幾何的教育價值

1、幾何的教育價值及地位如果說 ,數(shù)學(xué)是各國中小學(xué)課程中最為統(tǒng)一的一門學(xué)科的話,那么 ,幾何就是其中最不統(tǒng)一的一部分 ,其原因就在于幾何的多樣性。幾何的多樣性首先反映 在它的特征上 ,其中包括作為空間科學(xué)的幾何 ;作為概念和過程的直觀表示的幾何 ; 作 為數(shù)學(xué)理論與數(shù)學(xué)模型源泉的結(jié)合點的幾何 ;作為思維和理解的一種途徑的幾何 ;作為 演繹推理教學(xué)范例的幾何 ;作為應(yīng)用的工具的幾何等。其次反映在它的活動方式上。幾何活動一般涉及三種認(rèn)知過程:視覺、構(gòu)造、推理 ,每一種過程通常又涉及多個方面 ,如從視覺上看 ,有維度上的不同 , 結(jié)構(gòu)上的差 異 ,背景上的區(qū)分 ,位置上的變化 ;從構(gòu)造上看 ,有實驗性的

2、操作 , 直觀的構(gòu)造 ,概念的 形成 ,理論的構(gòu)建 ;從推理上看 , 包括直覺的推理 ,歸納的推理 ,非嚴(yán)格的自然推理 ,嚴(yán) 密的演繹推理。正因為如此 ,幾何既可以作為不同水平的創(chuàng)造活動的源泉 , 也可以成 為訓(xùn)練各種推理能力的場所 ;既可以作為日常生活中所必需的基礎(chǔ)知識 , 也可以成為 解決各種問題的工具。此外還反映在課程處理的途徑上。從認(rèn)知過程看 ,有操作的、直覺的、演繹的或 者分析的幾何 ;從課程結(jié)構(gòu)上看 ,有靜止的與動態(tài)的幾何 ;從課程形式上看 ,又可以分 為實驗幾何、歐氏幾何、仿射幾何、解析幾何、拓?fù)鋷缀?、非歐幾何等。幾何的多樣性帶來了幾何眾多的教育價值。從各國的研究情況看,幾何的教

3、育價值主要表現(xiàn)在以下幾個方面。1. 幾何有利于形成科學(xué)世界觀和理性精神 現(xiàn)代社會的一個顯著特征是 ,科學(xué)已經(jīng)成為社會的一個直接的生產(chǎn)力。因此,學(xué)校教育的一個重要方面是讓學(xué)生熟悉如何構(gòu)造科學(xué)理論的一個具體實例,熟悉科學(xué)的方法。在這點上 ,作為世界文明史上的一個科學(xué)系統(tǒng) ,幾何是極好的模型 , 因為幾何 從簡單而清楚的基礎(chǔ)出發(fā) ,運(yùn)用推理的方法 （以若干明顯的步驟 ）,有順序地導(dǎo)出一系列 重要的推斷 ,這些推斷不僅有著廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域 ,而且使人在這變幻 莫測的世界上體驗到數(shù)學(xué)的確定性。正如愛因斯坦所說:“世界第一次目睹了一個邏輯體系的奇跡。這個邏輯體系如此精密地一步一步推進(jìn),以致它的每一個命題都是

4、絕對不容置疑的我這里說的是歐幾里德幾何。 推理的這種可贊嘆的勝 利 ,使人類的理智獲得了取得以后成就所必需的信心。 ”因此 ,學(xué)校中的幾何教學(xué)有 助于學(xué)生科學(xué)世界觀的形成。俄羅斯 （包括東歐的一些國家 ）的幾何課程就比較重視 這一點。相比之下 ,西方所追求的理性精神則具有更為廣泛的意義,它不僅包括方法論的成分 （如科學(xué)的世界觀 ）, 也包括情感方面的因素（如科學(xué)的態(tài)度 ）。但即便如此 ,幾何也仍然是一個很好素材。而且,這種意義上的拓廣也有利于擺脫歐氏邏輯體系和演繹推理 （特別是傳統(tǒng)三段論 ）的框框。2. 幾何有助于培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣波利亞說過 ,數(shù)學(xué)教育的意義并不是要教會學(xué)生去使用數(shù)學(xué)知識 ,

