實數(shù)完備性等價命題附證明

1、8 / 8、問題提出確界存在定理（定理1.1）揭示了實數(shù)的連續(xù)性和實數(shù)的完備性與之等價的 還有五大命題，這就是以下的定理1.2至定理1.6 .定理1.2 （單調(diào)有界定理）任何單調(diào)有界數(shù)列必定收斂.定理1.3 （區(qū)間套定理）設(shè)為一區(qū)間套:lim （如-外）Y則存在唯一一點矗以72,.定理1.4 （有限覆蓋定理）設(shè)1 '： 1是閉區(qū)間"-的一個無限開覆蓋，即"中每一點都含于中至少一個開區(qū)間- 內(nèi).則在中必存在有 限個開區(qū)間，它們構(gòu)成 "I的一個有限開覆蓋.定理1.5 （聚點定理）直線上的任一有界無限點集 打至少有一個聚點丿，即在 的任意小鄰域內(nèi)都含有打中無限多

2、個點（本身可以屬于打，也可以不屬于'）.定理1.6 （柯西準(zhǔn)則）數(shù)列 5丨收斂的充要條件是：，：''",只要乩鍥皿 恒有后者又稱為柯西（Cauchy）條件，滿足柯西條 件的數(shù)列又稱為柯西列，或基本列.）這些定理構(gòu)成極限理論的基礎(chǔ).我們不僅要正確理解這六大定理的含義， 更重 要的還要學(xué)會怎樣用它們?nèi)プC明別的命題.下面通過證明它們之間的等價性，使 大家熟悉使用這些理論工具.下圖中有三種不同的箭頭，其含義如下：（1）基本要求類（8）（10）閱讀參考類習(xí)題作業(yè)類F面來完成（1） 的證明.、等價命題證明（2）（用單調(diào)有界定理證明區(qū)間套定理）（用區(qū)間套定理證明確界原理）*

3、（用區(qū)間套定理證明有限覆蓋定理）*（用有限覆蓋定理證明聚點定理）*（用聚點定理證明柯西準(zhǔn)則）*（用柯西準(zhǔn)則證明單調(diào)有界定理）（1）（用確界定理證明單調(diào)有界定理）（1）（用確界定理證明單調(diào)有界定理）S J有上界翌 3 sup (a - alim 陽=2'V0 r 3aNa 一占'遞增>a-證畢（返回）（2）（用單調(diào)有界定理證明區(qū)間套定理）設(shè)區(qū)間套 八'比遞增，有上界=> 31im單）打遞減*有下界（7l31im=占三把% ,耳G T 2）如） + % Hm &.）-0耳一>9若另有使 "”丄懇一八，則因|嚴(yán)爪® P” TOTo

4、o ）=嚴(yán)曠（扌唯一）.證畢推論設(shè)比A 為一區(qū)間套，伍弧& ,璋-1,2 ,.則V Q 0二?/在N,當(dāng)-"時，恒有丑厶匚“占?xì)w用區(qū)間套定理證明其他命題時，最后常會用到這個推論.（返回）（3）（用區(qū)間套定理證明確界原理）證明思想：構(gòu)造一個區(qū)間套，使其公共點即為數(shù)集的上確界.設(shè)&老0,有上界M .取即£罠令口1"1 和肱;四2鳥門，再令若巾是S的上界,|cl,若門不是S的上界；如此無限進(jìn)行下去，得一區(qū)間套一-一.«k«hoi hn=T）y 空可證：因7恒為一的上界，且-，故 -，必有=> X < Tlitn a =松這

