橢圓各類題型分類匯總(共21頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上橢圓經(jīng)典例題分類匯總1. 橢圓第一定義的應(yīng)用例1 橢圓的一個頂點為，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2 已知橢圓的離心率，求的值例3 已知方程表示橢圓，求的取值范圍例4 已知表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍例5 已知動圓過定點，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程2.焦半徑及焦三角的應(yīng)用例1 已知橢圓，、為兩焦點，問能否在橢圓上找一點，使到左準(zhǔn)線的距離是與的等比中項？若存在，則求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由例2 已知橢圓方程，長軸端點為，焦點為，是橢圓上一點，求：的面積（用、表示）3.第二定義應(yīng)用例1 橢圓的右焦點為，過點，點在橢圓上，當(dāng)為最

2、小值時，求點的坐標(biāo)例2 已知橢圓上一點到右焦點的距離為，求到左準(zhǔn)線的距離例3已知橢圓內(nèi)有一點，、分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上一點(1)求的最大值、最小值及對應(yīng)的點坐標(biāo)；(2)求的最小值及對應(yīng)的點的坐標(biāo)4.參數(shù)方程應(yīng)用例1 求橢圓上的點到直線的距離的最小值例2 (1)寫出橢圓的參數(shù)方程；(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積例3橢圓與軸正向交于點，若這個橢圓上總存在點，使(為坐標(biāo)原點)，求其離心率的取值范圍5.相交情況下-弦長公式的應(yīng)用例1 已知橢圓及直線（1）當(dāng)為何值時，直線與橢圓有公共點？（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程例2 已知長軸為12，短軸長為6，焦點在軸上的橢圓，過它對的左

3、焦點作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點，求弦的長6.相交情況下點差法的應(yīng)用例1 已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓與直線交于、兩點，為中點，的斜率為0.25，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程例2 已知橢圓，求過點且被平分的弦所在的直線方程例3 已知橢圓，（1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點、，為原點，且有直線、斜率滿足，求線段中點的軌跡方程 例4 已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上有不同的兩點關(guān)于該直線對稱例5 已知是直線被橢圓所截得的線段的中點，求直線的方程橢圓經(jīng)典例題分類匯

4、總1.橢圓第一定義的應(yīng)用例1 橢圓的一個頂點為，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置解：（1）當(dāng)為長軸端點時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）當(dāng)為短軸端點時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；說明：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個，給出一個頂點的坐標(biāo)和對稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況例2 已知橢圓的離心率，求的值分析：分兩種情況進(jìn)行討論解：當(dāng)橢圓的焦點在軸上時，得由，得當(dāng)橢圓的焦點在軸上時，得由，得，即滿足條件的或說明：本題易出現(xiàn)漏解排除錯誤的辦法是：因為與9的大小關(guān)系不定，所以橢圓的焦點可能在軸上，也可能在軸上故必須進(jìn)行討論例5 已知方程表示橢圓，求的

5、取值范圍解：由得，且滿足條件的的取值范圍是，且說明：本題易出現(xiàn)如下錯解：由得，故的取值范圍是出錯的原因是沒有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中這個條件，當(dāng)時，并不表示橢圓例6 已知表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍分析：依據(jù)已知條件確定的三角函數(shù)的大小關(guān)系再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，求出的取值范圍解：方程可化為因為焦點在軸上，所以因此且從而說明：(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，這是容易忽視的地方(2)由焦點在軸上，知， (3)求的取值范圍時，應(yīng)注意題目中的條件例5 已知動圓過定點，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點P滿足的關(guān)系式解：如圖所示，設(shè)動圓和定圓內(nèi)切于點動點到兩定點，即

6、定點和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即點的軌跡是以，為兩焦點，半長軸為4，半短軸長為的橢圓的方程：說明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程這是求軌跡方程的一種重要思想方法2.焦半徑及焦三角的應(yīng)用例1 已知橢圓，、為兩焦點，問能否在橢圓上找一點，使到左準(zhǔn)線的距離是與的等比中項？若存在，則求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：假設(shè)存在，設(shè)，由已知條件得，左準(zhǔn)線的方程是，又由焦半徑公式知：，整理得解之得或 另一方面 則與矛盾，所以滿足條件的點不存在例2 已知橢圓方程，長軸端點為，焦點為，是橢圓上一點，求：的面積（用、表示）分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義

