線性代數(shù)4-特征值和特征向量

1、 線性代數(shù) 若矩陣 A 有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 p1 , p2 , Api = i pi , pn ,n 1 = n 推論 若 n 階矩陣 A 有 n 個(gè)不同的特征值，則 A 必能相似于對(duì)角矩陣 推論 設(shè) n 階矩陣 A 有 s 個(gè)不同的特征值 1 , 2 , , s 它們的(代數(shù)重?cái)?shù)分別為 n1 , n2 , , ns i = 1,2, pn 令 P = ( p1 p2 2 n1 + n2 + + ns = n 則矩陣 P 可逆，且 AP = P P 1 AP = 即 A 相似于對(duì)角矩陣 則矩陣 A 相似于對(duì)角矩陣 與每個(gè) ni 重特征值i 對(duì)應(yīng)，恰有ni個(gè)線性無(wú)關(guān) 的特征向量 ( i

2、 = 1,2, ,s 推論 實(shí)對(duì)稱矩陣必能相似于對(duì)角矩陣 435 即 434 判斷 n 階矩陣 A 能否相似于對(duì)角矩陣、求其相似 對(duì)角矩陣 , 及可逆矩陣 P 使 P 1 AP = 的步驟： (3 對(duì)每個(gè)i求出(i E A X = 0的基礎(chǔ)解系 i 1 , i 2 , , in 令 P = ( 11 , 12 , 1 i i = 1,2, , 1n1 , ,s , sns (1 求出矩陣 A 的所有不同的特征值 1 , 2 , , s 及它們的重?cái)?shù) n1 , n2 , , ns ( n1 + n2 + + ns = n (2 對(duì)于每個(gè)特征值 i , 解方程組(i E A X = 0 若對(duì)某個(gè)i

3、 ,(i E A X = 0的線性無(wú)關(guān)的解的個(gè)數(shù)< ni (即與i 對(duì)應(yīng)沒有ni 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 即 r (i E A > n ni 則矩陣 A 不能相似于對(duì)角矩陣 若對(duì)每一個(gè)ni 重特征值i , (i E A X = 0都有ni 個(gè) 線性無(wú)關(guān)的解, 則矩陣 A 能相似于對(duì)角矩陣 436 437 , s 1 , s 2 , s 則 1 1 P AP = n1 1 s ns s 【例】判斷下列矩陣 A 是否能相似于對(duì)角矩陣？ 若能相似于對(duì)角矩陣，求相似變換陣 P ，使 P 1 AP = 2 1 ( E A X = 0 的基礎(chǔ)解系為 1 , 0 0 1 0 1 1 (1 1 0

4、0 A = 2 5 2 2 4 1 (3 E A X = 0的基礎(chǔ)解系為 【解】 A 的特征多項(xiàng)式為 | E A |= ( 3( 12 故 A 有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,因而能相似于 對(duì)角矩陣 特征值為 1 = 3, 2 = 3 = 1 438 439 74 線性代數(shù) 令 0 2 1 P = 1 1 0 1 0 1 3 P 1 AP = 1 1 (2 1 1 0 A = 4 3 0 1 0 2 2 則 【解】 A 的特征多項(xiàng)式為| E A |= ( 2( 1 1 ( E A X = 0 的基礎(chǔ)解系為 2 個(gè)數(shù) < 2 1 特征值為1 = 2, 2 = 3 = 1 因而， A 不能相似于對(duì)

5、角矩陣 440 441 (3 1 0 0 A = 0 3 0, 0 0 2 1 1 0 B = 0 2 1 0 0 3 令 1 1 1 Q = 0 2 1 0 2 0 則 1 =A Q 1 BQ = 3 2 【解】 矩陣 B 有 3 個(gè)不同的特征值 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3 因而 B 能相似于對(duì)角矩陣A 令 B與1 = 1, 2 = 2, 3 = 3對(duì)應(yīng)的特征向量分別為 1 1 1 0 , 1 , 2 0 0 2 442 443 1 1 1 2 1 P = Q 1 = 0 0 2 0 1 1 P 1 AP = B 則 【例】若n 階矩陣A 與B 有相同的特征值, 且各自有n 個(gè)

6、線性無(wú)關(guān)的特征向量, 則_. 【例】n 階矩陣A相似于矩陣B 的充要條件是_. (A A = B (C A B 【答】C (B A B , 但|A B| = 0 (D A 與 B 不一定相似, 但|A| = |B| , n 【解】設(shè)A , B 的特征值為1, 2, (A A 與B 都有n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 (B | I A | = | I B | (C A 與B都相似于對(duì)角矩陣 (D 存在可逆矩陣P , (P-1TAT = BT(P-1T 【答】D 【解】 -1TAT = BT(P-1T (P 由于A 與B 都有n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量, 1 2 A , B 其中 = n AB 444 (

