自主均流控制的并聯(lián)Buck變換器穩(wěn)定性分析

1、第28卷第15期中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)V ol.28 No.15 May 25, 20082008年5月25日 Proceedings of the CSEE ©2008 Chin.Soc.for Elec.Eng. 7 文章編號(hào):0258-8013 (2008 15-0007-09 中圖分類號(hào):TM 46 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 學(xué)科分類號(hào):47040自主均流控制的并聯(lián)Buck變換器穩(wěn)定性分析李明, 戴棟, 馬西奎, 李勝男(電力設(shè)備電氣絕緣國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(西安交通大學(xué),陜西省西安市 710049Stability Analysis of Paralleled Buck Converters U

2、nder Automatic Master ControlLI Ming, DAI Dong, MA Xi-kui, LI Sheng-nan(State Key Lab of Electrical Insulation and Power Equipment(Xian Jiaotong University, Xian 710049, Shaanxi Province, ChinaABSTRACT: The stability of paralleled Buck converters was studied under automatic master control. Some phen

3、omena including failure of current-sharing, low-frequency oscillation and rise of output voltage were observed in the numerical simulations which were based on the accurate state equations. An improved discrete-time modeling approach is proposed and further used to derive the systems discrete-time i

4、terative map. Thanks to simulation results, the stability of the system was analyzed, and the Hopf bifurcation nature of low-frequency oscillation was discovered. Finally, the stability boundary was given and the effect of current-sharing loop on systems performance was also discussed.KEY WORDS:para

5、lleled converters; current sharing; automatic master control; low-frequency oscillation; discrete-time map摘要:研究基于自主均流法并聯(lián)Buck變換器的穩(wěn)定性問(wèn)題。基于系統(tǒng)精確的狀態(tài)方程,數(shù)值仿真觀察系統(tǒng)隨參數(shù)變化時(shí)呈現(xiàn)的均流失敗、低頻振蕩以及輸出電壓上浮等現(xiàn)象。使用一種改進(jìn)的離散建模方法得到系統(tǒng)的映射模型,并結(jié)合仿真結(jié)果對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析,揭示了低頻振蕩的Hopf分岔本質(zhì)。最后給出系統(tǒng)的穩(wěn)定性邊界,討論了均流環(huán)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。關(guān)鍵詞:并聯(lián)變換器;均流;自主均流法;低頻振蕩;離散映射0

6、 引言在可靠性要求較高的應(yīng)用中,通常采用電源并聯(lián)工作方式向負(fù)載供電。相對(duì)單個(gè)大功率的集中式電源而言,并聯(lián)電源系統(tǒng)具有大容量、高效率、高基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(50577047;教育部高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助課題(20050698004。Project Supported by National Natural Science Foundation of China (50577047.可靠性、冗余特性、模塊化以及低成本等優(yōu)點(diǎn)1-5。然而,在實(shí)際應(yīng)用中,由于各個(gè)模塊的參數(shù)不可能完全一致,會(huì)使得各個(gè)模塊承擔(dān)的輸出功率不均勻。如不采取措施,可能會(huì)導(dǎo)致某個(gè)或某些模塊承受較大的電流應(yīng)力

7、,引起該模塊甚至整個(gè)系統(tǒng)的故障。因此,必須對(duì)并聯(lián)運(yùn)行的電源系統(tǒng)施加均流(current sharing控制,以使得各個(gè)模塊均勻地承擔(dān)負(fù)載功率。目前,均流方法大致可以分為兩大類2:外特性下垂法(droop method和動(dòng)態(tài)均流法(active current sharing method。其中,動(dòng)態(tài)均流法中的自主均流法(又稱最大電流自動(dòng)均流法3已成為實(shí)際中最為廣泛使用的一種均流方案,并且已有專用集成電路產(chǎn)品,如UC3907。在并聯(lián)電源系統(tǒng)中,由均流控制而引入的均流環(huán)會(huì)與原有的電壓環(huán)互相作用,從而影響系統(tǒng)性能,甚至引起系統(tǒng)不穩(wěn)定。目前,關(guān)于并聯(lián)DC-DC 變換器的建模與分析主要是從頻域角度出發(fā),

8、由系統(tǒng)小信號(hào)模型推導(dǎo)出一系列的傳遞函數(shù)。在研究系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí),可由小信號(hào)模型得到冗長(zhǎng)的閉環(huán)增益?zhèn)鬟f函數(shù)3,4,但其分析較為復(fù)雜,往往只能給出一些定性的結(jié)論。盡管這些結(jié)論對(duì)工程設(shè)計(jì)有一定的指導(dǎo)意義,但是其物理機(jī)理不清晰,影響了對(duì)該類系統(tǒng)的深入理解。另外,對(duì)于并聯(lián)DC-DC變換器在均流環(huán)影響下的穩(wěn)定性問(wèn)題,至今仍然缺乏比較深入、系統(tǒng)的研究。近年來(lái),電力電子系統(tǒng)中的復(fù)雜行為研究揭示出DC-DC變換器中存在著豐富的分岔行為5-9。同時(shí),對(duì)分岔行為的研究還進(jìn)一步地延伸到了并聯(lián)DC-DC變換器。2000年,Iu和Tse最早報(bào)導(dǎo)了并聯(lián)Buck變換器在主從均流控制下的倍周期分岔現(xiàn)象,并采用離散映射模型討論了系統(tǒng)

