換元積分法與分部積分法,DOC

1、僅供個人學習參考8.2 換元積分法與分部積分法(4 時)【教學目的】熟練掌握換元積分法和分步積分法?！窘虒W重點】換元積分法和分步積分法。【教學難點】靈活運用換元積分法和分步積分法?！窘虒W過程】一換元積分法由復合函數(shù)求導法，可以導出換元積分法.I X定理 8 . 4(換元積分法)設(shè) g(u)在 1 丨上有定義，u =(x)在！a,b丨上可導，且X*卉I/_:- (x) x- a,b 1,并記I I / /(i)若g(u)在： J 丨上存在原函數(shù)G(u),貝U f (x)在la,bl上也存在原函數(shù)J J /F(x),F(x)二G( (x) C，即(ii)又若，(x)=O,x a,b|則上述命題(i

2、)可逆，即當f (x)在la,b 1上存在原函數(shù) F(x)時,g(u) II I .1 I g/在:,-上也存在原函數(shù) G(u)，且 G(u)=F(u) C，即g(u)du 二 g(x)(x)dx 二 f(x)dx.證(i )用復合函數(shù)求導法進行驗證：所以f(x)以G( (x)為其原函數(shù)，(1)式成立.(ii)在(x)=0的條件下，u=(x)存在反函數(shù)x(u),且于是又能驗證(2)式成立：=g( (x)Hg(u)口上述換元積分法中的公式(1)與(2)反映了正、逆兩種換元方式，習慣上分別稱為第一換元積分法和第二換元積分法(公式(1)與(2)分別稱為第一換元公式與第二換元公式).下面的例 1 至例

3、 5 采用第一換元積分法求解.在使用公式(1)時，也可把它寫成如下簡便形式：例 1 求 ta nxdx.解由tan xdx二sin xdx二-(cosx)dx,僅供個人學習參考、cosxLcosx1可令u =cosx,g(u) ,則得u僅供個人學習參考例 2 求j(a 0).a x僅供個人學習參考對換元積分法比較熟練后，可以不寫出換元變量u，而直接使用公式(1 ).例3求J占虧30)一a -x例 4 求2dx2(a =0).x -adx22x a例 5 求 secxdx.解解法一利用例 4 的結(jié)果可得解法二secxdx=secx(secx tan x), - dxsecx tan x=lnse

4、cx +tanx +C .這兩種解法所得結(jié)果只是形式上的不同，請讀者將它們統(tǒng)一起來.從以上幾例看到，使用第一換元積分法的關(guān)鍵在于把被積表達式f (x)dx湊成gxFixdx的形式,以便選取變換u=(x)，化為易于積分的 g u du .最終不要忘記把新引入的變量u還原為起始變量x.第二換元公式(2)從形式上看是公式(1)的逆行，但目的都是為了化為容易求得原函數(shù)的形式(最終同樣不要忘記變量還原)，以下例 6 至例 9 采用第二換元積分法求解.du匸+3u解為去掉被積函數(shù)中的根式，取根次數(shù) 2 與 3 的最小公倍數(shù) 6,并令u =x6,則可把原來的不定積分1x a僅供個人學習參考化為簡單有理式的積

5、分：=2荷33U+6VU6ln Vu +1 +C .例 7 求. a2-x2dx (a - 0)x解令x=as int, t -(這是存在反函數(shù)t=arcsi n的一個單調(diào)區(qū)間)于是2a例8求 frdx2(anO)2 2x -a解令 x =asect,0：t：(同理可考慮 t : 0 的情況)，于是有sect =x，aI I 7廠右a r -.dx例 9 求一222-(a 0)L(x +a )解令 X =atant，t一，于是有有些不定積分還可采用兩種換元方法來計算.廠f I / ./ - _/例 10 求，一dxi2 2x x -1解解法一采用第一換元積分法：解法二采用第二換元積分法(令 x

6、 = sect):二分部積分法由乘積求導法，可以導出分部積分法.定理 8.5 (分部積分法)若ux與vx可導，不定積分 ukvxdx 存在，并有 uxv xdx=ux vx -u xvxdx (3)證由 Uxvx】二 u xvx uxv x或u X v X= u X V x 吵-uxvx，借助輔助直角三角形，便于求出Jx2_a2士”曰tan t，故得u x / x dx 也存在,僅供個人學習參考對上式兩邊求不定積分，就得到(3)式.公式稱為分部積分公式，常簡寫作.udv 二 uv - . vdu (4)僅供個人學習參考例 11 求 xcosxdx.解令u =x,v =cosx，則有u:1,v=

7、sinx.由公式（3）求得例 12 求 arctanxdx.1解令u二 arctanx , v =1，則u2,v = x，由公式（3）求得1 +x例 13 求 x3In xdx.解令u = In x,v丄x3，由公式（4）則有I有時需要接連使用幾次分部積分才能求得結(jié)果；有些還會出現(xiàn)與原不定積分同類的項,并后方能完成求解現(xiàn)分別示例如下例 14 求 x2edx.I#/./T _/I,z!by- r I解 x2edx = x2d -e =-x2e 2 xedx*. I /例 15 求 h = ecosbxdx 和 |2二 eaxsi nbxdx11解h=cosbxd（eax）=（eaxcosbx +besinbxdx）a aI=