高考沖刺導數(shù)的單調(diào)性、極值點、極值、最值

1、微專題函數(shù)的單調(diào)性、極值點、極值、最值【考情分析】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題是高考考查的重要內(nèi)容之一，多在 選擇題、填空題的后幾題中出現(xiàn)，又t度中等，有時出現(xiàn)在解答題中.重點考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，對學生的分析問題的能力要求較高，考查考生的邏輯推理、 數(shù)學抽象的學科核心素養(yǎng).考點一 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【必備知識】1、函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)：一般的，函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系：在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)(1)如果f (x) 0,那么函數(shù)y f(x)在(a,b)單調(diào)遞增；(2)如果f (x) 0,那么函數(shù)y f (x)在(a,b)單調(diào)遞減；(3)如果

2、f'(x) 0,那么函數(shù)yf(x)在(a,b)上是常數(shù)函數(shù).2、由導數(shù)求單調(diào)區(qū)間的步驟求定義域.(2)求導數(shù).由導數(shù)大于0求單調(diào)遞增區(qū)問，由導數(shù)小于0求單調(diào)遞減區(qū)間.3、兩個條件f(x) 0是函數(shù)f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件. , _ .- 、. 、 -、 (2) f (x) 0是函數(shù)f(x)為減函數(shù)的必要不充分條件. * 1 一、/4、二點汪忠 (1)在函數(shù)定義域內(nèi)討論導數(shù)的符號兩個或多個增(減)區(qū)間之間的連接符號，不用“U何川”或用 和(3)區(qū)間端點可以屬于單調(diào)區(qū)問，也可以不屬于單調(diào)區(qū)間.【典型例題】ax2 1 .【例1】已知函數(shù)f(x) ln(x 1) ax當a 0時，討論函

3、數(shù)f(x)的單調(diào)性.x 1,2【解析】函數(shù)f (x) ln(x 1)-的定義域為x (1,),x 1, 2a 1、則 f (x)_21 2ax(x 1) (ax 1)2x 1(x 1)x(x )2a 1J,令f'(x) 0解得x芻，(x 1)2a,2a 1x當1即a=1時，f (x) 2 0恒成立，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,),a(x 1)當空1即a>1時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(曳，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,至二)， aaa當空1即0<a<1時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,), a綜上所述：當0 a 1時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,)；當a>1時，

4、f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(空，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,空)。 aa【方法歸納提煉素養(yǎng)】數(shù)學思想是分類討論思想，核心素養(yǎng)是數(shù)學運算.利用導數(shù)討論(證明)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)性的步驟求f'(x).(2)確認f (x)在(a,b)內(nèi)的符號.(3)得出結論：f '(x) 0時為增函數(shù),f'(x) 0時為減函數(shù).注:研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論.分類 的標準(D按導函數(shù)是否有零點分大類；(ii)在大類中再按導函數(shù)零點的大小比較分小類；(iii) 在小類中再按零點是否在定義域中分類.【類比訓練 1已知函數(shù) f (x) (x 1

5、)ex a ln(x 1) ax b, x 0,1.(1)討論f (x)的單調(diào)性；【解析】(1) f x x 1 ex a , x 1令 g x x 1 ex a , x 0,1 ,則g x x 2 ex 0 ,則g x在0,1上單調(diào)遞增，U若a1,則gx g 01a0iUfx x g x 0 ,則f x在0,1上單調(diào)遞增；x 1U若a 2e ,則g xg1 2ea0 ,則fxx- 0 ,則f x在0,1上單調(diào)遞減；x 1U若1 a2e,則g01 a 0,g 1 2ea0,又gx 在0,1上單調(diào)遞增，結合零點存在性定理知：存在唯一實數(shù)0,1 ,使得g x % 1ex0 a 0,當x 0,%時，