5、而是要培養(yǎng)學(xué) 生的思維習(xí)慣 ,一種數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)。從這層意義上講 ,幾何是一種有效的訓(xùn)練手段。 幾何材料具有深刻的邏輯結(jié)構(gòu)、 豐富的直觀背景和鮮明的認(rèn)知層次。 通過幾 何的學(xué)習(xí)可以使學(xué)生學(xué)會利用不同途徑去解決問題,對幾何結(jié)果形成合理的猜想對數(shù)量結(jié)論進(jìn)行快速的估計,為解決具體問題提供直觀的模型,進(jìn)而養(yǎng)成推理嚴(yán)謹(jǐn)、言必有據(jù)和條理化的思維習(xí)慣。3. 幾何有助于發(fā)展演繹推理和邏輯思維能力這一點 ,在歐氏幾何兩千多年的歷史中已經(jīng)得到了充分的肯定。正如英國學(xué) 者費(fèi)克爾 （D. S. Fielker） 所說 :“歐幾里德的那些定理之所以重要 ,不是因為它是有 用的 ,能夠應(yīng)用的或它們本身的價值 ,而是因為他們

6、是演繹推理系統(tǒng)的自然發(fā)展的一 部分。”當(dāng)然 ,對于歐氏幾何在發(fā)展演繹推理和邏輯思維能力中的作用,我們還是應(yīng)該辨證地看待。首先 ,幾何在培養(yǎng)邏輯思維和演繹推理能力方面仍有著重要的作用,這是毫無疑問的。因為幾何要求對思維進(jìn)行系統(tǒng)的、較為嚴(yán)格的訓(xùn)練,這有利于對演繹推理有較深入的理解。 當(dāng)學(xué)生掌握了定義的作用并且學(xué)習(xí)只運(yùn)用這些定義而不運(yùn)用 他的直覺知識時 （這些知識常常凌駕于具有定義所呈現(xiàn)的性質(zhì)的對象上）, 當(dāng)他不得不謹(jǐn)慎地區(qū)分直覺的途徑、直覺的真實性和證據(jù)與推理的方法時,他就開始理解什么是論證。正是在幾何中 （而不是在代數(shù)中 ）產(chǎn)生的這種直覺和形式化的十分特殊的 聯(lián)系 ,使得幾何仍然成為啟發(fā)邏輯思維

7、和培養(yǎng)演繹推理能力的最有效的途徑。也正是因為這個緣故 ,幾何不能被當(dāng)作一個完全成熟的精確模型 ,而應(yīng)該作為一 種訓(xùn)練工具 ,使學(xué)生通過訓(xùn)練掌握邏輯思維和演繹推理的基本方法:如發(fā)現(xiàn)解決問題的“好”的策略 ;從特殊情形探索出一般結(jié)果;尋找命題的不同證明;逐步地形成理論等等其次 ,在初級階段 ,幾何作為一種訓(xùn)練邏輯思維與演繹推理的工具,有它的長處 , 它的內(nèi)容的直觀性、難度的層次性、真假的實驗性以及推理過程的可預(yù)見性, 使它成為訓(xùn)練邏輯思維與演繹推理的理想材料。但是 ,從本質(zhì)上來說 ,邏輯思維與演繹 推理不能依賴于直觀和直覺 ,因此 , 要使學(xué)生的邏輯思維水平達(dá)到較高層次 ,純符號推理的代數(shù)證明應(yīng)該

8、引起足夠的重視此外 ,歐氏綜合幾何也不能被認(rèn)為是中學(xué)中演繹方法的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)暮瓦壿嫷奈┮?模型。已有一些學(xué)者提出用邏輯學(xué)或數(shù)學(xué)的其他材料（如組合數(shù)學(xué)等 ）來代替幾何的教育功能 ,但 ICMI 的研究表明 ,到目前為止 ,還缺乏令人信服的證據(jù)和成功的實 驗。而相比之下 ,幾何材料則經(jīng)歷了上千年的千錘百煉。4. 幾何是一種理解、描述和聯(lián)系現(xiàn)實空間的工具按照 ICMI 的觀點 ,“幾何作為一種理解、描述和聯(lián)系現(xiàn)實空間的工具,也許是數(shù)學(xué)中最直觀、具體和真實的部分” 。當(dāng)數(shù)學(xué)的其他分支經(jīng)過多次的現(xiàn)代處理 而漸漸遠(yuǎn)離其生活源泉的時候幾何 （ 特別是歐氏綜合幾何 ） 仍保持著與現(xiàn)實空間 的直接的豐富的聯(lián)系。事實上

