復(fù)變函數(shù)及積分變換試題及答案

1、第一套第一套-裝-訂-線-一、選擇題（每小題3分，共21分）1. 若（ ），則復(fù)函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。A. 、在區(qū)域內(nèi)連續(xù)； B. 在區(qū)域內(nèi)連續(xù)；C. 、至少有一個在區(qū)域內(nèi)連續(xù)； D. 以上都不對。2. 解析函數(shù)的實部為，根據(jù)柯西-黎曼方程求出其虛部為（ ）。A.； B ； C ； D 3. （ ）。A. ； B. 0； C. ； D. 以上都不對.4. 函數(shù)以為中心的洛朗展開系數(shù)公式為（ ）。A. B. C. D. 5. z=0是函數(shù)的（ ）。A.本性奇點 B.極點 C. 連續(xù)點 D.可去奇點6. 將點，0，1分別映射成點0，1，的分式線性映射是（ ）。A. B. C. D. 7. （ ）

2、，（）。A. ； B.； C. ； D. .二、填空題（每小題3分，共18分）1. 1 ；2. 冪級數(shù)收斂于 2 ；3. 設(shè)為復(fù)函數(shù)的可去奇點，則在該點處的留數(shù)為 3 . ；4. 通過分式線性映射（k為待定復(fù)常數(shù)）可將 4 映射成單位圓內(nèi)部； 5. 一個一般形式的分式線性映射可由、三種特殊形式的映射復(fù)合而成，分別將平面看成z平面的平移映射、旋轉(zhuǎn)與伸縮映射、 5 ；6. 求積分 6 ；三、判斷題 （每小題2分，共10分）1. 平面點集D稱為一個區(qū)域，如果D中任何兩點都可以用完全屬于D的一條折線連接起來，這樣的集合稱為連通集。（ ）2. 在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是：與在D內(nèi)可微，且滿足C-R方程。

3、 （ ）3.將平面上一個點集映射到平面上一個點集，的參數(shù)方程是：，的參數(shù)方程是：，則函數(shù)與導(dǎo)數(shù)滿足伸縮率不變性、旋轉(zhuǎn)角不變性和保角性。 （ ）4. 拉氏變換的微分性質(zhì)為：若，則。（ ）5. 傅里葉級數(shù)表示一個周期為T的信號可以分解為簡諧波之和，這些簡諧波的（角）頻率分別為一個基頻的倍數(shù)。（ ）四、計算題（前四題，每小題9分，第五題，15分，共51分）1. 當(dāng)分別等于多少時，函數(shù)在復(fù)平面上處處解析? 2. 計算。3. 將函數(shù)在指定圓環(huán)內(nèi)處展開為洛朗級數(shù)：，.4. 利用留數(shù)定理計算積分 5. 求微分方程組的解一、選擇題（每小題3分，共21分）1. A 2. B 3.B 4. A 5. A 6. D

4、 7. A .二、填空題（每小題3分，共18分）1. ；或2. ； 3. 0； 4. 上半平面； 5. 反演映射 6. 1.三、判斷題 （每小題2分，共10分）1. × 2. 3. 4. 5. 四、計算題（前四題，每小題9分，第五題，15分，共51分）1. 解： （3分） （3分） （3分）2. 解： （5分） （或判斷出-i在圓內(nèi)，不在圓內(nèi)，得2分） （4分）3. 將函數(shù)在指定圓環(huán)內(nèi)處展開為洛朗級數(shù)： （5分）（或：寫出洛朗級數(shù)公式2分） （4分） 4. 解：由于函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)有可去奇點z=0與單極點z=1 （4分）（3分）由留數(shù)定理，原積分 （2分）5. 解：（4分）整理得（4

