附 梁的彎曲與圓柱的扭曲

1、附： 梁的彎曲與圓柱的扭曲 a b G 圖6.7，梁的中間層沒有被壓縮，梁中間層之上的各層面，將發(fā)生不同程度的擠壓；而梁中間層之下的各層面，將發(fā)生不同程度的拉伸。 除了拉伸壓縮和剪切形變之外，連續(xù)彈性介質(zhì)體內(nèi)還會發(fā)生兩種形變，一種是彎曲，另一種是扭曲。為了討論方便，我們以方形的梁為彎曲的例子，以圓柱來討論扭曲。 10、梁的彎曲 R dz z 圖6.8，考慮距中間層為厚為的一層。 如圖6.7，考慮一兩端有支撐的方形梁。如果梁的中部有負載時，梁將發(fā)生彎曲。將橫梁分成不同的層面，則梁彎曲后，梁的中間層將沒有被拉伸和壓縮；梁中間層之上的各層面，將發(fā)生不同程度的擠壓；而梁中間層之下的各層面，將發(fā)生不同程

2、度的拉伸。由此可見，梁的彎曲，是由不同程度的拉伸和擠壓組成的。 如果梁的長為、寬為、厚為，梁彎曲后形成弧角為、半徑為的圓弧，則考慮距中間層為厚為的一層(如圖6.8)，其長度將變?yōu)?相應(yīng)地，該層的形變量就為 R F Z F/ 圖6.9，內(nèi)力對中間層的力矩。 其應(yīng)變就為 E (6.3.1) 現(xiàn)在考慮該層所受到的正應(yīng)力s，這正應(yīng)力沿該層圓弧的切向。由胡克定律，應(yīng)有 sE (6.3.2)而該層的橫截面寬為，厚為，面積就為，作用在該橫截面上相應(yīng)的總內(nèi)力就。而該梁層上的內(nèi)力對中間層的力矩就為 注意到中間層之上各層的內(nèi)力是擠壓性的，中間層之下各層的內(nèi)力是拉伸性的。它們對中間層的力矩由于對稱性，大小相同，方向

3、也相同。故將(2)式代入并對各層求和積分，就得到總的內(nèi)力對中間層的力矩 (6.3.3)橫梁彎曲平衡時，外力矩與內(nèi)力矩大小相等，方向相反。故 (6.3.4)所以，橫梁彎曲平衡時，橫梁彎曲的曲率就為 k (6.3.5) Q y Q a b o x x G 圖6.10，梁的中間層沒有被壓縮，梁中間層之上的各層面，將發(fā)生不同程度的擠壓；而梁中間層之下的各層面，將發(fā)生不同程度的拉伸。 顯然，由于中間層無拉伸與壓縮。因此，中間層無正應(yīng)力。考慮到這一點，一般在工程上，作為鋼梁，會采用工字鋼或空心鋼管。又考慮到橫梁上部各層的內(nèi)力是擠壓性的，下部各層的內(nèi)力是拉伸性的，所以對鋼筋混凝土橫梁，底層會多用鋼筋，以利用

4、鋼筋的抗拉能力；而上層會少用鋼筋，多用水泥，以利用混凝土的抗壓能力。 下面我們考慮如圖6.10橫梁中部壓有重物G時，如何計算梁中部的擾度。建立坐標系如圖，曲梁中性層曲線在x點處的曲率為 (6.3.6)在橫梁彎曲微小的情況下，從而 (6.3.7)在梁平衡時，考慮從x到右端支點一段橫梁的受力，左端面受如圖6.9內(nèi)力偶()的作用，右端受支撐力Q的作用。內(nèi)外力矩平衡，有 (6.3.8)既有 (6.3.9)注意到橫梁彎曲微小的情況下，支點處橫梁所受的支撐反力Q可看成是豎直向上的。由于對稱性，應(yīng)有Q = G/2?，F(xiàn)對x積分，并由邊界條件，定出積分常數(shù)，就得到 (6.3.10)將代入，就得到右端點的y值，也

5、就是橫梁中點的撓度，即 （6.3.11）這樣，只要測到橫梁的撓度，就能得到橫梁材料的楊氏模量。dr dr r 放大 l 圖6.11，在放大的截面上，任意一條矢徑都會被扭轉(zhuǎn)一個角度，而半徑為r、寬dr的圓環(huán)，則整體扭轉(zhuǎn)了r. 20、圓柱的扭曲 對于半徑為的圓柱，如果一端固定，另一端在外力作用下轉(zhuǎn)動時，則外力對中心軸線就有一個扭力矩的作用。此時，圓柱會發(fā)生扭曲形變。若把圓柱分為一層層橫截層面，則每一層都作了切變。假設(shè)在受力一端的橫截面上，任意一條矢徑都會被扭轉(zhuǎn)一個角度(如圖6.11)。而在這橫截面上，取半徑為寬為的圓環(huán)。在微小形變的情況下，環(huán)上某點處將由于扭曲而偏移了的距離。若圓柱的長度為，則環(huán)上該點處的切應(yīng)變就為 y (6.3.12)若假設(shè)該點處的切應(yīng)力設(shè)為t，由胡克定律可有 ty而整個環(huán)上的內(nèi)力對中心軸線的力矩就為 t×2p對柱的整個橫截面積分，就得到整個橫截面的內(nèi)力矩 扭曲到達平衡時，內(nèi)力矩與外力矩大小相等，即有 (6.3.13) 圖6.12，長為l的金屬絲，下懸一水平的金屬棒，可作扭擺。 如果圓柱為一細長的金屬絲(桿)，下懸一轉(zhuǎn)動慣量為I的水平金屬棒，這就可以構(gòu)成卡文迪許扭秤，也可以是扭擺。作為扭擺，其運動微分方程為 （6.3.14）取 (6.3.15)則扭擺的周期為 （6.3.16） 又若金屬絲（桿）下懸轉(zhuǎn)動慣量為I