO, OO,推出 OAOC 為平行四邊形.證明 CHL平 面 BBDD,然后求解點(diǎn) C 到平面 OBB 的距離.【解答】(I)證明：因?yàn)?AO 丄平面 ABCD BD?平面 ABCD所以 AO 丄

23、 BD.這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間65 , 75)這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 45 , 55) 所以這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 45 , .0.5 =5喬=了內(nèi)的頻率為 0.35X=0.1 ,7內(nèi)的頻率為 0.03X10=0.30 ,65）內(nèi)的頻率為 0.3+0.2=0.5 ,從45 , 65)的產(chǎn)品數(shù)中抽取6Y =5件，記為 A，B, C,D, E,從65 , 75)的產(chǎn)品數(shù)中(I)證明：BD 丄平面 ACQ(H)若/ BAD=60，求點(diǎn) C 到平面 OBB 的距離.21因?yàn)?ABCD 是菱形，所以 COL BD.因?yàn)?AOQCO=O A1O, CO?平面 ACO所以 BD 丄平面 ACO(

24、H)解法一：因?yàn)榈酌?ABC是菱形，ACHBD=O AB=AA=2,/ BAD=60 ,i 5所以 0B=0D=,1 :加冷-凸.所以 OBC 勺面積為十上二丄 1:;因?yàn)?AiO 丄平面 ABCD AO?平面 ABCD所以 AO 丄 AO 冷二,因?yàn)?AB /平面 ABCD所以點(diǎn) Bi到平面 ABCD 勺距離等于點(diǎn) A 到平面 ABCD 勺距離 AO. 由（I）得，BD 丄平面 AAC.因?yàn)?AA?平面 AiAC,所以 BD 丄 AA.因?yàn)?AiA/ BiB,所以 BD 丄 BiB.所以 OBB 的面積為 B n.設(shè)點(diǎn) C 到平面 OBB 的距離為 d,因?yàn)?二 ,所以左s腕缺爭(zhēng)“SA0BB

25、 所以點(diǎn) C 到平面 OBB 的距離為 .2解法二：由（I）知 BD 丄平面 A CO因?yàn)?BD?平面 BBD D,所以平面 AiCOL 平面 BBD D.連接 AiC 與 BiD 交于點(diǎn) O,連接 CO, OO,因?yàn)?AA=CC, AA / CC,所以 CAAC 為平行四邊形.又 O, O 分別是 AC, A Ci的中點(diǎn)，所以 OAO C 為平行四邊形.所以 OC=OA= i .因?yàn)槠矫?OAOC 與平面 BBD D 交線為 OQ,過(guò)點(diǎn) C 作 CHL OO 于 H,貝UCH 丄平面 BB D D.因?yàn)?OC/ AiO, AiO 丄平面 ABCD 所以 OC 丄平面 ABCD因?yàn)?OC?平面

26、 ABCD 所以 OiC 丄 OC 即厶 OCO 為直角三角形.1XV3 Vs2_2所以點(diǎn) C 到平面 OBB 的距離為上_r:所以-2320.已知橢圓 C 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上，左頂點(diǎn)為 A,左焦點(diǎn)為 Fi(- 2, 0),點(diǎn) B(2，二)在橢圓 C 上，直線 y=kx(心 0)與橢圓 C 交于 E, F 兩點(diǎn)，直線 AE AF 分別 與 y 軸交于點(diǎn)M, N(I)求橢圓 C 的方程；(n)在 x 軸上是否存在點(diǎn) P,使得無(wú)論非零實(shí)數(shù) k 怎樣變化, 求出點(diǎn) P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【考點(diǎn)】斷存在點(diǎn) P.2V2V0取 x=o,得y=：,.，總有/ MPN 為直角？若存在,

27、橢圓的【分(I)由題意可設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為22-=1Q b jk：Aa2, b2的值,(ab0),結(jié)合已知及隱含條件列關(guān)于 a,(n)設(shè) F (Xo, yo), E (- Xo,- yo),寫出 AE AF 所在直線方程，求出 M N 的坐標(biāo)，得 到以 MN 為直徑的圓的方程，由圓的方程可知以MN 為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(土 2, 0),即可判b, c 的方程組，求解方程組得到則橢圓方程可求;【解答】解：2 2+-一=1 (ab0),a222皿4 2則 c=2, a - b=c, p + r=1，解得:V Z1 時(shí)，證明：f(x) 1.【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；禾 U 用導(dǎo)數(shù)研究曲線

