從Fourier級(jí)數(shù)到Fourier變換.

1、從 Fourier 級(jí)數(shù)到 Fourier 變換一、級(jí)數(shù)產(chǎn)生的實(shí)際需求：引例：一根單位長(zhǎng)的木棍，每日截去一半，現(xiàn)在來看逐日所截下的長(zhǎng)度。如：十日內(nèi)累計(jì)共截下的長(zhǎng)度11111s102223L121210210 ，一般地， n 日內(nèi)累計(jì)共截下的長(zhǎng)度11111sn2223L1212n2n ，如此無限地繼續(xù)下去，累計(jì)共截下的長(zhǎng)度表示為111L1Ls22232n21因?yàn)檫@根木棍總也截不完， 所以截下來的累計(jì)長(zhǎng)度就是無窮個(gè)數(shù)相加的和。 雖然我們無法把無窮個(gè)數(shù)加起來， 但是按照近代極限的觀點(diǎn)， 逐日所截下的累計(jì)長(zhǎng)度就等于當(dāng) n時(shí)，和數(shù)111L12122232n的極限，即slim snlim(11n )1nn

2、2對(duì)于這類無窮多個(gè)數(shù)的求和問題，有下面的定義：定義 1 設(shè)給定一個(gè)數(shù)列 u1 ， u2， u3 ， L， un ， L ，則表達(dá)式u1u2u3LunL稱為無窮級(jí)數(shù) ，簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)，記作 n1un，即unu1u2u3L unL(5.1)n 1其中，第 n 項(xiàng) un 稱為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng) 或通項(xiàng)。 un 是常數(shù)的級(jí)數(shù)稱為 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ，簡(jiǎn)稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ； un 是函數(shù)的級(jí)數(shù)稱為 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 。級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的一個(gè)重要工具，在理論上和實(shí)際應(yīng)用中都處于重要地位，這是因?yàn)椋阂环矫婺芙柚?jí)數(shù)表示許多常用的非初等函數(shù)，微分方程的解就常用級(jí)數(shù)表示；另一方面又可將函數(shù)表為級(jí)數(shù)，從而借助級(jí)數(shù)去研究函數(shù)，例如用冪級(jí)數(shù)研究非初

3、等函數(shù)，以及進(jìn)行近似計(jì)算等。二、 Fourier 級(jí)數(shù)的特點(diǎn)和性質(zhì)性質(zhì) 1局部性定理函數(shù) f ( x) 的 Fourier級(jí)數(shù)在 x 點(diǎn)的收斂和發(fā)散情況， 只和 f (x) 在這一點(diǎn)的充分鄰近區(qū)域的值有關(guān)。性質(zhì) 2可積和絕對(duì)可積函數(shù)的Fourier系數(shù) an , bn 趨向于零，即lim 1f ( x) cos nxdx0， lim 1f ( x) sin nxdx 0 。nn性質(zhì) 31sin 2n1 u1sin 2n 1 u積 分(u)2udu ，(u)2du 的 收 斂 情 況 相 同 ， 即02 sin02u2lim 1(u)(11 ) sin 2n1 udu 0 。n0uu22 sin

4、2這里 (u)f ( x u)f ( x u) 2s 。從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來看， 傅里葉變換是一種特殊的積分變換。 它能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。 在不同的研究領(lǐng)域， 傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。傅立葉變換屬于調(diào)和分析的內(nèi)容。 " 分析 " 二字，可以解釋為深入的研究。 從字面上來看， " 分析 " 二字，實(shí)際就是 " 條分縷析 " 而已。它通過對(duì)函數(shù)的 " 條分縷析 " 來達(dá)到對(duì)復(fù)雜函數(shù)的深入理解和研究。從哲學(xué)上看， " 分析主義

5、" 和" 還原主義 " ，就是要通過對(duì)事物內(nèi)部適當(dāng)?shù)姆治鲞_(dá)到增進(jìn)對(duì)其本質(zhì)理解的目的。 比如近代原子論試圖把世界上所有物質(zhì)的本源分析為原子， 而原子不過數(shù)百種而已， 相對(duì)物質(zhì)世界的無限豐富，這種分析和分類無疑為認(rèn)識(shí)事物的各種性質(zhì)提供了很好的手段。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，也是這樣，盡管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。 " 任意 " 的函數(shù)通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式， 而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)類， 這一想法跟化學(xué)上的原子論想法何其相似！ 奇妙的是 ,

6、現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)傅立葉變換具有非常好的性質(zhì) , 使得它如此的好用和有用 , 讓人不得不感嘆造物的神奇 :1. 傅立葉變換是線性算子 , 若賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù) , 它還是酉算子 ;2. 傅立葉變換的逆變換容易求出 , 而且形式與正變換非常類似 ;3. 正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù) , 從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解 . 在線性時(shí)不變的物理系統(tǒng)內(nèi) , 頻率是個(gè)不變的性質(zhì) , 從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來獲取 ;4. 著名的卷積定理指出 : 傅立葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算 ,從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段;5. 離散形式的

7、傅立葉變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速的算出 ( 其算法稱為快速傅立葉變換算法 (FFT).正是由于上述的良好性質(zhì) , 傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。自然界的許多現(xiàn)象都具有周期性或重復(fù)性，因此用周期函數(shù)來逼近它們就極具意義例如，心臟的跳動(dòng)、肺的運(yùn)動(dòng)、給我們居室提供動(dòng)力的電流、電子信號(hào)技術(shù)中常見的方波、鋸齒形波和三角波以及由空氣分子的周期性振動(dòng)產(chǎn)生的聲波等等都屬于周期現(xiàn)象， 它們的合成與分解都大量用到三角級(jí)數(shù)三、從 Fourier 級(jí)數(shù)到 Fourier 變換傅里葉級(jí)數(shù)針對(duì)的是周期函數(shù)， 傅里葉變換針對(duì)的是非周期函數(shù)， 本質(zhì)上都是一

8、種把信號(hào)表示成復(fù)正選信號(hào)的疊加， 都有相似的特性， 因?yàn)閮煞N傅里葉表示都利用了復(fù)正選信號(hào)，這些特性提供了一種透徹了解時(shí)域和頻域信號(hào)表示的特征的方法。四、 Fourier變換的應(yīng)用眾所周知， Fourier 級(jí)數(shù)作為較 Taylor 級(jí)數(shù)復(fù)雜的一類特殊的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，是繼 Taylor 級(jí)數(shù)之后，形成了在理論上以及在許多應(yīng)用方面， 如在電學(xué)、力學(xué)、聲學(xué)、熱力學(xué)等物理學(xué)及工程技術(shù)中， 都極為重要的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)， 它同 Taylor 級(jí)數(shù)一樣是研究函數(shù)的一個(gè)有力工具。弦振動(dòng)方程的初邊值問題的Fourier方法考察波動(dòng)方程的初邊值問題：2u22ut 2ax2f ( x, t)t 0 : u( x),u( x)tx 0 : u 0x l : u 0利用疊加原理，上述初邊值問題可以分解為下面兩個(gè)初邊值問題：2u1a22u102u2a22u2f ( x, t)t 2x2t 2x2( ) t 0 : u1(x), u1(x)( ) t0 : u20, u20ttx 0和 x l : u0x 0和 x l : u201而且顯然有 uu1u2 .對(duì)于