9、的穩(wěn)定性10。8 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)第28卷2001年,Iu等報(bào)導(dǎo)了主從均流控制下并聯(lián)Boost變換器中的Neimark-Sacker分岔,并使用離散映射模型進(jìn)行了分析11。2003年,Iu等又使用平均模型研究了主從均流控制下并聯(lián)Boost變換器中的Hopf分岔現(xiàn)象12。同年,Mazumder等基于獨(dú)立運(yùn)行的DC-DC變換器離散建模方法13,用一個(gè)統(tǒng)一的離散映射模型研究了N 個(gè)DC-DC變換器并聯(lián)時(shí)的穩(wěn)定性問(wèn)題14。2005年,陳明亮和馬偉明使用二階離散映射模型研究了多級(jí)并聯(lián)電流反饋型Boost變換器中的倍周期分岔和混沌現(xiàn)象15。這些研究結(jié)果在一定程度上揭示了并聯(lián)DC-DC變換器中的各種非線性現(xiàn)

10、象,但也存在著一些問(wèn)題。例如,文獻(xiàn)10-12中所研究模型的控制環(huán)節(jié)采用了簡(jiǎn)單的比例控制,而實(shí)際應(yīng)用中通常使用PI或PID控制。還有,文獻(xiàn)14中的統(tǒng)一離散映射模型方法是建立在系數(shù)矩陣可逆的基礎(chǔ)上。而當(dāng)使用PI等控制方法時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣不可逆,這將導(dǎo)致文獻(xiàn)14的統(tǒng)一建模方法失效。另外,以往的研究只關(guān)注非線性現(xiàn)象本身,對(duì)均流環(huán)和電壓環(huán)之間的相互作用及其對(duì)系統(tǒng)性能的影響還沒(méi)有開展深入的研究。并聯(lián)DC-DC變換器存在著由均流環(huán)引起的模塊間的相互耦合作用,是一個(gè)比獨(dú)立工作DC-DC變換器更加復(fù)雜的強(qiáng)非線性系統(tǒng)。本文旨在使用非線性動(dòng)力學(xué)方法研究該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為使工作更有實(shí)際意義,本文研究的模型為

11、自主均流控制下的并聯(lián)Buck變換器,且Buck變換器的電壓環(huán)采用PI反饋控制。首先,通過(guò)數(shù)值仿真觀察了基于自主均流法并聯(lián)Buck變換器中的低頻振蕩和輸出電壓上浮現(xiàn)象。然后,基于文獻(xiàn)13提出了一種改進(jìn)的建模方法,以解決系統(tǒng)狀態(tài)方程系數(shù)矩陣的不可逆問(wèn)題,得到了系統(tǒng)的離散映射模型,并結(jié)合仿真結(jié)果對(duì)系統(tǒng)周期1工作狀態(tài)的穩(wěn)定性進(jìn)行了理論分析,揭示了低頻振蕩現(xiàn)象的Hopf分岔本質(zhì)。最后,還討論了均流環(huán)對(duì)穩(wěn)定性邊界的影響以及占空比隨電路參數(shù)變化的趨勢(shì)。1 電路工作原理與狀態(tài)方程1.1 工作原理圖1給出了基于自主均流法兩個(gè)并聯(lián)電壓型Buck變換器的電路圖。這里,我們只考慮兩個(gè)Buck變換器鋸齒波信號(hào)同步的情形

12、。驅(qū)動(dòng)開關(guān)S j (j=1或2的PWM脈沖信號(hào)由控制信號(hào)u j與鋸齒波信號(hào)u ramp比較產(chǎn)生。鋸齒波信號(hào)u ramp可表示為ramp(/mod1 L Uu U U t T=+(1 式中U L和U U分別是鋸齒波信號(hào)的下限和上限,T 是鋸齒波信號(hào)的周期(即開關(guān)周期。當(dāng)u j> u ramp時(shí),開關(guān)S j閉合;反之,開關(guān)S j關(guān)斷?？刂菩盘?hào)u j可由輸出電壓反饋得到。這里,電壓反饋環(huán)節(jié)包括分壓電阻網(wǎng)絡(luò)/(1/5y x yR R R+=(2 和實(shí)際應(yīng)用中最常見(jiàn)的PI反饋控制,其傳遞函數(shù)為(11/(fA s k s=+(3 其中,k=R z/ R x和f =R z C z分別是PI控制器的直流

13、增益和時(shí)間常數(shù)。以上介紹的是Buck變換器獨(dú)立工作時(shí)的控制方法。當(dāng)兩個(gè)Buck變換器并聯(lián)時(shí),兩個(gè)模塊容易出現(xiàn)參數(shù)不一致的情況(本文研究電感L1和L2存在差異時(shí)的系統(tǒng),為了實(shí)現(xiàn)均流目的,需要在電壓反饋的基礎(chǔ)上引入均流控制環(huán)節(jié)。顯然,均流環(huán)的引入一方面要求各個(gè)模塊在參數(shù)不一致時(shí)仍然能夠?qū)崿F(xiàn)均流,另一方面則要求不破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。下面介紹本文所采用的自主均流法。 xxyy圖1電路原理圖Fig.1 Circuit diagram如圖1所示,電感電流i1和i2進(jìn)行比較,均流母線電壓正比于其中較大的電流值,該電流對(duì)應(yīng)的Buck變換器即為主模塊,另一Buck變換器則為從模塊。對(duì)于主模塊,其參考電壓保持不變。

14、而對(duì)從模塊,則將主從模塊間電感電流之差乘以比例系數(shù)后疊加到原來(lái)的參考電壓U ref上。所以,當(dāng)i1>i2時(shí),ref1refref2ref cs12(U UU U k i i=+(4 當(dāng)i1i2時(shí),ref1ref cs21ref2ref(U U k i iU U=+=(5第15期 李 明等: 自主均流控制的并聯(lián)Buck 變換器穩(wěn)定性分析 9式中:U ref1 和U ref2 分別為模塊1和2在自主均流法下的參考電壓;k cs 為均流環(huán)中電流放大器的增益。 實(shí)現(xiàn)均流后,i 1和i 2雖然瞬時(shí)值不同,但其平均值卻相同,整個(gè)并聯(lián)系統(tǒng)表現(xiàn)出逐脈動(dòng)(pulse-by-pulse 的工作特征,即在一個(gè)

