八隨機(jī)變量及其概率分布

1、第八章隨機(jī)變量及其概率分布 8.1離散型隨機(jī)變量及其分布律一. 隨機(jī)變量我們注意到這樣的現(xiàn)象：（1） 隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果往往表現(xiàn)為數(shù)量，如：擊中次數(shù)、潮位數(shù)值、投擲骰子等。（2） 若不表現(xiàn)為數(shù)量，可使其數(shù)量化，如：抽牌時(shí)，將牌張編號(hào)等。以X表示試驗(yàn)的數(shù)值結(jié)果，則 X是隨機(jī)變量。（解釋“隨機(jī)”）即取值是隨 機(jī)的變量叫隨機(jī)變量。舉例：（1） 擲幣：X為“出現(xiàn)正面的次數(shù)” ，X的可能取值為1、0。即X = 1= “正面朝上”，X = 0= “反面朝上”，并且PX = 1= PX = 1= 0.5（2） 抽牌：X為“抽得牌張編號(hào)“，X的可能取值為1, 2, 3,，52。14 Xw 26= “抽到紅心”隨機(jī)

2、變量用大寫字母 X、Y、Z等表示。特別注意：隨機(jī)變量的取值或取值范圍表示隨機(jī)事件， 而我們研究 隨機(jī)變量最主要的就是隨機(jī)變量的取值或在某個(gè)范圍內(nèi)取值的概率 （隨 機(jī)變量X本身不是事件）。即PX =k或 Pa _ X : b二. 離散型隨機(jī)變量如果X的取值（可以有限也可以無限）可以一一列出，即可以排隊(duì)的，貝U 稱X是離散型的隨機(jī)變量。設(shè)X的可能取值為xk（ k = 1,2,n）,并且相應(yīng)的概率 PX = xk = pk 都知道，則該隨機(jī)變量的規(guī)律就完全搞清楚了。X的規(guī)律是指弄清可能取值知道概率。寫成矩陣形式：X X2 III Xk IIIxX P1 P2 川 Pk HI ）這個(gè)表格稱為分布律（分

3、布列）。分布律應(yīng)滿足以下條件（性質(zhì)）：（1）1 -Pk -0（k =12川）；（2） Pk =1 k分別叫做概率的 非負(fù)性和概率的完備性。k例1求a的值，使X的分布律為P X = k： =3a - （k =1,2,川）。 12丿1解： E 3a.： =3a 2=1”a =心12丿丄32【注】分布律可以列表，也可用公式表示，本質(zhì)都是以概率為函數(shù)值的一種特殊的函數(shù)，僅僅是表示的形式不同而已。例2現(xiàn)有10件產(chǎn)品中，其中有 3件次品，現(xiàn)任取兩件產(chǎn)品，記X是“抽得的次品數(shù)”，求X的分布律。解 X可能取值為0，1，2，（這是關(guān)鍵步驟，常被忽視而致思維受阻）。概率為px =0=C；/G：，px =1=c3c

4、；/g2，px =2 = C；/G：roi2 a則分布律為X77i1151515【注】求分布律，首先弄清 X的確切含義及其所有可能取值。例3 一種有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄，20萬戶為一開獎(jiǎng)組。設(shè)特等獎(jiǎng)20名，獎(jiǎng)金4000元；等獎(jiǎng)120名，獎(jiǎng)金400元；二等獎(jiǎng)1200名，獎(jiǎng)金40元；末等獎(jiǎng)4萬名，獎(jiǎng)金4元。求一戶得獎(jiǎng)?lì)~ X的分布律。解 X的可能取值為4000, 400, 40, 4, 0 （最后一值易漏，要特別注意,絕大多數(shù)是不中獎(jiǎng)的），易求分布律Xf 40004004040 、衛(wèi).00010.00060.0060.2 0.7933丿以下討論三種常見的分布：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布三. 兩點(diǎn)分布X的可能取值