6、g x0,則fx0 ,則fx在0,x0上單調(diào)遞減，當x %,1時，g x0,則fx0 ,則fx在x0,1上單調(diào)遞增.綜上，當a 1時，f x在0,1上單調(diào)遞增；當a 2e時，f x在0,1上單調(diào)遞減；當1 a 2e時，存在唯一實數(shù)X00,1 ,使得xo 1 ex0 a,f X在0,X0上單調(diào)遞減，在X0,1上單調(diào)遞增.【類比訓練2已知函數(shù)f (x) ln x mx(m R).(1)若m=1,求曲線y f(x)在點P(1, 1)處的切線方程；(2)討論函數(shù)f(x)在(1,e)上的單調(diào)性.1 【解析】(1)右 m=1,則 f(x) lnx x , f (x) 1 ,x所以f'(1) 1 1

7、 0,所以切線的斜率為0,所以切線方程為y 1. 1(2)因為 f'(x) 1 m 1一mx,令 h(x) mx 1, h(x)是過點(0,1)的一次函數(shù)， x xU當m 0時，在(1,e)上h(x) 0, f'(x) 0 ,所以函數(shù)f (x)在(1,e)上單調(diào)遞增.U當m 0時，h(x)在(1,e)上是減函數(shù)，由h(x)的圖像可知， 1 一 1 .(D當一 e,即0 m 一時，x (1,e), h(x) 0, f (x) 0 ,所以函數(shù)f (x)在(1, e)上單調(diào)遞增； me11-,1,一一 11(ii)弟1 一 e,即-m 1時，在(1,) ± h(x) 0 ,

8、函數(shù)f (x)在(1,一)上單調(diào)遞增，在(一,e) memmm上h(x) 0 , f (x)在(工,e)上單調(diào)遞減； m一 1(iii)第 0 1,即 m 1 時，x (1,e), h(x) 0, f (x) 0 ,函數(shù) f (x)在(1,e)上單調(diào)遞減 m考點二利用導數(shù)求函數(shù)的極值(點)【必備知識】1、函數(shù)的極值與導數(shù)若函數(shù)y f(x)在點x a處的函數(shù)值f(a)比它在x a附近的其他值都小，f (a) 0 ,并 且在x a的左側f '(x) 0,在x a的右側f '(x) 0 ,那么點x a叫做函數(shù)y f(x)的極小值 點，f (a)叫做函數(shù)的極小值.若函數(shù)y f(x)在點

9、x b處的函數(shù)值f(b)比它在x b附近的其他值都&f (b) 0,并且在x b的左側f (x)。，在x b的右側f (x) 0,那么點x b叫做函數(shù)y f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)的極小值.注：極值點一點是方程f (x) 0的根；但方程f (x) 0的根不一定是函數(shù)的極值點。2、求函數(shù)f(x)的極值的方法步驟(1)求函數(shù)的定義域；(2)求導函數(shù)f (x),并分解因式(3)解方程f'(x) 0的根；(4)列表判斷在各極值點左、右兩側導函數(shù)f(x)的符號及函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(5)下結論，寫出極值(點).【典型例題】例 2已知 f (x) ex,g(x) in x(1)

10、令h(x) f (x) g(x),求證：h(x)有唯一的極值點；(2)若點A為函數(shù)f(x)上的任意一點，點 B為函數(shù)g(x)上的任意一點，求 A,B兩點之間距離的最小值.【解析】(1)證明：由題意知h(x) ex lnx,所以h(x) ex -, x由y ex單調(diào)遞增，y 1在(0,)上單調(diào)遞減， x所以h(x)在(0,)上為單調(diào)遞增，又 h 17e 2 0, h(1) e 1 0 ,2所以存在唯一的xo1,1,使得h (x0) 0,2當x (0, xO)時，h (x) 0 , h(x)單調(diào)遞減；當x (%,)時，h (x) 0 , h(x)單調(diào)遞增,所以h(x)有唯一的極值點.(2)解：由f