15、開關(guān)周期內(nèi)兩個(gè)模塊會(huì)輪流作為主模塊。 1.2 狀態(tài)方程當(dāng)Buck 變換器工作于電流連續(xù)模式時(shí),主開關(guān)S j 和二極管D j 以互補(bǔ)的方式工作,即S j 閉合,D j 截止;或S j 關(guān)斷,D j 導(dǎo)通。根據(jù)開關(guān)器件的狀態(tài)和兩個(gè)模塊輪流作為主模塊的情況,并聯(lián)系統(tǒng)在一個(gè)開關(guān)周期內(nèi)會(huì)出現(xiàn)如圖2所示6種可能的拓?fù)?。圖中,m j T 表示改變主模塊的時(shí)刻,d j T 表示主開關(guān)關(guān)斷的時(shí)刻。表1則給出了各種拓?fù)湎轮鏖_關(guān)S j 和二極管D j 的狀態(tài)。需要指出的是,當(dāng)兩個(gè)電感的ESR 相等時(shí),兩個(gè)模塊會(huì)同時(shí)關(guān)斷11,狀態(tài)C 和C 不會(huì)出現(xiàn)。根據(jù)不同開關(guān)狀態(tài)下的電路拓?fù)?可得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為111211112

16、1222222121222ref 12121cs ref 212cs (d d (d d d d 5d d d d (d d (15(d d 5d d (1d d o o o o oo x z x z o o x z x z s E s u ri i t L s E s u r i i tL u u s i s i t C RC U u u u k t R C t i i i i k k R C t t U u u u i i k k t R C tR C +=+=+=+=+12d d (15(d d i i k t t +(6 式中:s j 1=1表示開關(guān)S j 閉合,s j 1=0則表示開

17、關(guān)S j 關(guān)斷;s j 2=1,表示兩個(gè)模塊運(yùn)行于電流連續(xù)模式;=0表示模塊1為主模塊,=1表示模塊2為主模塊。式(6中開關(guān)變量s 與取不同的值則表示相應(yīng)開關(guān)狀態(tài)下系統(tǒng)的狀態(tài)方程。需要指出的是,當(dāng)并聯(lián)系統(tǒng)正常工作時(shí),在一個(gè)開關(guān)周期內(nèi)狀態(tài)C 和C'不可能同時(shí)出現(xiàn)。因此,正常工作時(shí)一個(gè)開關(guān)周期內(nèi)只有5個(gè)開關(guān)狀態(tài)在互相切換。在本文研究的參數(shù)情況下,系統(tǒng)在一個(gè)開關(guān)周期內(nèi)的開關(guān)狀態(tài)順序?yàn)锳BCDE 。t圖2 系統(tǒng)狀態(tài)切換的規(guī)律示意圖 Fig. 2 Diagram of system states 表1 系統(tǒng)的電路拓?fù)浼捌鋵?duì)應(yīng)的開關(guān)器件狀態(tài) Tab. 1 Circuit topologies an

18、d correspondingstates of switches and diodes狀態(tài)S 1 S 2 D 1 D 2 主模塊 A 閉合 閉合 截止 截止 模塊1 B 閉合 閉合 截止 截止 模塊2 C 關(guān)斷 閉合 導(dǎo)通 截止 模塊2 C 閉合 關(guān)斷 截止 導(dǎo)通 模塊2 D 關(guān)斷 關(guān)斷 導(dǎo)通 導(dǎo)通 模塊2 E關(guān)斷關(guān)斷導(dǎo)通導(dǎo)通模塊12 數(shù)值仿真研究2.1 仿真參數(shù)基于式(6給出的狀態(tài)方程,可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真研究,仿真參數(shù)如表2所示。該系統(tǒng)的設(shè)計(jì)目標(biāo)是使用2個(gè)并聯(lián)的Buck 變換器將25 V 的直流輸入電壓變換為10 V 的直流輸出電壓,因此穩(wěn)態(tài)時(shí)的占空比D = 0.4。另外,從工程應(yīng)用角

19、度來(lái)講,并聯(lián)電源系統(tǒng)的正常工作狀態(tài)不僅指各個(gè)模塊都工作在穩(wěn)定的周期1狀態(tài),同時(shí)還要滿足各個(gè)模塊之間均流的要求。由于PI 反饋環(huán)節(jié)的直流增益k 和均流環(huán)電流放大器的增益k cs 是系統(tǒng)穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的關(guān)鍵參數(shù),因此下面將分別研究改變這兩個(gè)參數(shù)時(shí)系統(tǒng)工作狀態(tài)變化的過(guò)程。表2 數(shù)值仿真采用的電路參數(shù)值Tab. 2 Circuit component values in numerical simulations電路參數(shù)數(shù)值輸入電壓E /V 25模塊1電感L 1/µH ,ESR r 1/ m 220, 1 模塊2電感L 2/µH ,ESR r 2 / m 160, 1輸出電容C/

20、81;F 660 負(fù)載電阻R/ 1 參考電壓U ref / V 2 PI 補(bǔ)償器電阻R z / k 4PI 補(bǔ)償器電容C z / nF 66 鋸齒波下限U L / V , U U / V3, 8鋸波周期T/µs 2010 中 國(guó) 電 機(jī) 工 程 學(xué) 報(bào) 第28卷2.2 以k cs 為分岔參數(shù)(k =0.1時(shí)圖3給出了系統(tǒng)隨k cs 變化時(shí)輸出電壓u o (nT 的分岔圖, 圖中所用的數(shù)據(jù)是根據(jù)cycle-by-cycle 11數(shù)值仿真時(shí)穩(wěn)態(tài)輸出電壓在每個(gè)開關(guān)周期開始時(shí)刻的采樣得到(每個(gè)參數(shù)下有300個(gè)采樣數(shù)據(jù)。可以發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)隨k cs 變化呈現(xiàn)出一種雙向的低頻振蕩現(xiàn)象。即在k cs

