恒成立問題——最值分析法

1、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用-恒成立問題例2.已知函數(shù)fx二al nx1a0，在區(qū)間1,e上，f x、：x恒成立，求a的取值范圍考情考向分析:不等式恒成立與存在性問題是歷年高考的熱點(diǎn)，特別是以導(dǎo)數(shù)為背景的題型更是在高考中 頻頻出現(xiàn)。這類問題涉及的知識面廣、綜合性強(qiáng)、能力要求高。解決這類問題的關(guān)鍵是等 價(jià)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題，通過轉(zhuǎn)化使恒成立問題與存在性問題得到簡化。本節(jié)課學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 掌握恒成立、存在性問題與最值間等價(jià)轉(zhuǎn)化關(guān)系:2. 通過典例及練習(xí)，掌握轉(zhuǎn)化中的技巧及細(xì)節(jié)問題;目標(biāo)一.恒成立與最值問題轉(zhuǎn)化關(guān)系：例3.已知函數(shù)f x二ex-1-x-ax1 2 3對任意的x：= 10,=，均有f x _ 0

2、,求實(shí)數(shù)a的范圍;I) 若 f(X)在區(qū)間 D 上存在最大值 f ( X)max和最小值 f ( X)min，則:1.不等式 f (x)a 在 D 上恒成立 _ ;2. 不等式 f (x)a在 D 上恒成立 _ ;II) 若 f(x)在區(qū)間 D 上不存在最大(小)值,且值域?yàn)?m,n)貝U:2 不等式 f (x)a 在 D 上恒成立 _ ;3 不等式 f (x)a在 D 上恒成立 _ ;變化：1.將不等號方向改變？2.將恒成立改為有解呢?目標(biāo)二.轉(zhuǎn)化技巧與細(xì)節(jié)處理：例1.設(shè)f x = x2-2mx 2，當(dāng)x：= L 1,亠時(shí)，f x _ m恒成立，求m的取值范圍總結(jié)：鞏固提升：已知函數(shù)f x=

3、(1-x2)ex，若x_0時(shí)f(x)_axT，求 a a 的取值范圍;總結(jié):例1.設(shè)f x=x2-2mx 2，當(dāng)x 1-1- i時(shí)，f x _ m恒成立，求m的取值范圍解：恒成立不等式為x2_2mx 2 - m _ 0,令g x =x2_2mx，2_m則對稱軸為x = m（1 1） 當(dāng)m蘭1時(shí)，g（x淳1,畑） 單增， .g（xmjn=g （1p1+2m+2m30二mA3即m運(yùn)3,1（2 2）m1時(shí)，g（x）在（1,m）單減，在（m,畑）單增 二9以;=9（口）=* 2nf+2mZ-2蘭m蘭1.m1,11終上所述：m-3,1思路一: 二次型恒成立多考慮直接轉(zhuǎn)化求最值，以對稱軸在不在給定區(qū)間內(nèi)進(jìn)

4、行分類討論。思路二: 從另一個(gè)角度看，本題m,x容易進(jìn)行分離，所以也可考慮參變分離法。解:x22-2mx 2 - m _0= 2x 1 m _x 2(1)2x 10二x -1時(shí)，則m 2x2+2 ”切1丿min（由于m系數(shù)符號未定，故分類討論進(jìn)行參變分離）令t = 2x 1,t0（換元時(shí)注意更新新元的取值范圍)則=三匕=9t 9一2 _12x + 1 t4t 4l t丿x22(2) 2x 1 =0二x - -1，不等式對任意的2m均成立(3) 2x 1 x得：alnx x + 10恒成立，令g（x）=alnx x+1 ” g（x）min0,g（1）=0aa xa x g x1，令g x 00：

5、x：a（分析g x的單調(diào)性）xxx當(dāng)a -1時(shí)g x在1,e單調(diào)遞減，則g x0：g 1 = 0（思考：為什么以a = 1作為分界點(diǎn)討論？因?yàn)檎业絞 1j；= 0，若要不等式成立，那么一定從x=1處起g x要增（不一定在1,e上恒增，但起碼存在一小處區(qū)間是增的），所以a_ 1時(shí)導(dǎo)致在x = 1處開始單減，那么一定不符合 條件。由此請?bào)w會零點(diǎn)對參數(shù)范圍所起的作用）當(dāng)a - 1時(shí)，分x = a是否在1,e中討論（最小值點(diǎn)的選?。├洌?）狂0若1：a：e，g x在1,a：L，在a, e：L，：a_e1e-1 -a：eg（e）0（1）可以比較g 1 , g e的大小找到最小的臨界值， 再求解，但比較麻