5、分）解得（4分）再取拉氏變換得到其解為： （3分）第二套一、選擇題（每小題3分，共21分）1. 的指數(shù)式為（ ）。A、 B、 C、 D、2. 復(fù)函數(shù)（ ）。A 在復(fù)平面上處處解析； B在復(fù)平面上處處不解析；C 除去原點外處處解析； D除去原點及負(fù)半實軸外處處解析.3. 由柯西積分公式得，積分的值為（ ）。A.0 B. 1 C. 2 D.無解4. 洛朗級數(shù)的正冪部分叫（ ）。A、主要部分 B、解析部分 C、無限部分 D、都不對5. 在點z=0處的留數(shù)為（ ）。A.-1 B.0C.1D.26. 保角映射具有的性質(zhì)有（ ）。A. 反演性、保圓性、保對稱性B. 共形性、保角性、保對稱性C. 共形性、保

6、圓性、保對稱性D. 反演性、保角性、保對稱性7. （ ），（）。A. ； B.； C. ； D. .二、填空題（每小題3分，共18分）1. = 1 。2. 冪級數(shù)收斂半徑為： 2 。3. 孤立奇點可分為可去奇點、極點和 3 三種。4. 通過分式線性映射，(，為實數(shù))可將 4 映射成單位圓內(nèi)部。 5. 在擴充復(fù)平面上兩點與是關(guān)于圓周C的對稱點的充要條件是通過與的任何圓周與 5 。6. 按定義，函數(shù)的傅里葉變換式為 6 。三、判斷題 （每小題2分，共10分）1. 如果平面點集G中的每一點都是它的內(nèi)點，則稱G為開集。 （ ）2. 的所有分支可表示為。 （ ）3. 設(shè)函數(shù)在的鄰域內(nèi)有定義，且在具有保角

7、性和伸縮率不變性，則稱在時共形的。 （ ）4. 傅里葉級數(shù)中的物理意義：表示周期信號在一個周期內(nèi)的平均值，也叫做交流分量。 （ ）5. 拉氏變換的微分性質(zhì)為：若，則。 （ ）四、計算題（前四題，每小題9分，第五題，15分，共51分）1. 設(shè)為解析函數(shù)，試確定l,m,n的值2. 計算積分，；3. 將下列各級數(shù)在指定圓環(huán)域內(nèi)展開為洛朗級數(shù)，； 4. 利用留數(shù)定理求積分（圓周均取正向）5. 求微分方程式的解（c為常數(shù)）第二套一、選擇題（每小題3分，共21分）1. C 2.D 3. A 4. B 5. C 6. C 7.C.二、填空題（每小題3分，共18分）1. 2. 0 3.本性奇點 4. 單位圓內(nèi)

8、部 5. 正交 6. 三、判斷題 （每小題2分，共10分）1. 2. × 3. 4. × 5. 四、計算題（前四題，每小題9分，第五題，15分，共51分）1. 解：由題意知：實部、虛部， （2分）由于為解析函數(shù)，故有 （2分） 即 （3分）解得m=1，n=-3，l=-3 （2分）2. 解：由z-3=0，得奇點為z=3（3分）此時不在C的環(huán)域內(nèi)，由柯西基本定理（3分）知 （3分）3. 解： （3分） （3分） （3分） 4. 解：函數(shù)在的外部，除點外沒有其他奇點，因此根據(jù)定理二與規(guī)則四有： （3分）（3分） （3分）5. 解：方程兩邊取拉氏變換，得 （2分）解出（3分） （3

9、分） （2分） 因此，原方程的解（5分）第三套一、填空題（每空2分，共20分）1復(fù)數(shù)的實部為 1 ，虛部為 2 及其共軛復(fù)數(shù)為 3 .2已知是解析函數(shù)，其中，則 4 .3設(shè)C為正向圓周,則= 5 .4冪級數(shù)的收斂半徑為 6 .5是的奇點，其類型為 7 .6設(shè)，則 8 .7函數(shù)的傅里葉變換為 9 .8函數(shù) 的拉普拉斯逆變換為 10 .二、選擇題（每小題2分，共20分）1復(fù)數(shù)的輻角為（ ） AB- CD2方程所表示的平面曲線為（ ） A圓 B直線 C橢圓 D雙曲線3在復(fù)平面上，下列關(guān)于正弦函數(shù)的命題中，錯誤的是（ ）A是周期函數(shù) B是解析函數(shù)C D 4設(shè)C為正向圓周，則=（ ）A BC D15在拉