21、較小時(shí),系統(tǒng)隨著k cs 增加(約k cs =0.045處發(fā)生低頻振蕩;在k cs 較大時(shí),則隨著k cs 減小(約k cs =0.23處而發(fā)生低頻振蕩。從圖3中可以觀察到,在k cs 較大的區(qū)間,雖然系統(tǒng)工作在周期1狀態(tài),但輸出電壓卻存在上浮現(xiàn)象,且上浮幅度隨k cs 增加而逐漸增大。需要注意的是,均流的效果必須通過(guò)時(shí)域波形圖比較i 1和i 2得到,因此不能由該分岔圖反映出來(lái)。當(dāng)k cs =0.04時(shí),系統(tǒng)處于正常工作狀態(tài)。圖4(a給出了u o ,i 1和i 2的波形圖。此時(shí),輸出電壓u o 為10 V ,并且兩個(gè)模塊的電感電流i 1和i 2的平均值相等(峰峰值較大者為i 2,均流成功。0.

22、0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.59.79.910.1 10.3 u o (n T /Vk cs圖3 k =0.1時(shí)系統(tǒng)隨k cs 變化的u o (nT 分岔圖Fig. 3 Bifurcation diagram of u o (nT for k =0.1 as k cs variesu o /Vi 2 i 1 i 2 i 19.9910.00 10.01 i 2i 1 0 40 80t /µsi /A4.55.05.5 0 40 80t /µs(a k cs =0.040 40 80t /µs u o /V 9.9910.01 i /A4.55.0 5.

23、5 0 40 80t /µs (b k cs =0.000 11.000 1.001 1.003t /µsu o /V10.010.59.5i /A456 i 2 i 1 1.000 1.001 1.003t /µsu o /V10.09 10.10 10.08 10.071.000 1.001 1.00340 80t /µs (c k cs =0.1t /µs (d k cs =0.8圖4 k =0.1時(shí)系統(tǒng)隨k cs 變化的波形圖Fig. 4 Waveforms for k =0.1 as k cs varies減小k cs ,當(dāng)k cs

24、=0.000 1時(shí),系統(tǒng)仍然工作在周期1狀態(tài),但均流效果不好。圖4(b給出了u o ,i 1和i 2的波形圖。可觀察到系統(tǒng)輸出電壓仍維持在10 V ,但兩個(gè)模塊的電感電流i 1和i 2的平均值不同,均流效果較差。從k cs =0.04出發(fā)增大k cs ,當(dāng)k cs =0.1時(shí),系統(tǒng)失去了周期1狀態(tài)的穩(wěn)定性,出現(xiàn)了低頻振蕩現(xiàn)象。圖4(c給出了此時(shí)的u o ,i 1和i 2的波形圖?？梢杂^察到系統(tǒng)輸出電壓振蕩較明顯,不能維持在10V 。同時(shí),兩個(gè)模塊電感電流i 1和i 2亦出現(xiàn)相應(yīng)的振蕩,但其平均值相同,兩個(gè)系統(tǒng)仍保持均流的狀態(tài)。繼續(xù)增大k cs ,當(dāng)k cs =0.8時(shí),系統(tǒng)重新恢復(fù)到了穩(wěn)定的周

25、期1工作狀態(tài)。圖4(d給出了此時(shí)的u o ,i 1和i 2的波形圖。可以觀察到系統(tǒng)輸出電壓超過(guò)了10V ,有一定程度的上浮。兩個(gè)模塊的電感電流i 1和i 2的平均值相等,均流成功。 2.3 以k 為分岔參數(shù)(k cs =0.04時(shí)再觀察PI 補(bǔ)償環(huán)節(jié)的直流增益k 對(duì)系統(tǒng)工作狀態(tài)的影響。選取k cs =0.04,增加k 至k =0.125,系統(tǒng)將失去k =0.1時(shí)的周期1穩(wěn)定狀態(tài),出現(xiàn)低頻振蕩現(xiàn)象。圖5給出了u o ,i 1和i 2的波形圖?？梢园l(fā)現(xiàn),系統(tǒng)輸出電壓在10V 處振蕩,兩個(gè)模塊電感電流i 1和i 2也出現(xiàn)相應(yīng)的振蕩,但其平均值相同,均流成功。i 1i 21.000 1.001 1.0

26、03t /µs u o /V10.010.5 9.51.0001.001 1.003t /µsi /A564圖5 k cs =0.04,k =0.125時(shí)的波形圖 Fig. 5 Waveforms for k cs =0.04 and k =0.125u o (n T /V111210 9 80.020.06 0.10 0.14k圖6 k cs =0.04時(shí)系統(tǒng)隨k 變化的u o (nT 分岔圖 Fig. 6 Bifurcation diagram of u o (nT fork cs =0.04 as k varies第15期 李 明等: 自主均流控制的并聯(lián)Buck 變換

27、器穩(wěn)定性分析 11圖6還給出了系統(tǒng)隨k 變化時(shí)輸出電壓u o (nT 的分岔圖。與圖3相比較,此時(shí)系統(tǒng)隨k 變化呈現(xiàn)的是一種單向的低頻振蕩現(xiàn)象。隨著k 的增加,系統(tǒng)約在k =0.102處發(fā)生低頻振蕩。3 理論分析3.1 離散映射建模文獻(xiàn)13給出了一種統(tǒng)一的離散映射建模方法來(lái)研究DC-DC 變換器中的非線性現(xiàn)象。但是,該方法適用的前提是系統(tǒng)狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣必須可逆。在這里,由于PI 環(huán)節(jié)的使用,式(6展開后的系數(shù)矩陣有兩列元素為0,因而不可逆。本文基于文獻(xiàn)13提出了一種改進(jìn)的離散映射建模方法,其基本思想是,將系統(tǒng)的狀態(tài)方程分割為主電路部分和控制電路部分,分別列寫各自的狀態(tài)方程,再利用這兩個(gè)部分