28、上某點(diǎn)切線方程.【分析】(I)求得 m=1 時(shí)，f (x)的導(dǎo)數(shù)，可得切點(diǎn)坐標(biāo)和切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可 得所求切線的方程；(H)證法一：運(yùn)用分析法證明，當(dāng)m1 時(shí)，f(x)=mes-lnx-1ex-lnx-1.要證明 f(x ) 1，只需證明 ex-lnx - 2 0，思路 1：設(shè) g (x) =ex- lnx - 2,求得導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào) 區(qū)間，可得最小值，證明大于0 即可；思路 2：先證明 exx+1 (x R),設(shè) h (x) =ex- x- 1，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最小值 大于 0;證明 x - lnx - 1 0.設(shè) p (x) =x- lnx - 1，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得

29、最小值大 于 0,即可得證；思路 3:先證明 ex- lnx 2.：因?yàn)榍€ y=ex與曲線 y=lnx 的圖象關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱，結(jié)合 點(diǎn)到直線的距離公式，求得兩曲線上的點(diǎn)的距離AB 2，即可得證；證法二：因?yàn)?f(x) =mes- lnx - 1,要證明 f(x) 1，只需證明 meTnx - 20.AE 所在直線方程為(x+2 ),圓的方程為x2+ (y，即 x2+取 y=0,得 x= 2.可得以 MN 為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(土 可得在 x 軸上存在點(diǎn) P( 2，0), 使得無(wú)論非零實(shí)數(shù) k 怎樣變化，總有/0).MPN 為直角.26所以要證明 ex- lnx- 20, 只需證明 下面

30、證明=x- lnx - 1，則.：j 當(dāng) 0vxv1 時(shí)，p (x)v0,當(dāng) x 1 時(shí)，p (x) 0,思路 1：設(shè) g (x) =m(e- lnx - 2,求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，求得最小值，證明大于0，即可得證；思路 2：先證明 ex x+1 (x R),且 Inx 0).設(shè) F( x) =ex- x - 1,求得導(dǎo)數(shù)和單 調(diào)區(qū)間，可得最小值大于 0，再證明 me - lnx - 2 0,運(yùn)用不等式的性質(zhì)，即可得證.【解答】(I)解：當(dāng) m=1 時(shí)，f(x) =ex- lnx - 1,所以 f (1) =e- 1, f (1) =e- 1. 所以曲線 y=f (x)在點(diǎn)(1, 即 y= (e

31、 - 1) x.(n)證法一：當(dāng)m1 時(shí)，要證明 f (x) 1,只需證明f (1)處的切線方程為 y -( e - 1) = (e - 1) (x - 1).f (x) =me - lnx - 1 ex- lnx - 1. ex-lnx - 20.以下給出三種思路證明 ex- lnx - 20.思路 1:設(shè) g (x) =ex- lnx - 2，則-.- J 一x設(shè) u-、- I ,則：丨 _ 1,所以函數(shù)1h (x)=廠-一在(0, +8)上單調(diào)遞增.因?yàn)橐?并芫燉 g (1) =e- 1 0,所以函數(shù)廠 I 二- 一在(0, +8)上有唯一零點(diǎn)衍 1因?yàn)?g (X。)=0 時(shí)，所以L-

32、，即 lnx0= - X。.當(dāng) x( 0, X0)時(shí)，g (x)v0;當(dāng) x ( X0, +8)時(shí)，g (x) 0. 所以當(dāng) X=X0時(shí)，g (x)取得最小值 g (X0).ih w I- 2+xn 2A0.xo,f (x) 1 .(x R).h (x) =ex- 1.v0,當(dāng) x0 時(shí)，(x )單調(diào)遞減，當(dāng)故匚：i I打：-綜上可知，當(dāng) m 1 時(shí) 思路 2：先證明 ex x+1 設(shè) h(x) =ex- x - 1,則 因?yàn)楫?dāng)所以當(dāng) 所以 h 所以 exv0 時(shí)，h (x)xv0 時(shí)，函數(shù) h (x) h (0) =0. x+1 (當(dāng)且僅當(dāng) x=0 時(shí)取等號(hào)).-h (x) 0,x 0 時(shí)，

