導數(shù)及偏導數(shù)計算

1、第四講導數(shù)及偏導數(shù)計算實驗目的1進一步理解導數(shù)概念及其幾何意義.2 .學習 matlab的求導命令與求導法.實驗內(nèi)容1 .學習matlab命令.建立符號變量命令sym和syms調(diào)用格式：x=sym（'x'）, 建立符號變量x；syms x y z ,建立多個符號變量x, y, z；matlab求導命令diff調(diào)用格式：diff（函數(shù)'）,求,1的一階導數(shù)'；diff（函數(shù)，m ,求f :的n階導數(shù)1 （n是具體整數(shù)）;3fdiff（函數(shù) m，變量名）,求.u：對二的偏導數(shù)二：;竺diff（函數(shù),變量名-,n）,求“對:的n階偏導數(shù) T ；matlab求雅可比矩陣

2、命令jacobian,調(diào)用格式：jacobian（函數(shù)；函數(shù)函數(shù),=）給出矩陣:耐&說蒼辭瓦 a/-創(chuàng)曲一勿冊一創(chuàng) 附&勿-滋尿&2 導數(shù)概念.導數(shù)是函數(shù)的變化率，幾何意義是曲線在一點處的切線斜率.(1) 點導數(shù)是一個極限值.例3.1.設'，用定義計算丿；.解:二在某一點.的導數(shù)定義為極限：. Ax0 +A x) - /(xo)lim 山尤dA I我們記：丄工，輸入命令:syms h limit(exp(0+h)-exp(0)/h, h, 0)得結果:ans=1 .可知(2) 導數(shù)的幾何意義是曲線的切線斜率.例3.2.畫出白；匚在門處廣- I )的切線及若干條割

3、線，觀察割線的變化趨 勢.解:在曲線，上另取一點"T J'p，'，貝打口的方程是：y - 1/ - 1工'”.即丿一 1y=:工十1h?。憾A1/. <,分別作出幾條割線.h=3,2,1,0.1,0.01;a=(exp(h)-1)./h;x=-1:0.1:3;plot(x,exp(x), 'r.');hold onfor i=1:5;plot(h(i),exp(h(i),'r.')plot(x,a(i)*x+1)endaxis square作出【=在二一處的切線丁 - 1plot(x,x+1, 'r.')從

4、圖上看，隨著工與廠越來越接近，割線 I越來越接近曲線的割線.3 求一元函數(shù)的導數(shù).(1)的一階導數(shù).y =例3.3.求.亠的導數(shù).解:打開matlab指令窗，輸入指令：>>syms x; dy_dx=diff(sin(x)/x)得結果：dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/xA2.matlab的函數(shù)名允許使用字母、空格、下劃線及數(shù)字，不允許使用其他字符,在這里我們用dy_dx表示3 / 11例3.4.求fl工廠二的導數(shù).解：輸入命令：dy_dx=diff(log(sin(x)得結果：dy_dx=cos(x)/sin(x).在matlab中，函數(shù)二用log(x)表示，而log1

5、0(x)表示尹例3.5.求-I f二”的導數(shù).解：輸入命令:dy_dx=diff(xA2+2*x)A20).得結果：dy_dx=20*(xA2+2*x)A19*(2*x+2).注意二-輸入時應為2*x.例3.6.求匚=廠的導數(shù).解：輸入命令:dy_dx=diff(xAx).得結果：dy_dx =xAx*(log(x)+1).利用matlab命令diff 一次可以求出若干個函數(shù)的導數(shù).例3.7.求下列函數(shù)的導數(shù)：22直=加銘+2coj2x4血=Mnx解：輸入命令：a=diff(sqrt(xA2- 2*x+5) , cos(x2)+2*cos(2*x), 4八(sin(x), log(log(x)

6、得結果：a=1/2/(xA2-2*x+5)A(1/2)*(2*x-2) , -2*sin(xA2)*x-4*sin(2*x),4Asin(x)*cos(x)*log(4), 1/x/log(x).dy1_dx=a(1)dy1_dx=1/2/(xA2-2*x+5)A(1/2)*(2*x-2).dy2_dx=a (2)dy2_dx=-2*sin(xA2)*x-4*sin(2*x).dy3_dx=a (3)dy3_dx=4Asin(x)*cos(x)*log(4).dy4_dx=a (4)dy4_dx=1/x/log(x).a(i)表示向量a的由本例可以看出，matlab函數(shù)是對矩陣或向量進行操作的

