高中數(shù)學(xué)奧林匹克競賽講座：33三角函數(shù)

1、競賽講座33三角函數(shù)幾何中的兩個(gè)基本量是：線段的長度和角的大小.三角函數(shù)的本質(zhì)就是用線段長度之比來表示角的大小，從而將兩個(gè)基本量聯(lián)系在一起，使我們可以借助三角變換或三角計(jì)算來解決一些較難的幾何問題.三角函數(shù)不僅是一門有趣的學(xué)問，而且是解決幾何問題的有力工具.1  角函數(shù)的計(jì)算和證明問題在解三角函數(shù)問題之前，除了熟知初三教材中的有關(guān)知識(shí)外，還應(yīng)該掌握：（1）三角函數(shù)的單調(diào)性 當(dāng)a為銳角時(shí)，sina與tga的值隨a的值增大而增大；cosa與ctga隨a的值增大而減??；當(dāng)a為鈍角時(shí)，利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)討論.注意到sin45°=cos45°=,由(1可知,當(dāng)時(shí)

2、0a45°時(shí),cosasina;當(dāng)45°a90°時(shí),cosasina.(2三角函數(shù)的有界性|sina|1,|cosa|1,tga、ctga可取任意實(shí)數(shù)值（這一點(diǎn)可直接利用三角函數(shù)定義導(dǎo)出）.例1（1986年全國初中數(shù)學(xué)競賽備用題）在ABC中，如果等式sinA+cosA=成立，那么角A是（   ）（A）銳角    （B）鈍角    （C）直角分析  對(duì)A分類，結(jié)合sinA和cosA的單調(diào)性用枚舉法討論.解當(dāng)A=90°時(shí)，sinA和cosA=1；當(dāng)45°A90

3、°時(shí)sinA，cosA0，sinA+cosA當(dāng)A=45°時(shí)，sinA+cosA=當(dāng)0A45°時(shí)，sinA0,cosAsinA+cosA1, 都大于.淘汰（A）、（C），選（B）.例2（1982年上海初中數(shù)學(xué)競賽題）ctg67°30的值是（   ）（A）-1    （B）2-   （C）-1（D）       （E）分析  構(gòu)造一個(gè)有一銳角恰為67°30的Rt，再用余切定義求之.解  如圖36-1，

4、作等腰RtABC，設(shè)B=90°，AB=BC=1.延長BA到D使AD=AC，連DC，則AD=AC=，D=22.5°,DCB=67.5°.這時(shí)，ctg67°30=ctgDCB=選(A.例3(1990年南昌市初中數(shù)學(xué)競賽題如圖,在ABC中,A所對(duì)的BC邊的邊長等于a,旁切圓O的半徑為R,且分別切BC及AB、AC的延長線于D，E，F(xiàn).求證:Ra·x+a=y+b,       且BH=a,BD=x,HC=y,DC=b.于是,x-a=y-b.    

5、0;   +得,x=y.從而知a=b.GE=BC=a.設(shè)O半徑為r.顯然R+rOO (當(dāng)AB=AC時(shí)取等號(hào).作OMEO于M,則OM=GE=a,OOM=R+r兩式相加即得R.例4（1985年武漢等四市初中聯(lián)賽題）凸4n+2邊形A1A2A3A4n+2（n為自然數(shù)）各內(nèi)角都是30°的整數(shù)倍，已知關(guān)于x的方程：x2+2xsinA1+sinA2=0               x2+2xsinA2+sinA3=0  

6、             x2+2xsinA3+sinA1=0               都有實(shí)根，求這凸4n+2邊形各內(nèi)角的度數(shù).解各內(nèi)角只能是、，正弦值只能取當(dāng)sinA1=時(shí)，sinA2sinA3方程的判別式1=4（sin2A1-sinA2）440方程無實(shí)根，與已知矛盾，故sinA1.當(dāng)sinA1=時(shí)，sinA2，sinA3，方程的

7、判別式1=4（sin2A1-sinA2）=0.方程無實(shí)根，與已知矛盾，故sinA1=.綜上所述，可知sinA1=1，A1=.同理，A2=A3=.這樣其余4n-1個(gè)內(nèi)角之和為這些角均不大于又n為自然數(shù)，n=1,凸n邊形為6邊形,且   A4+A5+A6=4×定理   推論設(shè)  a、b、c、S與a、b、c、S.若我們?cè)谡?、余弦定理之前介紹上述定理和推論是為了在解三角形和用三角函數(shù)解幾何題時(shí)有更大的自由.（1）       解三角形例5（第37屆美國中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題）在圖36-3中

8、，AB是圓的直徑，CD是平行于AB的弦，且AC和BD相交于E，AED=,CDE和ABE的面積之比是(  .(Acos(Bsin(Ccos2(Dsin2(E1-sin解  如圖，因?yàn)锳BDC,AD=CB,且CDEABE,BE=AE,因此連結(jié)AD，因?yàn)锳B是直徑，所以ADB=在直角三角形ADE中，DE=AEcos.應(yīng)選(C.例6          (1982年上海初中數(shù)學(xué)競賽題如圖36-4,已知Rt斜邊AB=c, A=,求內(nèi)接正方形的邊長.解  過C作AB的垂線CH，分別與GF、

9、AB交于P、H，則由題意可得又ABCGFC，即（2）       三角法.利用三角知識(shí)（包括下一講介紹的正、余弦定理）解幾何問題的方法叫三角法.其特點(diǎn)是將幾何圖形中的線段，面積等用某些角的三角函數(shù)表示，通過三角變換來達(dá)到計(jì)算和證明的目的，思路簡單，從而減少幾何計(jì)算和證明中技巧性很強(qiáng)的作輔助線的困難.例7（1986年全國初中數(shù)學(xué)競賽征集題）如圖36-5，在ABC中，BE、CF是高，A=，則AFE和四邊形FBCE的面積之比是（  ）（A）      12（B）23（C）11（D）

10、34解   由BE、CF是高知F、B、C、E四點(diǎn)共圓，得AF·AB=AE·AC.在RtABE中，ABE=，SAFESFBCE=11.應(yīng)選(C.例8   (1981年上海中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題在ABC中C為鈍角,AB邊上的高為h,求證:AB2h.證明  如圖36-6,AB=AD+BD=h(ctgA+ctgB     C是鈍角,A+B,ctgBctg(-A=tgA.由、和代數(shù)基本不等式，得例9          （第18屆國際數(shù)學(xué)競賽題）已知面積為32cm2的平面凸四邊形中一組對(duì)邊與一條對(duì)角線之長的和為16cm.試確定另一條對(duì)角線的所有可能的長度.解   如圖36-7，設(shè)四邊形ABCD面積S為32cm2，并設(shè)AD=y,AC=x,BC=z.則x+y+z=16(cm由但S=32，sin=1,sin =1,且x-8=0.故=此處無圖例10