7、AP-1T= (P-1BT AP-1= P-1B PAP-1= B 445 75 線性代數(shù) 【例】設(shè)矩陣A相似于矩陣B, 其中 1 1 1 2 0 0 A = 2 4 2 , B = 0 2 0 3 3 a 0 0 b 則_. 【例】 n 階矩陣A相似于對(duì)角矩陣的充要條件是_. (A a = 5, b = 6 (C a = -5, b = 6 【答】A (B a = -6, b = - 5 (D a = 5, b = - 6 (A A有n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 (B A有n 個(gè)互不相同的特征值 (C 1+ 2+ +n = trA (D A 可逆 【答】A 排除(C(D 【解】trA = 5 +

8、 a, trB = 4 + b; 由trA = trB b=a+1 a = 5 |A| = 6a 6 , |B| = 4b b = 6 由|A| = |B| 2b = 3a - 3 446 447 1 1 1 4 b , 且A有三個(gè)線性無(wú)關(guān) 【例】設(shè)矩陣 A = a 3 3 5 的特征向量, = 2 是二重特征值, 則a 和 b 分別為_. (A a = 2, b = 2 (B a =2, b = 2 (C a = 3, b = 1 (D a = 1, b = 3 【答】B 【解】由于A有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量, 故A可對(duì)角化 每個(gè)k 重特征值必有k 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 = 2 是二重特征值

9、 r (2 I A = 1 1 1 1 1 1 1 a 2 b 行變換 2I A = 0 a 2 a b 3 0 3 3 0 0 a=2,b=2 448 4 0 6 【例】已知實(shí)矩陣A = a 1 2a 可對(duì)角化, 且 2,1是 3 0 5 它的特征值, 則a = _. (A 6 【答】D (B 3 (C 3 (D 任意實(shí)數(shù) 【解】A 的特征值之和為1+2+3 = 4 + 1 + ( 5 = 0 故 1 是A的二重特征值 與 = 1 對(duì)應(yīng)A有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 3 0 6 r(I A = 1 I A = a 0 2a 3 0 6 449 【例】 設(shè)矩陣 3 1 0 3 0 0 3 0 1

10、A = 0 3 1 , B = 0 3 0 ,C = 0 3 0 0 0 3 0 0 3 0 0 3 則_. (A A B (B B C (C A C (D (A,(B, (C均不正確 【答】 D 【解】 A 有三重特征值 1 = 2 = 3 = 3 而 r (3 I A = 2, 即A 與3 對(duì)應(yīng)只有 1 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 因而 A 不能相似于對(duì)角矩陣 B 450 451 同理, r(3I C =1 C 與3 對(duì)應(yīng)只有 2 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 因而 C 不能相似于對(duì)角矩陣 B 若A C, 則 3I A 3I C r (3I A = r (3I C 但 r (3I A r (3I C 因

11、而 A 不能相似于C 76 線性代數(shù) 【例】 設(shè)矩陣 1 1 0 1 1 1 1 1 0 A = 0 0 1 , B = 0 0 0 , C = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 則_. r (0I B =1 矩陣B 與 = 0 對(duì)應(yīng)有兩個(gè) 線性無(wú)關(guān)的特征向量 0 0 0 B = 0 0 0 0 0 1 矩陣C 與 = 0 對(duì)應(yīng)有兩個(gè) 線性無(wú)關(guān)的特征向量 0 0 0 C = 0 0 0 0 0 1 (A A B (C B C 【答】C (B A C (D (A,(B, (C均不正確 r (0I C =1 【解】相似矩陣有相同的秩, 而 r ( A = 2, r ( B = 1,

12、r (C = 1 故(A,(B不正確 矩陣B,C 有相同的特征值 1 = 2 = 0, 3 = 1 452 B C (下頁(yè) 453 【例】 設(shè)三階方陣A 的特征值為1 = 1,2 = 4, 3 = 0, 對(duì)應(yīng)的特征向量分別為 1 = (1,0,0T , 2 = (0,1,0T , 3 = (0, 3,1T 則矩陣A=_. 1 0 0 (A 0 4 12 0 0 0 1 0 0 (C 0 4 12 0 0 0 1 (B 4 0 1 0 0 (D 0 4 0 0 12 0 【解】令 1 0 0 1 0 1 3 , = P= 4 0 0 1 0 1 2 3 則 P 1 AP = A = P P 1 (下頁(yè) 【答】A 454 455 1 = 1 = 0 0 1 1 1 3 4 1 3 1 0 1 0 0 4 12 0 0 【例】已知三階矩陣A 的 3 個(gè)特征值為1