5、說明是二的上界；又因廠二八'，故7 = -'f 二，而宀都不 是的上界，因此1 更不是的上界所以'成立.證畢（返回）*（4）（用區(qū)間套定理證明有限覆蓋定理） 設(shè)打為閉區(qū)間丁的一個無限開覆 蓋反證法假設(shè)：“3】不能用円中有限個開區(qū)間來覆蓋”.對采用逐次二等分法構(gòu)造區(qū)間套二的選擇法則：取“不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋”的那一半.由區(qū)間套定理，_-亠5I宀導(dǎo)出矛盾' - 一 使"-丨記： - '由推論，當(dāng)足夠大時，簽，婦匚&（氏小匸（洛這表示lZ-用打中一個開區(qū)間就能覆蓋，與其選擇法則相違背.所以亠' 必能用中有限個開區(qū)間來覆蓋證畢說明

6、當(dāng)“' 改為-_ :時，或者'不是開覆蓋時，有限覆蓋定理的結(jié)論 不一定成立（返回）*（5）（用有限覆蓋定理證明聚點定理）設(shè) 為實軸上的有界無限點集，并設(shè)Su-匹M ：由反證法假設(shè)來構(gòu)造I的一個無限開覆蓋：若二有聚點，則沁J幾工I 現(xiàn)反設(shè)八中任一點都不是-的聚點，即在2）內(nèi)至多只有心.這樣,H-uxr4 )1 忑E 卜就是I八L I的一個無限開覆蓋.，：用有限覆蓋定理導(dǎo)出矛盾：據(jù)定理 9,存在鞏辱心）卩12,"u乩"為丨I的一個有限開覆蓋（同時也覆蓋了 .由假設(shè)，內(nèi)至多只有-'所屬個鄰域內(nèi)至多只有 屬于打（即只覆蓋了中有限個點）.這與-覆蓋了全部打中無

7、限多個點相矛盾.所以，有界無限點集-必定至少有一個聚點.證畢推論（致密性定理）有界數(shù)列必有收斂子列.即若 5丨為有界數(shù)列，則 w .使有子列、的極限/稱為原數(shù)列 5I的一個極限點，或稱 聚點.（返回）*（6）（用聚點定理證明柯西準(zhǔn)則）柯西準(zhǔn)則的必要性容易由數(shù)列收斂的定義直接證得，這里只證其充分性.已知條件：二7上?J二-： 當(dāng) m 時匕 6.欲證 5丨收斂：,首先證 5丨有界對于"當(dāng)丫 打時，有|務(wù)卜厲| “劃-叫|< 1=>|叫卜& | + L令mp返血|辰，則有|% | 空 M,n = X 2,'，：.由致密性定理，化I存在收斂子列 八，設(shè):最后證二一

8、，由條件， 1叮：一當(dāng)時，有于是當(dāng)''（同時有.7'）時，就有證畢（返回）*（7）（用柯西準(zhǔn)則證明單調(diào)有界原理）設(shè)匚為一遞增且有上界M的數(shù)列用反證法（借助柯西準(zhǔn)則）可以證明：倘若匚 無極限，則可找到一個子列 以為廣義極限，從而與匚 有上界相矛盾現(xiàn)在來構(gòu)造這樣的對于單調(diào)數(shù)列,柯西條件可改述為：“當(dāng) 二二 時, 滿足S-sZ ” 這是因為它同時保證了對一切 Z2N，恒有I耳亠|蘭S廠力丨X.倘若匚 不收斂，由上述柯西條件的否定陳述： 1，對一切 ,m IN ,使依次取AT1 -1, 3«j > M,使 -叭 2 ®* 3 n2 > N2f 使務(wù)2 仙1 V 4 V V V加m力恥，使-皿仏1 2切.把它們相加，得到M &yk>L$故當(dāng)時，可使''"',矛盾所以單調(diào)有界數(shù)列匚必定有極限.證畢在以上六個等價命題中，最便于推廣至1八中點集的，當(dāng)屬聚點定理與有限覆 蓋定理為加深對聚點概念的認(rèn)識，下例所討論的問題是很有意義的.例證明“是點集二的聚點”的以下三個定義互相等價：(i) '內(nèi)含有中無限多個點(原始定義)；(ii) ' '在 U： 口內(nèi)含有二中至少一個點;(iii) 日忑m 匸心代羊世時忑*工為使耳 '證：(i) (ii