7、求角的兩鄰邊，從而利用求面積解：如圖，設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)在第一象限由余弦定理知： ·由橢圓定義知： ，則得 故 3.第二定義應(yīng)用例1 橢圓的右焦點為，過點，點在橢圓上，當(dāng)為最小值時，求點的坐標(biāo)分析：本題的關(guān)鍵是求出離心率，把轉(zhuǎn)化為到右準(zhǔn)線的距離，從而得最小值一般地，求均可用此法解：由已知：，所以，右準(zhǔn)線過作，垂足為，交橢圓于，故顯然的最小值為，即為所求點，因此，且在橢圓上故所以說明：本題關(guān)鍵在于未知式中的“2”的處理事實上，如圖，即是到右準(zhǔn)線的距離的一半，即圖中的，問題轉(zhuǎn)化為求橢圓上一點，使到的距離與到右準(zhǔn)線距離之和取最小值例2 已知橢圓上一點到右焦點

8、的距離為，求到左準(zhǔn)線的距離分析：利用橢圓的兩個定義，或利用第二定義和橢圓兩準(zhǔn)線的距離求解解法一：由，得，由橢圓定義，得由橢圓第二定義，為到左準(zhǔn)線的距離，即到左準(zhǔn)線的距離為解法二：，為到右準(zhǔn)線的距離，又橢圓兩準(zhǔn)線的距離為到左準(zhǔn)線的距離為說明：運用橢圓的第二定義時，要注意焦點和準(zhǔn)線的同側(cè)性否則就會產(chǎn)生誤解橢圓有兩個定義，是從不同的角度反映橢圓的特征，解題時要靈活選擇，運用自如一般地，如遇到動點到兩個定點的問題，用橢圓第一定義；如果遇到動點到定直線的距離問題，則用橢圓的第二定義例3已知橢圓內(nèi)有一點，、分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上一點(1)求的最大值、最小值及對應(yīng)的點坐標(biāo)；(2)求的最小值及對應(yīng)

9、的點的坐標(biāo)分析：本題考查橢圓中的最值問題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是目標(biāo)函數(shù)當(dāng)，即代數(shù)方法二是數(shù)形結(jié)合，即幾何方法本題若按先建立目標(biāo)函數(shù)，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉(zhuǎn)化目標(biāo)，運用數(shù)形結(jié)合，就能簡捷求解解：(1)如上圖，設(shè)是橢圓上任一點，由，等號僅當(dāng)時成立，此時、共線由，等號僅當(dāng)時成立，此時、共線建立、的直線方程，解方程組得兩交點、綜上所述，點與重合時，取最小值，點與重合時，取最大值(2)如下圖，設(shè)是橢圓上任一點，作垂直橢圓右準(zhǔn)線，為垂足，由，由橢圓第二定義知，要使其和最小需有、共線，即求到右準(zhǔn)線距離右準(zhǔn)線方程為到右準(zhǔn)線距離為此時點縱坐標(biāo)與點縱坐標(biāo)相同為1，代入橢圓得滿足條

10、件的點坐標(biāo)說明：求的最小值，就是用第二定義轉(zhuǎn)化后，過向相應(yīng)準(zhǔn)線作垂線段巧用焦點半徑與點準(zhǔn)距互化是解決有關(guān)問題的重要手段4.參數(shù)方程應(yīng)用例1 求橢圓上的點到直線的距離的最小值分析：先寫出橢圓的參數(shù)方程，由點到直線的距離建立三角函數(shù)關(guān)系式，求出距離的最小值解：橢圓的參數(shù)方程為設(shè)橢圓上的點的坐標(biāo)為，則點到直線的距離為當(dāng)時，說明：當(dāng)直接設(shè)點的坐標(biāo)不易解決問題時，可建立曲線的參數(shù)方程例2 (1)寫出橢圓的參數(shù)方程；(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積分析：本題考查橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用為簡化運算和減少未知數(shù)的個數(shù)，常用橢圓的參數(shù)方程表示曲線上一點坐標(biāo)，所求問題便化歸為三角問題解：(1) (2)設(shè)橢圓內(nèi)接矩形面

11、積為，由對稱性知，矩形的鄰邊分別平行于軸和軸，設(shè)為矩形在第一象限的頂點，則故橢圓內(nèi)接矩形的最大面積為12說明：通過橢圓參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，一般地，與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，用參數(shù)方程形式較簡便例3橢圓與軸正向交于點，若這個橢圓上總存在點，使(為坐標(biāo)原點)，求其離心率的取值范圍分析：、為定點，為動點，可以點坐標(biāo)作為參數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為點坐標(biāo)的一個等量關(guān)系，再利用坐標(biāo)的范圍建立關(guān)于、的一個不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式為減少參數(shù)，易考慮運用橢圓參數(shù)方程解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程是，則橢圓上的點，即，解得或，（舍去），又，又，說明：若已知橢圓離心率范圍，求證在橢圓上總存在點使如何證明？5.相交情況