28、間的線性相關(guān)性將其離散化,最后將離散化結(jié)果合并,得到系統(tǒng)的離散映射模型。系統(tǒng)在每個(gè)開關(guān)周期內(nèi)以ABCDE 的開關(guān)順序切換。參考圖2可知,此時(shí)d 2>d 1 (注意,穩(wěn)態(tài)時(shí)d 2=d 1,狀態(tài)C 不存在。主電路部分的狀態(tài)方程為d /d 1,2,3,4,5i i t x E i =+x A B (7其中,x =i 1 i 2 u o T (上標(biāo)T 表示轉(zhuǎn)置為主電路的狀態(tài)向量;A i 和B i 為相應(yīng)的系數(shù)矩陣,分別為111222/ 0 1/0 / 1/1/ 1/ 1/i r L L r L L C C =A A ,T 1121/ 1/ 0L L =B ,T20 1/ 0L =3B ,T40

29、0 0=B ,21=B B ,54=B B 。這里,RC =。由以上狀態(tài)方程可得到主電路的迭代映射形式為(詳細(xì)推導(dǎo)請(qǐng)見(jiàn)附錄A11112k k E +=+x s x s (8 式中: 11e A s T =11111221222(1(11121(1(12(1(1134e (e e (e e (e e (e m T m T d T d m T d T d d T A m T m d T =+A A A A A A A s I AB I A B I A B I A B 2(115(e m T A I A B令y =u 1 u 2T ,則控制電路部分的狀態(tài)方程為ref d d d d i ci i i

30、 x E U t t=+=+y x M B C N p (9式中:1cs cs 1cs cs 2cs122111 (5(155(151111 (15(f x z x z f k k k C C k k k r k k k r k k k k k R C C L R C C L L L =+M ; cs cs 1cs cs 2cs 121225(155(151111 (15(11 (x z x z f f k k k r k k k r k k k k k R C C L R C C L L L k k k C C +=M ;432=M M M ;51=M M ; 123454T cs 12T

31、cs 21T Tcs 20 (15(1/1/0 (15(1/1/(15/ 0,0 0,c c c c c c k k L L k k L L k k L =+=+=+=B B B B B B ;5/=5/x z x z RC R C C ;1ref i i i i i c i i E U E =+N M A p B C N B 。 由式(9可以發(fā)現(xiàn),控制電路狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)與主電路狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)之間存在著線性關(guān)系。利用這一性質(zhì),可以方便地得到控制電路的迭代映射為(詳細(xì)推導(dǎo)請(qǐng)見(jiàn)附錄A12122k k k E T +=+y s x s y p (10式中:2121545121e (e (e m T

32、m T T =+A A A s N N N N N N 21121112221221(2251245(1112(13(141211(e ( e (e e (e (e ( (e m m T m T m d T d m T m d T d d T m d T m T e =+A A A A A A A A s N s N N I A B I A B I A B I A B N N I A B5242232121111(1( (m m d d d d m m =+p p p p p p若再令X =x y T ,主電路與控制電路對(duì)應(yīng)的離散映射可合并為如下統(tǒng)一形式11122(,k k m d d m +

33、=X f X111221122 00 k E T +s s X s I s p (1112 中 國(guó) 電 機(jī) 工 程 學(xué) 報(bào) 第 28 卷 式中I1是2階單位陣。 另外，每個(gè)開關(guān)周期內(nèi)的4次開關(guān)狀態(tài)轉(zhuǎn)換條 件可表示為 1 = i1 (m1T i2 (m1T = 0 2 = u1 (d1T U L d1 (UU U L = 0 (12 3 = u2 (d 2T U L d 2 (UU U L = 0 4 = i2 (m2T i1 (m2T = 0 3.2 穩(wěn)定性分析 可通 在式(11、(12所給出的離散映射基礎(chǔ)上， 過(guò)求解映射雅可比矩陣在不動(dòng)點(diǎn)處的特征值來(lái)分 析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果所有特征值都位于復(fù)

34、平面的 單位圓內(nèi)，則表明該不動(dòng)點(diǎn)是穩(wěn)定的，即對(duì)應(yīng)著系 統(tǒng)工作在穩(wěn)定的周期1狀態(tài)；如果存在一對(duì)共軛的 特征值隨參數(shù)變化穿出單位圓，則表明系統(tǒng)發(fā)生了 Hopf分岔。 若令 首先，為了簡(jiǎn)化分析，忽略兩個(gè)電感的 ESR。 在穩(wěn)態(tài)時(shí)，有 D1=D2=D。此時(shí)，系統(tǒng)在一個(gè)開關(guān)周 期內(nèi)按 ABDE 的開關(guān)狀態(tài)順序切換，如圖 7 所示。 圖中，i*1 和 i*2 分別為兩個(gè)模塊電感電流開關(guān)周期 開始時(shí)刻的值。因?yàn)榉€(wěn)態(tài)時(shí) i1 和 i2 的平均值相等， 且換主時(shí)(M1T 和 M2T 時(shí)刻i1= i2，再結(jié)合三角形的 幾何特性，可得 M 1 = D 2 ， M 2 = (1 + D 2 (15 A i2 B D

35、E i1 i1* i2* M 1T DT M 2T t T X f = f ( X f , M 1 , D1 , D2 , M 2 (13 Fig. 7 圖 7 電感電流的穩(wěn)態(tài)波形圖 Steady state waveforms of inductor currents 則 Xf 為式(11的不動(dòng)點(diǎn)，M1、D1、D2 和 M2 為不動(dòng) 點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的開關(guān)狀態(tài)切換時(shí)刻。由式(11、(12可推 導(dǎo)出映射的雅可比矩陣為 J ( X f = J 0 J1 s1 J 2 s2 J 3 s3 J 4 s4 | X k = X f (14 m1 = M1 d1 = D1 d 2 = D2 m2 = M 2 最后