10、氏變換中，函數(shù)與的卷積，為（ ）A B C D6冪級數(shù)的收斂區(qū)域為（ ） A B C D7設(shè)的羅朗級數(shù)展開式為，則它的收斂圓環(huán)域為（ ）A或B或CD8是函數(shù)的（ ） A一階極點B可去奇點 C一階零點D本性奇點9（ ）A B-1C D110的傅里葉變換為（ ） A1 B C D三、計算題（每小題8分，共24分）1 已知，求，。2 計算積分，取正向。3 求函數(shù)在孤立奇點處的留數(shù)。四、綜合題（共36分）1設(shè)，問在何處可導(dǎo)？何處解析？并在可導(dǎo)處求出導(dǎo)數(shù)值。（8分）2 將函數(shù)分別在與圓環(huán)域內(nèi)展開為羅倫級數(shù)。（10分）3 求余弦函數(shù)的傅里葉變換。（8分）4用Laplace變換求解常微分方程。（10分） 第

11、三套1、 填空題1 , , ；2；30；41；5可去奇點；6-1；71；8二、選擇題B D C B D，B A B C C3、 計算題 (每題5分，共20分)1、 解：（1）因為不在曲線C：內(nèi) 所以根據(jù)柯西定理得： （2分）（2）已知在曲線C：內(nèi)，由柯西積分公式得： （3分）（3）由高階導(dǎo)數(shù)公式得： （3分）2、解：設(shè)在曲線C內(nèi)除之外處處解析， （2分） 又因為是的一階極點，根據(jù)留數(shù)定理得：， （4分） （2分）3、解：由得：和都是的孤立奇點，并且是一階極點， （2分） （3分） （3分）四、綜合題 1解： （4分）均連續(xù)，要滿足條件，必須要成立 即僅當(dāng)和時才成立，所以函數(shù)處處不解析； （2分

12、） （2分） 2解： （5分） （5分） 3 解： （8分） 4解：在方程兩邊取拉氏變換，并用初始條件得即 故 -裝-訂-線-黃山學(xué)院 學(xué)年度第 學(xué)期工程數(shù)學(xué)( 本 科)期末試卷 (時間120分鐘) 試卷編號: 院(系) 班 姓名 學(xué)號 得分 一、填空題（每空1分，共20分）1復(fù)數(shù)的實部為 1 ，虛部為 2 及其共軛復(fù)數(shù)為 3 .2已知是解析函數(shù)，其中，則 4 .3設(shè)C為正向圓周,則 5 .4設(shè)，則冪級數(shù)的收斂半徑為_ 6_.5是的奇點，其類型為 7 .6設(shè)，則 8 .7函數(shù)的傅里葉變換為 9 .8函數(shù) 的拉普拉斯逆變換為 10 .二、選擇題（每小題2分，共20分）1復(fù)數(shù)的三角表示式為（ ）

13、AB CD2在下列復(fù)數(shù)中，使得成立的是（ ）A BC D3設(shè)，解析函數(shù)的虛部為，則的實部可取為（）ABCD4設(shè)為從到的直線段，則（） A B C D5復(fù)數(shù)列的極限為（）A-1 B0 C1 D不存在 6以為本性奇點的函數(shù)是（ ）ABCD7設(shè)的羅朗級數(shù)展開式為，則它的收斂圓環(huán)域為（ ）A或B或C D8設(shè)函數(shù)，則（）A0 B C D9的傅里葉變換為（ ） A1 B C D10在拉氏變換中，函數(shù)與的卷積，為（ ） A B C D三、計算題（每題8分，共24分）1，求2 計算積分，取正向。 3求函數(shù)在孤立奇點處的留數(shù)。 四、綜合題（共36分）1設(shè)a、b是實數(shù)，函數(shù)在復(fù)平面解析，則分別求a、b之值，并求.