33、函數(shù) h (x)單調(diào)遞增.(x+1) - lnx - 20.-x - lnx - 1 0.27所以當(dāng) 0vxv1 時(shí)，函數(shù) p (x)單調(diào)遞減，當(dāng) x 1 時(shí)，函數(shù) p (X)單調(diào)遞增.28所以 p (x)p (1) =0.所以 x - Inx - 1 0 (當(dāng)且僅當(dāng) x=1 時(shí)取等號(hào)).由于取等號(hào)的條件不同，所以 ex- Inx - 2 0.綜上可知，當(dāng) m 1 時(shí)，f(x) 1.(若考生先放縮 Inx，或 ex、Inx 同時(shí)放縮，請(qǐng)參考此思路給分！) 思路 3:先證明 ex- Inx 2.因?yàn)榍€ y=ex與曲線 y=lnx 的圖象關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱，設(shè)直線 x=t (t 0)與曲線

34、y=e：y=lnx 分別交于點(diǎn) A, B,點(diǎn) A, B 到直線 y=x 的距離分別為 d1, d2,則.山 f 匚丄：” Jt - lnt(t 0).設(shè) h (t) =et- t (t 0)，貝Uh (t) =et- 1.因?yàn)?t 0,所以 h (t) =e(- 1 0.所以 h (t )在(0, +s)上單調(diào)遞增，則h (t ) h (0) =1.所以1 + = 1設(shè) g (t) =t - lnt (t 0)，則(t)=l_=_-.因?yàn)楫?dāng) 0vtv1 時(shí)，g (t)v0;當(dāng) t 1 時(shí)，g (t ) 0,所以當(dāng) 0vtv1 時(shí)，g (t) =t - I nt 單調(diào)遞減；當(dāng) t 1 時(shí)，g (

35、t) =t - Int所以 g (t) g (1) =1.L t 亠 lnt込所以,.所以/：J 1 時(shí)，f(x ) 1.證法二：因?yàn)?f(x) =mes - Inx - 1,要證明 f(x) 1,只需證明 me - Inx - 2 0.以下給出兩種思路證明mg - Inx - 20.單調(diào)遞增.思路 1:設(shè) g (x) =me- Inx - 2,則：二一 ；-匚-所以函數(shù) h (x) =- 匸二 在(0, +7 上單調(diào)遞增.x1 因?yàn)椴牛簛A：, g(1)=me-10, 2in其中29請(qǐng)考生在第 22、23、24 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.作答時(shí)請(qǐng) 寫清題號(hào).【選修 4-

36、1 :幾何證明選講】22.如圖所示， ABC 內(nèi)接于OO,直線 AD 與OO 相切于點(diǎn) A 交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D, D 作 DE/CA 交 BA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E.(I)求證：DE=AE?BE(n)若直線 EF 與OO 相切于點(diǎn) F,且 EF=4, EA=2 求線段 AC 的長(zhǎng).【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段.所以函數(shù)-;二 在(0, +8)上有唯一零點(diǎn) Xo,且、 .xu2mK01因?yàn)?g (xo) =0, 所以一I-，即 Inxo=- xo Inm.K0當(dāng) x( 0, Xo)時(shí)，g (x)v0;當(dāng) x ( xo, +8)時(shí)，g (x) 0. X=Xo 時(shí)，g ( x)取得最小值g ( X

37、o).JJ1所以當(dāng)故 I - l 二-：一_：1 匚_ - 2：r - -x0綜上可知，當(dāng) m 1 時(shí)，f (X ) 1.思路 2：先證明 ex x+1 (x R),且 Inx 0). 設(shè) F (x) =ex x 1,貝 U F (x) =ex 1.因?yàn)楫?dāng) xv0 時(shí)，F(xiàn) (x)v0;當(dāng) x0 時(shí)，F(xiàn) (x) 0, 所以 F(乂)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增. 所以當(dāng) x=0 時(shí)，F(xiàn)(x)取得最小值 F(0)=0.所以 F (x) F (0) =0,即 ex x+1 (當(dāng)且僅當(dāng) x=0 時(shí)取等號(hào)). 由 ex x+1(x R),得 ex1 x (當(dāng)且僅當(dāng) x=1 時(shí)取等號(hào)). 所以 Inx 0)(當(dāng)且僅當(dāng) x=1 時(shí)取等號(hào)). 再證明 mg Inx 20.因?yàn)?x 0, m 1，且 exx+1 與 Inx m (x+1) ( x 1) 2= ( m- 1) (x+1)0.綜上可知，當(dāng) m 1 時(shí)，f(x )