11、 (x) ex,則f (x)在點(0, 1)處的切線為y x 1,又g(x) lnx,則g(x)在點(1, 0)處的切線為y x 1 ,由于f(x) ex與g(x) Inx互為反函數(shù)，即函數(shù)圖象關于y x對稱，如圖, 故而A B兩點間的距離即為(0, 1)與(1, 0)之間的距離，所以 A B兩點間的距離的最小值為 2 .【方法歸納 提煉素養(yǎng)】數(shù)學思想是函數(shù)與方程思想，核心素養(yǎng)是邏輯推理利用導數(shù)研究函數(shù)極值的一般流程若函數(shù) 匕在rzn 口匕的取得極值，求嚴的值;（2）在（i）的條件下，當p卜寸,|一條成立，求困的取值范圍.又函數(shù)了飛廠二口 T處取得極值,實數(shù)國的取值范圍為【類比訓練2 若函數(shù)f

12、(x) x3 3ax2 3(a 2)x 4有極值，則a的取值范圍是.【解析】由題意得f'(x) 3x2 6ax 3(a 2),若函數(shù)有極值，則一元二次方程3x2 6ax 3(a 2) 0有兩個不同的實數(shù)根,即 (6a)2 4 3 3(a 2) 0,整理可得 36(a 1)(a 2) 0,據(jù)此可得a的取值范圍是a 減a 1.考點三利用導數(shù)求函數(shù)的最值【必備知識】1、函數(shù)的最值與導數(shù)(1)函數(shù)的最值存在性原理如果在區(qū)間a,b上函數(shù)f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上 一定有最大值和最小值。(1)函數(shù)在區(qū)間a,b上的最大值和最小值只可能出現(xiàn)在極值點或區(qū)間端點處。

13、2、求函數(shù)y f(x)在區(qū)間a,b上的最值的方法步驟(1)求導函數(shù)f(x),并分解因式；(2)解方程f (x) 0,求出所有可能的極值點；(3)求函數(shù)f(x)的各個極值與端點處的函數(shù)值f(a),f(b),比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值.3、記住兩個結論(1)若函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值點只有一個，則相應極值點為函數(shù)最值點.(2)若函數(shù)在閉區(qū)間a,b的最值點不是端點，則最值點亦為極值點.【典型例題】【例 3】已知 f(x) ln x x2 2ax,a R.若a 0,求f(x)在1,e上的最小值；(2)求f(x)的極值點。1 2x2，【解析】(1) f (x) ，因為x

14、1,e,所以f (x) 0所以f(x)在1,e上是減函數(shù)，x所以最小值為f (e) 1 e2(2)定義域為(0,) , f (x)22x 2ax 1x(X)o得與 a 7a 2,x2 a “'I 222因為 x1 0,x2 0,所以當 x (0,x2)時，f (x) 0,當 x (x2,W4f(x) 0所以f(x)在(0, x2)單調(diào)遞增，在(x2,)單調(diào)遞減,所以x2為極大值點，無極小值點?！痉椒w納 提煉素養(yǎng)】數(shù)學思想是函數(shù)與方程思想，核心素養(yǎng)是數(shù)學運算解決函數(shù)極值、最值問題的策略(1)求極值、最值時，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時,要討論參數(shù)的大小.求函數(shù)最值時，不可想當然地認為極值點就

15、是最值點，要通過比較才能下結論.(3)函數(shù)在給定閉區(qū)間上存在極值，一般要將極值與端點值進行比較才能確定最值【類比訓練11已知函數(shù)f(x) ax e(1)當a 1時,求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當a 0時,求函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上的最小值.x 1' x 2【解析】(1)當 a 1 時，f(x) ,x R,.-. f (x) ee令f (x) 0,解得x 2;令f (x) 0,解得x 2;f(x)在(，2)遞增，在(2,)遞減. ax 1. ' ax a 1_(2)由 f (x) 得，f (x) x,x 0,1,ee.，、一. 1,令 f (x) 0, - a 0,解得

