矩陣的特征值與特值向量大學(xué)數(shù)學(xué)教案2

1、第二節(jié) 矩陣的特征值與特征向量分布圖示 特征值與特征向量的概念例 1 例 2 例 3例 4 例 5 特征值與特征向量的性質(zhì)(1 ) 例6 特征值與特征向量的性質(zhì)(2 )例7 例8 定理 1例9 例10例 11 內(nèi)容小結(jié)課堂纟東習(xí)習(xí)題 4-2內(nèi)容要點(diǎn)一、特征值與特征向量定義 1 1 設(shè)A是n階方陣，如果數(shù)和n維非零向量X使AX 二 X成立，則稱數(shù)為方陣A的特征值，非零向量X稱為A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量（或稱 為A的屬于特征值的特征向量）注：1.n階方陣A的特征值 就是使齊次線性方程組（-A）X =0有非零解的值，即滿足方程|，E -A|=0的都是矩陣A的特征值稱關(guān)于九的一元n次方程|AE-A|

2、=0 為矩陣A的特征方程，稱X的一元n次多項(xiàng)式 仙井-A|為矩陣A的特征多項(xiàng)式根據(jù)上述定義，即可給出特征向量的求法：設(shè)二 i 為方陣A的一個(gè)特征值，則由齊次線性方程組（iE A）X =0可求得非零解 p，那么 Pi就是A的對(duì)應(yīng)于特征值 二的特征向量，且A的對(duì)應(yīng)于特征值i的特征向量全體是方程組（iE_A）X=：0 的全體非零解。即設(shè)Pi，P2，：Ps為（iE-A）X=：0的基礎(chǔ)解系，則A的對(duì)應(yīng)于特征值 1 的特征向量全體是P 二 Bik?P2ksPs(匕，不同時(shí) 0).、特征值與特征向量的性質(zhì)性質(zhì) 1 1n階矩陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣 AT有相同的特征值性質(zhì) 2 2 設(shè) A=j)是 n 階矩陣，貝 U

3、(n、*nL.nk_n_kn=k - Y aii見(jiàn)+(_1)Sk人+ +(_1)| A |Z 丿其中 Sk 是A的全體 k 階主子式的和.設(shè)冶肚入是A的n個(gè)特征值，則由n次代數(shù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系知，有(1) 2n Fn a22 Qn；(2)，1 2 n=|A|其中A的全體特征值的和 a11- a2亠 ann稱為矩陣A的跡，記為 tr(A).性質(zhì) 3 3 設(shè) A =)是n階矩陣，如果n(1)、|aj|：1(i =1,2,n)j二或n(2) jaj| 1( j =1,2, n)i=1有一個(gè)成立，則矩陣A的所有特征值：的模小于 1,即|打|：1 (i =1,2/ , n)定理 1 1n階矩陣A的互不相等的特征值1,，m對(duì)應(yīng)的特征向量 P1,P2,，Pm線性無(wú)關(guān)注：1.屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的；2. 屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量_aii-a2if ( ) =1，E -A|a12 - a 22-an1an2_ a1na2n_ann3. 矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的，一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一；一個(gè)特征向