9、 ,初等歐氏幾何本身就是對現(xiàn)實空間質(zhì)樸地加以數(shù) 學(xué)化和直接應(yīng)用的結(jié)果。 幾何中幾乎所有概念都是在對物理空間的具體概念進(jìn)行 組織的過程中發(fā)展起來的。 這種局部組織對人類的日?；顒尤杂兄匾囊饬x。 學(xué) 生在他的一生中將面對具體的對象、具體的關(guān)系、具體的變換 ,它們可以分別形 象地表現(xiàn)為幾何的對象、幾何的關(guān)系、幾何的變換。通過這種生動的類比 ,學(xué)生能夠 建立實際情況的幾何模型 ,從而用概括化的數(shù)學(xué)方法去解決問題。5. 幾何能為各種水平的創(chuàng)造活動提供豐富的素材首先 ,幾何能夠為學(xué)生的個體活動提供豐富多采的問題和練習(xí)。可以說,沒有哪一門學(xué)科的練習(xí)題能像幾何習(xí)題這樣 ,從教育性和科學(xué)性兩方面都經(jīng)過了千錘

10、百煉 ,從而形成了許多突出的優(yōu)點 ,如幾何題的綜合性便于學(xué)生在研究時能夠借助 于觀察、實驗、類比、直覺和推理等多種手段;幾何題的層次性使得不同能力水平的學(xué)生都能從中得到益處 ;幾何題的啟發(fā)性可以使學(xué)生建立廣泛的聯(lián)系,并把幾何應(yīng)用于更多的領(lǐng)域 ;而幾何題的系統(tǒng)化則有利于學(xué)生長期地有計劃地進(jìn)行訓(xùn) 練。其次 ,幾何活動常常包含創(chuàng)造活動的各個方面,從構(gòu)造猜想、表述假設(shè)、提供證明、發(fā)現(xiàn)特例和反例 ,到最后形成理論 ,這些過程在各種水平的幾何活動中都可 以被發(fā)現(xiàn)。許多數(shù)學(xué)家都認(rèn)為 ,雖然古典幾何作為一門學(xué)科來說已經(jīng)死亡,但各種水平的幾何活動仍然是創(chuàng)造力的取之不盡的源泉。此外 ,創(chuàng)造活動的一個重要因素就是直

11、覺。一方面幾何直覺在數(shù)學(xué)活動中常 常起著關(guān)鍵的作用 ,代數(shù)的分析中出現(xiàn)的眾多的幾何術(shù)語表明 : 在某種意義上 ,幾何的 直覺已經(jīng)滲透到一切數(shù)學(xué)領(lǐng)域中 ,甚至在那些看來幾何是無所作為的領(lǐng)域內(nèi) , 幾何直 覺仍然保持有強(qiáng)盛的生命力 ,其原因就在于幾何直覺所能啟示的東西是重要的 ,可接近的和有趣的 ,并且可以警告我們不致在問題、思想和方法的廣闊沙漠中迷失方向。另一方面 ,隨著計算機(jī)的普及 ,幾何語言 （如圖形、表格、圖像等 ）已經(jīng) 成為日常生活中一種重要工具 ,從而也為幾何直覺在其他領(lǐng)域的廣泛遷移提供了條件。 正因為如此 ,弗賴登塔爾認(rèn)為 :“把這種從學(xué)生在物理空間的具體活動通過抽象、繪 圖、作出模

12、型的有限步驟達(dá)到幾何直覺的最高階段的道路清楚地描繪 出來是有巨大的教育學(xué)方面的好處的?？梢钥隙ǖ氖?道路是存在的 ,并且?guī)缀谓虒W(xué)的目標(biāo)之一應(yīng)該是按照使之成為學(xué)生數(shù)學(xué)思維的一種有效工具的道路,延長或改造原始的空間直覺” 。6. 幾何可以作為各種抽象數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的模型過去 100 年的數(shù)學(xué)史表明 ,今天的幾何既是線性代數(shù)的源泉也是其應(yīng)用的領(lǐng)域。 不僅如此 ,許多重要的數(shù)學(xué)理論 （如希爾伯特空間 ,拓?fù)鋵W(xué) ,測度論 ,群論 ,格論 , 微分 幾何和代數(shù)幾何等 ）都可以通過幾何的途徑以自然的方式組織起來 ,或者從幾 何模型中抽象出來。這些理論中的每一種都有它本身的幾何面貌,盡管它們中沒有一種在幾何面貌中是完善的。 這