7、， 第i個分量.(2)參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù).X = x(t)( 尸嘆)確定函數(shù) Kh),則B的導數(shù)£例3.8.設i??；，求解：輸入命令：dx_dt=diff(a*(t-sin(t); dy_dt=diff(a*(1-cos(t); dy_dx=dy_dt/dx_dt.得結果：dy_dx=sin(t)/(1-cos(t).其中分號的作用是不顯示結果.4 .求多元函數(shù)的偏導數(shù).例3.9.設： 廠求u的一階偏導數(shù).解：輸入命令:diff(xA2+yA2+zA2)A(1/2) ,x).得結果：ans=1/(xA2+yA2+zA2)A(1/2)*x.在命令中將末尾的x換成y將給出y的偏導

8、數(shù)：ans=1/(xA2+yA2+zA2)A(1/2)*y.也可以輸入命令:jacobian(xA2+yA2+zA2)A(1/2), x y).得結果：ans=1/(xA2+yA2+zA2)A(l/2)*x,1/化八2+丫八2+北八2)八(1/2)*丫f du Su 給出矩陣-丄例3.10.求下列函數(shù)的偏導數(shù)：zi = arctff1.2d解：輸入命令：diff(atan(y/x).得結果：ans=-y/xA2/(1+yA2/xA2).輸入命令:diff(atan(y/x),y).得結果：ans=1/x/(1+yA2/xA2).輸入命令:diff(xAy,x).得結果：ans=xAy*y/x.

9、輸入命令:diff(xAy,y).得結果：an s=xAy*log(x).使用jacobian命令求偏導數(shù)更為方便.輸入命令:jacobian(atan(y/x), xAy, x, y).得結果:ans= -y/xA2/(1+yA2/xA2), 1/x/(1+yA2/xA2)xAy*y/x , xAy*log(x).5 求高階導數(shù)或高階偏導數(shù).例 3.11 設："八，求.'-f.解:輸入指令：diff(xA2*exp(2*x) , x, 20).得結果：ans =99614720*exp(2*x)+20971520*x*exp(2*x)+1048576*xA2*exp(2*x

10、)d2z 宛例3.12設牡=兀&一 3屮十2工習,求ftc上阿尹阿解:輸入命令:diff(xA6-3*yA4+2*xA2*yA2 , x, 2)d2z可得到二一：ans=30*xA4+4*yA2.將命令中最后一個x換為y得ans=-36*yA2+4*xA2.輸入命令:diff(diff(xA6-3*yA4+2*xA2*yA2，x)，y)d2z可得圧芒:ans=8*x*y同學們可自己計算九比較它們的結果.注意命令:diff(xA6-3*yA4+2*xA2*yA2 , x, y)，是對y求偏導數(shù)，不是求6求隱函數(shù)所確定函數(shù)的導數(shù)或偏導數(shù)du豈例3.13.設亠一一 一，求八解“ ；計-

11、9;匸，先求二，再求壯輸入命令:df_dx=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1), x)得到上:df_dx=1/x+y/xA2*exp(-y/x).輸入命令:df_dy=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1), y)得到i ；：df_dy=-1/x*exp(-y/x)輸入命令:dy_dx=-df_dx/df_dy可得所求結果：dy_dx=-(-1/x-y/xA2*exp(-y/x)*x/exp(-y/x).dz色例 3.14設川：=I V-，求二，'解：.' ：.；=：T：JI n- =: -f 輸入命令：a=jacobian(sin(x*

12、y)+cos(y*z)+tan(z*x), x, y, z)可得矩陣I皿a=cos(x*y)*y+(1+tan(z*x)A2)*z , cos(x*y)*x-sin(y*z)*z, -sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)A2)*x.輸入命令:dz_dx=-a(1)/a(3)得：dz_dx=(-cos(x*y)*y-(1+tan(z*x)A2)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)A2)*x) 輸入命令:dz_dy=-a(2)/a (3)得：dz_dy=(-cos(x*y)*x+sin(y*z)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)A2)*x)練習1.求下列函數(shù)的導數(shù). y = xsin x In xy * x t）（ 1-1）（1）xy = ln(x . x2 a2 )x = In (1 +t2)y = t - arctgty = 2sin2 4X22. 求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)arctg = In . x2y2(1)x（1） "=4t 3. 求下列隱函數(shù)的導數(shù)xy = yxX = t44.設 y = ex cosx，求 y(4)5.驗證y = eX sin x滿足關系式y(tǒng) _2y 2y =06.求下列函數(shù)的偏導數(shù).12 / 11(1)z = x2 sin