16、x 1 - 1, a一1 一， 一一1 0時，即1 a 0時，f(x) 0對x 0,1恒成立， a f(x)在0,1遞增，f(x)min f(0)1；-1當0 1 1時，即a 1時，x, f (x), f (x)在0,1上的情況如下 ax01(0,1 一) a1 1 a1(1 一,1) a1_ ，f (x)0f(x)遞減極小值遞增f (X)minf(1ai 1e aa綜上,1 a0 時，“xin1 ,a 1 時，f(x)minaii _e a【類比訓練2】函數(shù)f(x)=ln x-x在區(qū)間(0,e上的最大值為A.i-eB.-1C.-eD.0【解析】選B.因為f'(x)一一 一一 r

17、9;一 一一 »>'當 x (0,1)時，f(x)0；當 x (1,e時，f(x)0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,e, 所以當x=1時,f(x)取得最大值ln1-1=-1.做高考真題提能力素養(yǎng)【選擇題組】【2017全國甲卷理科 T1J若x=-2是函數(shù)f(x)=( x2 +ax-1)ex 1的極值點，則f(x)的極小值為()A.-1B.-2e 3C.5e3D.1【解析】選 A.由題可得 f(x)=(2x+a) ex 1+(x2+ax-1)ex1= x2+(a+2)x+a-1 ex 1,因為 f(-2)=0，所以 a=-1,f(x)=( x2

18、-x-1)ex1,故 f(x)=( x2+x-2)ex1,令f(x)>0,解得x<-2或x>1,所以f(x)在(-8-2)和(1,+ oo上單調(diào)遞增，在(-2,1)上單調(diào)遞減，所以 f(x)極小值為 f(1)=(1-1-1)e1 1=-1.【非選擇題組】1、【2019北京卷】 設函數(shù)f(x)=ex+ae-x(a為常數(shù)).若f(x)為奇函數(shù),則2=;若f(x)是R上的 增函數(shù)，則a的取值范圍是.【答案】-1 (。,0【解析】因為f(x)為奇函數(shù)，且f(x)的定義域為R,所以f(0)=0,所以e°+ae-0=0,解得a=-1.因為f(x)在R上為增函數(shù)，所以f(x)=e

19、x-3>0在R上恒成立，即20哥在R上恒成立， ex又因為e2x>0,所以a< 0,P a的取值范圍為(-°°,0.2、【2018全國卷I】 已知函數(shù)f(x)=2sin x+sin 2x,則f(x)的最小值是.【答案】-323 2【解析】因為f(x+2冗)=2sin(x+2冗)+sin(2x+4冗所徵)2冗是函數(shù)f(x)的一個周期，不妨取區(qū)間0,2 M行分析.f(x)=2cos x+2cos 2x=4cosx+2cos x-2,令 f(x)=0,解得 cos x§或 cos x=-1.當x在0,2日變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表：兀L

20、0?37t5兀一37tf(x) f(x) 可知函數(shù)f(x)在0,2極大值極小值小的極小值即為函數(shù)f(x)在定義域上的最小值,5所以 f(x) min=f(-35103V3兀=2sin3九+si中九=.3、【2018江蘇卷】若函數(shù)f(x)=2x3-ax2+1(aC R)在(0,+沖j有且只有一個零點，則f(x)在-1,1上的最大值與最小值的和為【答案】-3【解析】由題意得，f(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).當 a00時,對任意 xC (0,+ oo),f(x)>0,則函數(shù)f(x)在(0,+ 是增函數(shù)，則f(x)>f(0)=1,則f(x)在(0,+f沒有零點，不滿足題意，舍去

21、.時,f(x)>0,當 a>0時，令 f(x)=0 及 乂>0,得乂=：,則當 xcl。?時,f(x)<0,當 x 33a3，+因此函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，a),單調(diào)遞增區(qū)間是ccc3在x=3處f(x)取得極小值f(3)=-27+1.而函數(shù)f(x)在(0,+有且只有一個零點，所以*卞=-2+1=0，解得a=3,32 7因止匕 f(x)=2x3-3x2+1，貝U f(x)=2x(3x-3).令 f(x)=0，結合 x -1,1,得 x=0 或 x=1.而當xC (-1,0)時,f(x)>0,當xC (0,1)時,f(x)<0,則函數(shù)f(x)在(-1,