5、僅兩點(diǎn)0和1,且PX =1= p,貝U分布律為1p其中q =1 - p，則稱X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布（0-1分布）。例4袋中裝6只白球和4只紅球，任取一只, 分布律。X為“取得白球數(shù)”，求X的PX = 1 = 0.6，則X的分布律為X1 00.6 0.4【注】 任何隨機(jī)試驗(yàn)都可與兩點(diǎn)分布相聯(lián)系：設(shè) A是試驗(yàn)中某一事件， X是 “一次試驗(yàn)中 A出現(xiàn)的次數(shù)”，若P（A）= p,貝U X的分布律為（X = 0表示A未 出現(xiàn)）10、Xip q丿四. 二項(xiàng)分布1.貝努里（Bernoulli）試驗(yàn)將隨機(jī)試驗(yàn)在相同條件下獨(dú)立地重復(fù)n次，觀察事件A出現(xiàn)的次數(shù)，稱為貝努里試驗(yàn)，或n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)。女口：射擊n次

6、，中幾次？有放回的抽樣（ 抽牌、模球、檢驗(yàn)產(chǎn)品）。事件 A 出現(xiàn)k次的概率記為 Pn（k）。例5 產(chǎn)品次品率為0.2 ,有放回地抽5次，求出現(xiàn)2次次品的概率（可見貝 努里試驗(yàn)Flash動(dòng)畫演示）。解 即求P5，出現(xiàn)次品為 A, 5次抽樣情況可以是AAAAA , AAAAA , AAaAA | | ,這樣的情況共有 C52種，互不相容，其概率都是0.22 0.83,所以由加法定理得R(2) =C；0.220.83。一般地，在貝努里試驗(yàn)中，A出現(xiàn)的概率是p, q=1- p ，則Pn(k)=C：pkqn = C；(1 p)kqn (k=0,1,|Q,n ,這種概率模型稱為貝努里概型。2. 二項(xiàng)分布X

7、是n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中 A事件出現(xiàn)的次數(shù)，P(A) = p,則P(X 二k)二ck 1 - p qn-( 0 mk m n)稱X服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布(或貝努里分布)，記X B ( n, p )。例6,產(chǎn)品次品率為10%，任意抽取5件樣品，求最多有 2件次品的概率。 解：產(chǎn)品量很大時(shí)，不放回近似于放回，所以這是貝努里概型且p= 10% = 0.1 ,現(xiàn)在求PX1。但直接求很繁，可先求不多于一個(gè)次品的概率P(X 蘭 1) =P0(O) +R0(1) =0.9510 +10漢0.05漢0.959 =0.9139(可以查表計(jì)算)。所以退貨率為 1- 0.9139 = 0.0861 = 8.6 %

8、。五.泊松(Poissor)分布若X的可能取值為0,1,2,lH，k,川(無窮)且kP(X =k)e ( 0, k =1,2川 I)k!則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記為X P ( )。利用幕級(jí)數(shù)知識(shí)可以證明:i kk、P(X 二 k)e二 ee =1kk =0 k !k=0 k!泊松分布來自于“排隊(duì)現(xiàn)象”，刻畫稀有事件出現(xiàn)的概率。如某時(shí)間段內(nèi)的電話呼叫、紗線斷頭、顧客到來、車輛通過等。當(dāng)n很大時(shí)，二項(xiàng)分布近似于泊松分布，即i kkk k n _k (np) - npPn(k)e(np = ) Cn p qek!k!.連續(xù)型隨機(jī)變量 8.2連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度1概率密度X的取值連成一片(成

9、為一些區(qū)間)，就是連續(xù)型隨機(jī)變量。如 零件尺寸、電池 壽命、降雨量等。P aw Xw b 是連續(xù)和，應(yīng)是定積分(a, b可不同，但被積函數(shù)相同)bPa X b=f (x)dxa(注意大、小寫勿相混)這里函數(shù) f ( x ) 稱為隨機(jī)變量 X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱密 度。“KKKK密度f ( x )決定了 X的變化規(guī)律，不同的隨機(jī)變量有不同的密度。定積分的 幾何意義是面積，所以概率的幾何意義是密度函數(shù)曲線下方的面積(見圖3)。2. 密度的性質(zhì)連續(xù)型的概率非負(fù)性和概率完備性表現(xiàn)為(1) f(X)_0(2) f(x)dx=1-O0例1設(shè)下列函數(shù)是概率密度，求k及P1 w Xw 3, P Xw 10 _