14、（8分）2將在處展成羅倫級數(shù)。（10分）3求余弦函數(shù)的傅里葉變換。（8分）4用拉普拉斯變換求解常微分方程：（10分）黃山學(xué)院 學(xué)年度第 學(xué)期工程數(shù)學(xué)( 本 科)期末試卷 (答案)一、填空題，；0；可去奇點；-1；1；二、選擇題C B B A D，D A A C D三、計算題 1、，求解：因在復(fù)平面上處處解析由柯西積分公式知，在內(nèi)， （4分）所以 （2分）而點 在內(nèi)，故 （2分）2、解：設(shè)在曲線C內(nèi)除之外處處解析， （2分） 又因為是的一階極點，根據(jù)留數(shù)定理得：， （4分） （2分）3、解：由得：和都是的孤立奇點，并且是一階極點， （2分） （3分） （3分）四、綜合題 1解：是復(fù)平面上的解析函

15、數(shù)，則在平面上滿足CR方程，即：故 對 成立， （4分） （4分）2解：在復(fù)平面有孤立奇異點與，（1）時， （2分）（2） 時 （3分）（3） 時 （3分）（4） 時 （2分）3 解： （8分）4解：令 ，對方程兩邊求拉氏變換得： （4分） （3分） （3分）-裝-訂-線-黃山學(xué)院 學(xué)年度第 學(xué)期工程數(shù)學(xué)( 本 科)期末試卷 (時間120分鐘) 試卷編號: 院(系) 班 姓名 學(xué)號 得分 一、判斷題（每小題2分，共10分）1. 。 （ ）2.實部與虛部滿足柯西黎曼方程的復(fù)變函數(shù)是解析函數(shù)。 （ ）3.冪級數(shù)的和在收斂圓的內(nèi)部是一個解析函數(shù)。 （ ）4. 分式線性函數(shù)具有保形性、保對稱點性以及保

16、圓性。 （ ）5. 單位脈沖函數(shù)是偶函數(shù)。 （ ）二、填空題（每空2分，共20分）1.的復(fù)指數(shù)形式為 1 ，三角表示式為 2 。2. 3 。3.的冪級數(shù)展開式為 4 ，收斂域為 5 。4. 根據(jù)洛朗級數(shù)展開式中主要部分的系數(shù)取零值的不同情況，將函數(shù)的孤立奇點分為三類： 6 、 7 、 8 。5.分式線性映射在處的旋轉(zhuǎn)角為 9 ，伸縮率為 10 。三、證明題(共20分) 1、設(shè)，證明：函數(shù)為實值函數(shù)的充要條件為.（14分）2、若，則（6分）四、計算題（每題10分，共50分）1. 計算下列各積分的值：（1）（5分）（2）（5分）2. 求解析函數(shù)，已知。3. 用拉氏變換求解微分方程組。4. 求出函數(shù)在孤立奇點處的留數(shù)。5.求一共形映射，使區(qū)域映射為單位圓內(nèi)部。-裝-訂-線-黃山學(xué)院 學(xué)年度第 學(xué)期工程數(shù)學(xué)( 本 科)期末試卷 (時間120分鐘) 試卷編號: 院(系) 班 姓名 學(xué)號 得分 一、判斷題（每小題2分，共10分）1. × 2. × 3. 4. 5. 二、填空題（每空2分，共20分）1 2 3 4 5 6 可去奇點 7 極點 8 本性奇點 9 10 三、證明題(共20分) 1、證：（1）必要性（1分）：若函數(shù)為實值函數(shù)，由（1分）有（2）充分性（1分）：若，由（1分）有即函數(shù)為實值函數(shù)。2、證：四、