22、0)上是增函數(shù)，在(0,1)上是減函數(shù),所以 f(x) max=f(0)=1.又 f(-1)=-4,f(1)=0,所以 f(X)min=-4,故f(x)在-1,1上的最大值與最小值的和為-3.4、【2019全國卷U】已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b.(1)討論f(x)的單調(diào)性.(2)是否存在a,b,使得f(x)在區(qū)間0,1的最小值為-1且最大值為1%存在，求出a,b的所有值;若不 存在，說明理由.【解析】(1)f (x)= 6x2-2ax=2x(3x-a).令 f(x)=0，得 x=0 或 x=?3若 a>0,則當 xU -oo0) i(?,+ oo)時,f(x)>0,當 xU

23、(0, ?)時,f(x)<0, 33故f(x)在(-可0),(?,+ 8用調(diào)遞增，在(0, 3?單調(diào)遞減；若a=0,f(x)在(-°°,+oo)單調(diào)遞增；?若 a<0,則當 xU(-oo-) u (0+oo)時,f(x)>0,當 xU(3,0)時,f(x)<0,故f(x)在(-8,? ,(0, + OO)單調(diào)遞增，在(?,0)單調(diào)遞減. 33(2)滿足題設條件的a,b存在.(i)當a00時，由知,f(x)在0,1單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0,1的最小值為f(0)=b,最大值為f(1)=2-a+b.此時a,b滿足題設條件當且僅當 b=-1,2-a+b

24、= 1,即a=0,b=-1.(ii)當a3時，由(1)知,f(x)在0,1單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間0,1的最大值為f(0)=b,最小值為 f(1)=2-a+b.此時a,b滿足題設條件當且僅當 2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.(iii)當0<a<3時，由(1)知,f(x)在區(qū)間0,1的最小值為f(?j =1+b,最大值為b或2-a+b.32 7,.?夕3 ,一一右-27+b= -1,b= 1,則 a=3v2,與 0<a< 3 矛盾.若-27+b= -1,2-a+b= 1,則 a=3v3或 a=-3v3或 a=0,與 0<a< 3 矛盾.綜上，當

25、且僅當a=0,b=-1或a=4,b=1時,f(x)在區(qū)間0,1的最小值為-1且最大值為1.5、【2019 江蘇卷】設函數(shù) f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c U R,f(x)f(x)的導函數(shù).若a=b=c,R4)=8，求a的值；若aw b,b=d f(x)和f(x)的零點均在集合-3,1,3中，求f(x)的極小值;若a=0,0<b < 1,c=X f(x)的極大值為M,求證:MW，.【解析】(1)因為 a=b=c,所以 f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=(x-a)3.因為 f(4)=8,所以(4-a)3=8,解得 a=2.(2)因為 b=c,所以 f(x)

26、=(x-a)(x-b)2=x3-(a+2b)x2+b(2a+b)x-ab2,從而 f(x)=3(x-b)(x-等-).令 f(x)=0，得 x=b 或 x=2a+b-.因為a,b,等都在集合-3,1,3中，且awb,2a+b所以=1,a=3,b=-3. 3此時,f(x)=(x -3)(x+3)2,f(x)=3(x+3)(x -1).令f(x)=0,得x=-3或x=1.列表如下:x(-OO-3)-3(-3,1)1(1,+f(x)+0-0+f(x)U極大值u極小值u所以 f(x)的極小值為 f(1)=(1 -3) X (1+3)=-32.(3)證明：因為 a=0,c=1 所以 f(x)=x(x -b)(x-1)=x3-(b+1)x2+bx, f(x)=3x 2-2(b+1)x+b.因為 0<b0 1 所以 A =4(b+12-12b=(2b-1)2+3>0,則f(x)有2個不同的零點，設為Xi,X2(X1<X2).由 f(x)=0，得 X1=b+1-；小=2=4. 33列表如下：x(-°0,x)X1(X1,X2)X2(X2,+ °°)f(x