36、，還要注意占空比 D 與系統(tǒng)的參數(shù)有關(guān)。 對(duì)模塊 1 中 PI 環(huán)節(jié)的電容應(yīng)用電荷平衡原理16， 可得 (詳細(xì)推導(dǎo)請(qǐng)見(jiàn)附錄 A 1 1 D(1 D = 0 (16 5U ref DE + 5kcsTE ( 8 L2 L1 可以看出，D 的解與 kcs、L1 和 L2 有關(guān)。這說(shuō)明并 聯(lián)模塊電感值的差異以及所使用均流環(huán)的控制參 數(shù)都將會(huì)影響穩(wěn)態(tài)時(shí)的占空比 D。 表 3 和表 4 分別給出了系統(tǒng)隨參數(shù) kcs 和 k 變化 時(shí)雅可比矩陣在不動(dòng)點(diǎn)處特征值的計(jì)算結(jié)果?？梢?看出，發(fā)生分岔的位置分別為 k cs =0.046 、0.2 和 k=0.104,與前面分岔圖觀察的結(jié)果基本上相吻合。 誤差產(chǎn)生的

37、原因是由于計(jì)算雅可比矩陣特征值時(shí) 采用了簡(jiǎn)化的開關(guān)狀態(tài)轉(zhuǎn)換時(shí)刻，且忽略了兩個(gè) 表 3 雅可比矩陣特征值隨參數(shù) kcs 變化的情形 Tab. 3 Eigenvalues of Jacobian as kcs varies kcs 特征值 系統(tǒng)狀態(tài) 周期 1 周期 1 周期 1 周期 1 周期 1 式中： f f f f f ; ; J1 = ; J2 = ; J3 = ; J4 = J0 = X k m1 d1 d 2 m2 1 1 1 s1 = ( m X k 1 2 1 2 2 s1 ( s2 = ( d1 X k m1 。 s = ( 3 1 ( 3 3 s 3 s 1 2 3 d 2 X

38、 k m1 d1 s = ( 4 1 ( 4 4 s 4 s 4 s 1 2 3 4 m2 X k m1 d1 d 2 雖然上面已經(jīng)給出了雅可比矩陣的表達(dá)式，但 是還必須求得映射不動(dòng)點(diǎn) Xf 以及相應(yīng)開關(guān)狀態(tài)切 換時(shí)刻的值。由于式(11中 Xk 的系數(shù)矩陣與 5 階 單位陣的差不可逆，所以無(wú)法通過(guò)解析的方法直接 求取不動(dòng)點(diǎn) Xf 。這里，仍然需要使用數(shù)值仿真的 方法得到不動(dòng)點(diǎn)的解。另外，若使用數(shù)值方法求解 開關(guān)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換時(shí)刻，過(guò)程較繁瑣、復(fù)雜。下面， 利用平均的思想，給出一種簡(jiǎn)單的求解開關(guān)狀態(tài)轉(zhuǎn) 換時(shí)刻的方法。 0.01 0.993 3±0.098 1i，0.995 9±

39、0.013 5i，0.974 7 0.02 0.993 8±0.098 3i，0.9918± 0.013 1i，0974 7 0.03 0.994 4±0.098 6i，0.987 8± 0.021 1i，0.974 7 0.04 0.994 8±0.099 1i，0.983 8± 0.022 8i，0.974 7 0.045 0.995 0±0.099 3i，0.981 8± 0023 4i，0.974 7 0.046 0.995 1±0.099 4i，0.981 0± 0.023 6i，0.

40、974 7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.991 6±0.105 5i，0.974 5± 0.002 0i，0.564 7 0.991 8±0.105 6i，0.974 3± 0.002 0i，0.648 0 0.991 3±0.105 6i，0.974 0± 0.001 7i，0.728 5 0.993 1±0.105 6i，0.973 5± 0.001 3i，0.806 2 Hopf 分岔 周期 1 周期 1 周期 1 周期 1 周期 1 0.23 0.994 0±0.105 2i，0.974

41、5± 0.002 0i，0.859 2 0.20 0.994 5±0.105 0i，0.974 0，0.970 4，0.881 8 Hopf 分岔 第 15 期 李 明等： 自主均流控制的并聯(lián) Buck 變換器穩(wěn)定性分析 0.20 低頻振蕩區(qū)域 L2=110 µH L2=160 µH 13 表 4 雅可比矩陣特征值隨參數(shù) k 增大的情形 Tab. 4 Eigenvalues of Jacobian as k increases k 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 特征值 系統(tǒng)狀態(tài) 周期 1 周期 1 周期 1 周期 1 0.15 L2=

42、200 µH L2=200 µH k kcs 增大 kcs 減小 0.986 6±0.082 4i，0.988 3± 0.004 3i，0.992 9 0.989 3±0.086 6i，0.987 1± 0.012 1i，0.986 9 0.991 5±0.090 8i，0.986 0± 0.016 6i，0.982 1 0.993 3±0.095 0i，0.984 9± 0.020 0i，0.978 0 0.994 8±0.099 1i，0.983 8± 0.022 8i，

43、0.974 6 周期 1 0.10 周期 1 穩(wěn)定區(qū)域 0.05 0.104 0.995 0±0.099 9i，0.983 6± 0.023 3i，0.974 1 Hopf 分岔 0.1 0.3 0.5 kcs 0.7 0.9 模塊電感 ESR 的影響。另外，計(jì)算結(jié)果表明，系統(tǒng) 由穩(wěn)定的周期 1 狀態(tài)而發(fā)生的低頻振蕩本質(zhì)上是 Hopf 分岔。 圖8 L2 取不同值時(shí)系統(tǒng)在 k-kcs 平面上的穩(wěn)定性邊界 Fig. 8 Stability boundaries in the space of k versus kcs for different L2 values 0.416