12、下-弦長公式的應(yīng)用例1 已知橢圓及直線（1）當(dāng)為何值時，直線與橢圓有公共點？（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程解：（1）把直線方程代入橢圓方程得 ，即，解得（2）設(shè)直線與橢圓的兩個交點的橫坐標(biāo)為，由（1）得，根據(jù)弦長公式得 ：解得方程為說明：處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問題及有關(guān)弦長問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別這里解決直線與橢圓的交點問題，一般考慮判別式；解決弦長問題，一般應(yīng)用弦長公式用弦長公式，若能合理運用韋達(dá)定理（即根與系數(shù)的關(guān)系），可大大簡化運算過程例2 已知長軸為12，短軸長為6，焦點在軸上的橢圓，過它對的左焦點作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點，求弦的長分析：可以利

13、用弦長公式求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點半徑來求解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解因為，所以因為焦點在軸上，所以橢圓方程為，左焦點，從而直線方程為由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：設(shè)，為方程兩根，所以， 從而(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解由題意可知橢圓方程為，設(shè)，則，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以(法3)利用焦半徑求解先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程求出方程的兩根，它們分別是，的橫坐標(biāo)再根據(jù)焦半徑，從而求出6.相交情況下點差法的應(yīng)用例1 已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓與直線交于、兩點，為中點，的斜率為0.25，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程解：由題意，設(shè)橢

14、圓方程為，由，得，為所求說明：（1）此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；（2）直線與曲線的綜合問題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來解決弦長、弦中點、弦斜率問題例2 已知橢圓，求過點且被平分的弦所在的直線方程分析一：已知一點求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為，利用條件求解法一：設(shè)所求直線的斜率為，則直線方程為代入橢圓方程，并整理得由韋達(dá)定理得是弦中點，故得所以所求直線方程為分析二：設(shè)弦兩端坐標(biāo)為、，列關(guān)于、的方程組，從而求斜率：解法二：設(shè)過的直線與橢圓交于、，則由題意得得 將、代入得，即直線的斜率為所求直線方程為說明：（1）有關(guān)弦中點的問題，主要有三種類型：過定點且被定點平分的弦；平行弦的中點軌跡；過

15、定點的弦中點軌跡（2）解法二是“點差法”，解決有關(guān)弦中點問題的題較方便，要點是巧代斜率（3）有關(guān)弦及弦中點問題常用的方法是：“韋達(dá)定理應(yīng)用”及“點差法”有關(guān)二次曲線問題也適用例3 已知橢圓，（1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點、，為原點，且有直線、斜率滿足，求線段中點的軌跡方程 分析：此題中四問都跟弦中點有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法解：設(shè)弦兩端點分別為，線段的中點，則得由題意知，則上式兩端同除以，有，將代入得（1）將，代入，得，故所求直線方程為： 將代入橢圓方程得，符合題意，為所

16、求（2）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（3）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（4）由得 ： ， ， 將平方并整理得， ， ， 將代入得： ， 再將代入式得： ， 即 此即為所求軌跡方程當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還可用其它方法解決例4 已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上有不同的兩點關(guān)于該直線對稱分析：若設(shè)橢圓上，兩點關(guān)于直線對稱，則已知條件等價于：(1)直線；(2)弦的中點在上利用上述條件建立的不等式即可求得的取值范圍解：(法1)設(shè)橢圓上，兩點關(guān)于直線對稱，直線與交于點的斜率，設(shè)直線的方程為由方程組消去得。于是，即點的坐標(biāo)為點在直線上，解得將式代入式得，是橢

17、圓上的兩點，解得(法2)同解法1得出，即點坐標(biāo)為，為橢圓上的兩點，點在橢圓的內(nèi)部，解得(法3)設(shè)，是橢圓上關(guān)于對稱的兩點，直線與的交點的坐標(biāo)為，在橢圓上，兩式相減得，即又直線，即。又點在直線上，。由，得點的坐標(biāo)為以下同解法2.說明：涉及橢圓上兩點，關(guān)于直線恒對稱，求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，可以采用列參數(shù)滿足的不等式：(1)利用直線與橢圓恒有兩個交點，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式，建立參數(shù)方程(2)利用弦的中點在橢圓內(nèi)部，滿足，將，利用參數(shù)表示，建立參數(shù)不等式例5 已知是直線被橢圓所截得的線段的中點，求直線的方程分析：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去(或)，得到關(guān)于(或)的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，直接求出，(或，)的值代入計算即得并不需要求出直線與