10、x _2其他廠2k(4x2x ) f(x) 丿0解：由完備性(注意分段函數(shù)的積分處理)k=l:2.21f(x)dx 二 k(4x -2)x dx =-02323P 1 X 3 f (x)dx (4x 2x2)dx11 83. 單點(diǎn)概率aP = a，P a _ x _ b，f (x)dx 二 0a這說明單點(diǎn)概率為零。概率為零的事件不一定是不可能事件。于是PaX 乞b Pa X 5 Pa X b PfaX b進(jìn)一步的考慮是當(dāng) x很小時(shí)P X 二a P la 蟲X af (x)dx ： f (a) = xa即單點(diǎn)概率是和密度函數(shù)值成正比的無窮小量。4.概率的幾何意義f(x)dx 1表明(1)概率的幾

11、何意義是曲線 y二f(x)下方的面積。(2) 并且整個(gè)曲線下方的面積等于1。又p !X = x = f (x)dx說明密度f ( x)本身并不是概率，但它表示各點(diǎn)概率(無窮小)之間的比例。 以下討論三種常見的分布：均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布。.均勻分布各點(diǎn)的概率(比例)相同，即f (x)恒等于常數(shù)。若 X的概率密度為a _ x _ b其他1I f (x) = b - a0則稱X服從區(qū)間a, b上的均勻分布， 記為XU( a, b )。(見圖4)均勻分布是最簡(jiǎn)單的連續(xù)型分布。問:(1)常數(shù)為何是區(qū)間長(zhǎng)度的倒數(shù)？(2)均勻(概率)分布的概率如何簡(jiǎn)單求得?三指數(shù)分布.x 0若X的密度為f (x)(

12、0)則稱X服從參數(shù)為0 xcO的指數(shù)分布。顯然有-bo-bof(x)工0并且 J f (x)dx = J kexdx =-e o= 1-：:0指數(shù)分布也來自于“排隊(duì)現(xiàn)象”，與泊松分布緊密聯(lián)系。四.正態(tài)分布最重要的分布，在后面著重討論。 8.3 分布函數(shù)與函數(shù)的分布一分布函數(shù)1概念設(shè)X是隨機(jī)變量，x是一個(gè)數(shù)，則P X x與x有關(guān)，隨x的變化而變化, 從而是x的函數(shù)。稱f (x) = PX x為X的分布函數(shù)。F(x)是在區(qū)間(-g, x)內(nèi)的“累積概率”，不要與單點(diǎn)概率混淆。2.性質(zhì)(1) 0 乞 F(x)乞 1(2) F(x)單調(diào)不減(3) F( = F(x)=1 lim F (x) = F (

13、-：)= 0(4) Pa ： x G F(a)F(b), PX . a、1F(a)這是累積概率之差額。可見利用分布函數(shù)計(jì)算概率也很方便。3求法注意對(duì)于離散型，F(xiàn)(x)是概率之和；對(duì)于連續(xù)型，F(xiàn)(x)是積分。計(jì)算公式分x別是F(x)八 Pkx空F(x) = f (x)dx-od分布函數(shù)對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量比較有用：F(x)連續(xù)，且F (x)二f (x)在連續(xù)點(diǎn)成立。例1,設(shè)XU( a, b )(均勻分布)求分布函數(shù)F(x)。解：當(dāng)x ( a, b )時(shí)，利用概率的幾何意義(面積)得 (見圖5)b -a0x ax -aF(x)a 乞 x : b| b - a1x_bF(x)的圖形連續(xù)，尖點(diǎn)處無導(dǎo)數(shù)，

14、恰為f ( x) 的間斷點(diǎn)。.函數(shù)的分布1 2已知X的分布，求 Y = g( X )的分布。如動(dòng)能對(duì)速度 Y mX ，面積對(duì)2半徑Y(jié) = X 2。1. X為離散型隨機(jī)變量。例2,已知X的分布律如下，求 Y=X2 Y = X 2的分布律。f10125 )X0.10.2 0.3 0.1 0.3 丿解：事件乂 =4： -X =2，概率也相等，但 H ；X二-V，所以 01425Y0則稱X服從參數(shù)為 ，二的正態(tài)分布，記為 X N（：,；2）。正態(tài)分布是最重要的分布。一方面在自然界中，取值受眾多微小獨(dú)立因素綜合影響的隨機(jī)變量一般都服從正態(tài)分布，如測(cè)量的誤差、質(zhì)量指數(shù)、農(nóng)作物的收獲量、身高體重、用電量、考