44、 L2=110 µH 4 均流環(huán)對(duì)系統(tǒng)性能的影響 對(duì)于單個(gè)模塊而言，電壓環(huán)參數(shù) k 是決定其穩(wěn) 定性的一個(gè)重要參數(shù)。當(dāng)模塊并聯(lián)時(shí)，并聯(lián)系統(tǒng)整 體的穩(wěn)定性不僅由各個(gè)模塊電壓環(huán)參數(shù) k 決定，還 與均流環(huán)參數(shù) kcs 有關(guān)?；跀?shù)值仿真，圖 8 給出 了當(dāng)電感 L2 取不同值時(shí)系統(tǒng)在 kkcs 二維參數(shù)平面 上的穩(wěn)定性邊界，如圖所示。周期 1 區(qū)域位于邊界 之下， 低頻振蕩區(qū)域則位于其上。 L2=220 µH 時(shí)， 當(dāng) 兩個(gè)模塊之間參數(shù)完全一致，可以認(rèn)為均流環(huán)不起 作用，系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全由 k 決定。逐漸減小 L2， 由于模塊參數(shù)的差異，均流環(huán)將發(fā)揮其均流控制的 功能。這時(shí)，均

45、流環(huán)對(duì)參數(shù) k 的穩(wěn)定區(qū)間存在如下 兩方面影響：當(dāng) kcs 相對(duì)較大(約 kcs>0.4時(shí)，k 的穩(wěn) 定區(qū)間會(huì)增大；反之，當(dāng) kcs 相對(duì)較小時(shí)，k 的穩(wěn)定 區(qū)間會(huì)減小。并且，均流環(huán)增大或減小參數(shù) k 穩(wěn)定 區(qū)間的效應(yīng)會(huì)隨兩個(gè)模塊電感值差異的增加而愈 加明顯。另外，當(dāng) kcs 相對(duì)較小時(shí)，還可以觀察到 穩(wěn)定性邊界具有“單峰”幾何特征。這將使得系統(tǒng) 穩(wěn)定性隨參數(shù) kcs 的變化具有“非單調(diào)”的特點(diǎn)。 例如，在圖 8 中，令 k=0.1、L2=160 µH，系統(tǒng)隨 kcs 的增大或減小都會(huì)由不穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)域，從 而呈現(xiàn)出一種雙向的 Hopf 分岔現(xiàn)象。這也與前面 仿真研究的結(jié)

46、果一致。 均流環(huán)不僅會(huì)影響并聯(lián)系統(tǒng)的穩(wěn)定性邊界，還 會(huì)影響并聯(lián)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)。由式(16可知，當(dāng) 兩個(gè)模塊的電感相同時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的占空比 D 為 0.4，輸出電壓為 10 V。當(dāng)兩個(gè)模塊的電感存在差 異時(shí)，其差值和電流環(huán)參數(shù) kcs 都會(huì)影響占空比 D。 圖 9 給出了 L2 取不同值時(shí)占空比 D 隨 kcs 變化的結(jié) 果。可以看出，兩個(gè)電感的差值和 kcs 越大，占空 比 D 也越大， 即意味著穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出電壓上浮現(xiàn)象越 嚴(yán)重。結(jié)合圖 1 和圖 7，可以發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生電壓上浮現(xiàn) D 0.412 0.408 0.404 L2=200 µH L2=160 µH 0.400 0.2

47、0.4 0.6 kcs 0.8 1.0 圖 9 占空比 D 在 L2 取不同值時(shí)隨 kcs 的變化 Fig. 9 Variation of D as L2 and kcs change 象的根本原因在于均流環(huán)所采用的自主均流控制 策略。穩(wěn)態(tài)時(shí)，自主均流控制動(dòng)作，每個(gè)開關(guān)周期 內(nèi)代表兩個(gè)電感電流之差的分量|kcs(i1i2|>0 將交 替疊加在兩個(gè)模塊的參考電壓 Uref 上，使得兩個(gè)模 塊的等效參考電壓 Uref1 和 Uref2 的平均值大于 Uref。 因此，系統(tǒng)實(shí)際的輸出電壓大于參考電壓為 Uref 時(shí) 的輸出電壓?？梢?jiàn)，只要采用自主均流法，電壓上 浮現(xiàn)象就不可避免。 在實(shí)際應(yīng)用中

48、， 必須考慮式(16 將上浮電壓限制在可以接受的范圍之內(nèi)。 5 PSPICE 仿真驗(yàn)證 本節(jié)基于 PSPICE 仿真軟件驗(yàn)證前面基于精確 狀態(tài)方 程的 數(shù)值仿 真結(jié) 果。圖 10 給出了 基于 PSPICE9.2 得到的時(shí)域波形圖。5 幅圖仿真時(shí)所用 的電路參數(shù)分別與圖 4(a(d和圖 5(a相同?？梢?10.05 uo/V 10.00 9.92 200.00 5.5 i1 i/A 5.0 4.5 200.00 i2 200.04 t/ms (a kcs=0.04 200.08 200.04 t/ms 200.08 14 10.00 uo/V 9.99 9.98 50.00 6.0 i1 i/