6、煩。由于最小值只會在x=1,x=e處取得，所以讓它們均大于 0 即可。（2）由于x = 1,x = e并不在1,e中，所以求得的只是臨界值，臨界值等于零也符合條件）若a_e，則g x在1,e上單調(diào)遞增，.g x j - g 1 = 0，符合題意綜上所述：a_e-1此題在a 1的情況也可不分類討論，因?yàn)閺膯握{(diào)區(qū)間分析來看，在1,+：中x=a是極大值點(diǎn)，不可能是最小值，所以無論x = a是否在1,e，最小值（或臨界值）均只會在邊界處產(chǎn)生，所以只需g 1 -0g e -0a - e -1即可強(qiáng)，fx的作用就是以符號確定f x的單調(diào)性，所以解題時(shí)就關(guān)注fx的符號。而符號的確定同樣要靠二階導(dǎo)（此處為此題

7、最大亮點(diǎn)，體會三點(diǎn)：單調(diào)性與零點(diǎn)是如何配合來確定f x , f x的符號的；每一步的目的性很思路二：不等式al nx-x1 .0中a與x便于分離，所以只要分離后的x的函數(shù)易分析出單調(diào)性，那么就可考慮運(yùn)用參變分離法解：aln x - x 10 =1In x -1 + gx2（In x）1令h x =1 nx -1 ，：h 1=0（h x求導(dǎo)函數(shù)，便不含In x,可分析單調(diào)性，且零點(diǎn)找到，所以方法x11X _1二可繼續(xù)進(jìn)行）h（x）220 xi1,e h x在1,e上單調(diào)遞增x x xh x h 1=0（體會零點(diǎn)配合單調(diào)性對確定函數(shù)符號的作用）.g（x）0，g x在1,e上單增.g x：g e =

8、e-1 . a丄e-1（g x無最大，只有臨界值，可取等）第一點(diǎn)是分析g（x）時(shí)由于g（x）形式復(fù)雜并沒有對g（x）直接求導(dǎo)，而是把分子拿出來分析。因?yàn)槲?們只關(guān)心導(dǎo)函數(shù)的符號，而分母符號恒正，所以要體會導(dǎo)函數(shù)的符號是對原函數(shù)的單調(diào)性最有價(jià)值的。第二點(diǎn)是體會零點(diǎn)與單調(diào)性合作可確定函數(shù)的符號，這也是分析h x的重要原因。例3.已知函數(shù)f x二ex-1-x-ax2對任意的x 0,=，均有f x -0，求實(shí)數(shù)a的范圍思路：此題可用最值法求解， 先做好準(zhǔn)備工作，f 0 =0，所以函數(shù)要從x=0開始增，求導(dǎo)觀察特點(diǎn): 解：f 0=0f （x） =ex-2ax-1（不易直接出單調(diào)性，但是發(fā)現(xiàn)其中f 0=0

9、，且f x再求一次導(dǎo)， 其導(dǎo)函數(shù)容易分析單調(diào)性。進(jìn)而可解）xxf 0=0 f x=e-2a，令f xj-0即e 2a，下面進(jìn)行分類討論：（1 1）當(dāng)a乞0時(shí)，fx 0，fx單調(diào)遞增。.fx f0 =0 f x單調(diào)遞增，f x f 0 =0，滿足條件數(shù)與一階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)配合來得到；f x ,fx的零點(diǎn)是同一個(gè)，進(jìn)而引發(fā)的連鎖反應(yīng)）（2）當(dāng)a 0時(shí)，x In2a（In2a可正可負(fù)，而x0,母），所以討論In2 a的符號）1 -1當(dāng)In 2a遼0= 0：a時(shí)，x In2a恒成立，即f x恒大于零，則：fx單調(diào)遞增。.fx f0 = 0f x單調(diào)遞增，f x f 0 = 0，滿足條件_r1 2當(dāng)In 2a 0= a，則x三0, I na2時(shí)，f x : 0即f x在0,In2 a單調(diào)遞減，fx:：f 0=0. f x在0,I n2a單調(diào)遞減，f x：f 0=0，不符題意，故舍去1綜上所述：a 時(shí)，f x _ 0恒