15、試成績(jī)、炮彈落點(diǎn)的分布等。因此大量的隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布；另一方面，許多分布又可以用正態(tài)分布來近似或?qū)С?，無論在 理論上還是在生產(chǎn)實(shí)踐中，正態(tài)分布有著極其廣泛的應(yīng)用。正態(tài)曲線：正態(tài)密度函數(shù)的圖象，是鐘形曲線（見圖6）。2正態(tài)曲線的性質(zhì)（1） 關(guān)于直線二對(duì)稱（偶函數(shù) 平移）；1（2） x = 4時(shí)，達(dá)最大值一（最高點(diǎn)），兩側(cè)逐漸降低，有漸近線y =0（x軸），x -廠對(duì)應(yīng)拐點(diǎn)；u2. e.：:.2t2 du=1（3）曲線之下的面積為1，即21 / 10（計(jì)算過程略）。這個(gè)積分稱為概率積分，又稱高斯積分（高斯曲線）。（4）注意到X -_；對(duì)應(yīng)拐點(diǎn)，所以二固定而變動(dòng)時(shí)，曲線左、右平 移，形狀不變；

16、不變而匚變動(dòng)時(shí)，因面積恒定為1，故匚越大（?。?，曲線越平坦（陡峭）。3. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)-1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為X N（ 0, 1 ），概率密度為點(diǎn)、漸近線、面積（積分）情況見上。x2(x)二（x）是專用記號(hào)）對(duì)稱性、最高點(diǎn)、拐二.正態(tài)分布的概率計(jì)算1.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布X N（ 0, 1 ）,其分布函數(shù)的圖形見圖7,表示曲線下方、x左側(cè)的面積，其函數(shù)表達(dá)式為xX ,t212 2G (x)二 (t)dte 2二 dt已編制了數(shù)值表(附表 1),但表中只有xAO的數(shù)值。利用圖形的對(duì)稱性和完備性，即：.：(一x) =1 _：(x)，可以查表求出各種概率。例1,設(shè)X N(0,1)，求以下概率(1)

17、P1： X : 2 ；(2)P_1 ：X 2? ；(3)PX 2；(4)px|1 ；( 5)PX2.5 ；( 6)PXc1.3解：(1)P1 ： X ： 2 = G(2) 門(1) =0.9772 0.8413 =0.1359(2) P -1 X 乞2 ,(2) 一(1 一門(1) =0.97720.8413 一 1 =0.8185(3) pfx ： = P1 ： X ：1? - ；：一(1 一門)=2 0.8413 -1 =0.6826(4) P：X2：=2PX 2丄 2(1- 門(2) =0.0456(5) PX-2.5, (2.5)=0.9938(6) PX ： ：1.3.；=1 -(1

18、.3) = 1 -0.9032 = 0.0968(7) 已知 P：X a；=0.05px a=0.025倒查表得a = 1.96.。2.般正態(tài)分布的概率計(jì)算對(duì)于非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可通過線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來處理。設(shè) XN(,2)，則有重要結(jié)論X 卩YN(0,1)PX vx=卩cr這個(gè)公式很重要，應(yīng)牢記。例2 設(shè)XN( 0, 4 )，求以下概率，這里二-1 -2。(1)卩儀 3 ； (2) P0 cX 1.6 ； (3) PX 2 ； (4) px 1解：(1) PX：3G 口 =(1)=0.8413I 2丿i冷6(2) P0 VX 1.6=-e1 2丿1 2=：(0.3) -門(-0.5)呂(0.3) -(1-門(0.5)-0.6179 0.6915 -1 =0.3085(3) PX 2亠1-：=1-門(0.5) =1 -0.6915 =0.3085I 2丿(4) P|x|A1 + px -1卩 門-釧+I” =0.5 + (1_6)I 2丿V 2 )=