49、A 5.0 4.0 50.00 i2 50.04 t/ms (b kcs=0.000 1 10.15 uo/V 10.10 10.05 50 6.0 i/A 5.0 i2 4.0 50 51 52 t/ms (c kcs=0.1 53 i1 51 52 t/ms 53 中 國(guó) 電 機(jī) 工 程 學(xué) 報(bào) 第 28 卷 6 結(jié)論和討論 本文采用仿真和理論分析相結(jié)合的方法，研究 了基于自主均流法的并聯(lián)型 Buck 變換器的穩(wěn)定性 問(wèn)題。由仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，均流環(huán)參數(shù)設(shè)計(jì)的不 合理會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)均流失敗、低頻振蕩以及輸出 電壓上浮等現(xiàn)象。理論分析表明，并聯(lián)系統(tǒng)中的低 頻振蕩現(xiàn)象其實(shí)是系統(tǒng)發(fā)生了 Hopf

50、 分岔。進(jìn)一步 地研究表明，均流環(huán)影響下的系統(tǒng)周期 1 穩(wěn)定性邊 界具有一種“非單調(diào)”變化的特征，從而使系統(tǒng)會(huì) 呈現(xiàn)雙向的 Hopf 分岔現(xiàn)象。另外，理論分析還表 明自主均流控制策略會(huì)改變并聯(lián)系統(tǒng)中各個(gè)模塊 電壓環(huán)的等效參考電壓，從而導(dǎo)致系統(tǒng)正常工作時(shí) 輸出電壓上浮。總之，本文的研究對(duì)更好地理解和 設(shè)計(jì)并聯(lián) DC-DC 變換器系統(tǒng)具有一定的理論價(jià)值 和實(shí)際意義。 在本文的研究中，觀察到的是具有低頻特征的 Hopf 分岔。 從理論上講， 存在著一個(gè)相應(yīng)的連續(xù)時(shí) 間平均模型，可以用來(lái)描述系統(tǒng)發(fā)生 Hopf 分岔的 過(guò)程。曾嘗試推導(dǎo)該平均模型，但其結(jié)果與數(shù)值仿 真結(jié)果差異較大。原因在于并聯(lián)系統(tǒng)工作過(guò)

51、程相對(duì) 復(fù)雜，每個(gè)模塊的電壓環(huán)由于均流環(huán)的作用始終受 到一個(gè)開關(guān)頻率尺度上(電感電流誤差量的擾動(dòng)。 由于平均模型的基本思想是忽略所有開關(guān)頻率尺 度上的過(guò)程，只保留系統(tǒng)的低頻特征，所以如何建 立并聯(lián)系統(tǒng)的比較準(zhǔn)確的平均模型依然是一個(gè)難 點(diǎn)，仍需進(jìn)一步的研究。 50.04 t/ms 50.08 50.08 54 54 10.15 uo/V 10.10 10.05 200.00 5.5 i1 i2 4.5 200.00 200.04 t/ms (d kcs=0.8 200.08 200.04 t/ms 200.08 i/A 5.0 10.05 uo/V 10.00 9.50 50 6.25 i/A

52、5.00 300 50 i2 51 52 53 t/ms (e kcs=0.04，kcs=0.125 54 51 52 t/ms 53 54 參考文獻(xiàn) 1 Zhou X， P， F C novel current-sharing control technique for Xu Lee A low-voltage high-current voltage regulator module applications JIEEE TransPower Electronics，2000，15 (6：1153-1162 2 Luo S，Ye Z，Lee F CA classification and

53、evaluation of paralleling methods for power supply modulesCIEEE PESC，South Carolina， USA，1999 3 Musavi F，Al-Haddad K，Kanaan H YA large signal averaged modeling and control of paralleled DC/DC converters with automatic load sharingCIEEE APEC，Texas，USA，2005 4 Lopez M， Vicuna L C， de Castilla M， al et

54、Current distribution control design for paralleled DC/DC converters using sliding-mode control JIEEE TransIndustrial Electronics，2004，51 (2：419-428 5 Tse C KComplex behavior of switching power convertersMBoca Raton：CRC Press，2003 6 張波，李萍，齊群DC/DC 變換器分叉和混沌現(xiàn)象的建模和分析 方法J中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2002，22(11：81-86 Zhang Bo

55、，Li Ping，Qi QunMethod for analyzing and modeling bifurcation and chaos in DC/DC convertersJProceedings of the CSEE，2002，22(11：81-86(in Chinese 7 張波，曲穎Buck DC/DC 變換器分叉和混沌的精確離散模型及實(shí) i1 圖 10 基于 PSPICE 的電路仿真波形圖 Fig. 10 Waveforms of PSPICE simulations 看出，基于 PSPICE 的電路仿真結(jié)果與基于狀態(tài)方 程的數(shù)值仿真結(jié)果基本上相吻合。在某些圖中，狀 態(tài)變量的

56、具體數(shù)值與數(shù)值仿真結(jié)果稍有差異，其原 因主要是 PSPICE 仿真考慮了實(shí)際的因素,例如主開 關(guān)管含有導(dǎo)通阻抗，電路含有采樣電阻等，而數(shù)值 仿真則完全忽略了這些因素。 第 15 期 李 明等： 自主均流控制的并聯(lián) Buck 變換器穩(wěn)定性分析 （2）關(guān)于控制電路離散映射式(10的推導(dǎo)。 15 驗(yàn)研究J中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2003，23(12：99-103 Zhang Bo， Ying Qu Study of the experimental and the precise discrete model of bifurcation and chaos for Buck DC/DC converte

57、r JProceedings of the CSEE，2003，23(12：99-103(in Chinese 8 周宇飛，丘水生，陳軍寧滯環(huán)電流模式控制的 Cuk 變換器的非 線性現(xiàn)象研究J中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2004，24(3：96-101 Zhou Yufei，Qiu Shuisheng，Chen JunningNonlinear phenomena in hysteretic current-controlled Cuk convertersJProceedings of the CSEE，2004，24(3：96-101(in Chinese 9 吳俊娟，鄔偉楊，孫孝峰并聯(lián) buck 變換器中的混沌研究J中 國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2005，25(22：51-55 Wu Junjuan ， Wu Weiyang