(完整版)數(shù)學(xué)歸納法典型例題

1、數(shù)學(xué)歸納法典型例題【知識梳理】數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù) n 的命題的一種方法， 在高等數(shù)學(xué)中有著重要的用途，因而成為高考的熱點之一。 近幾年的高考試題， 不但要求能用數(shù)學(xué)歸納法去證明現(xiàn)代的結(jié)論， 而且加強了對于不完全歸納法應(yīng)用的考查， 既要求歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又要求能證明結(jié)論的正確性，因此，初步形成“觀察歸納猜想證明”的思維模式，就顯得特別重要。一般地，證明一個與正整數(shù)n 有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：（1）（歸納奠基）證明當n 取第一個值 n = n 0 時命題成立；（ 2）（歸納遞推）假設(shè) n = k（時命題也成立。）時命題成立，證明當只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n

2、 都成立。上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法是推理邏輯， 它的第一步稱為奠基步驟， 是論證的基礎(chǔ)保證，即通過驗證落實傳遞的起點， 這個基礎(chǔ)必須真實可靠； 它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證， 即只要命題對某個正整數(shù)成立， 就能保證該命題對后繼正整數(shù)都成立， 兩步合在一起為完全歸納步驟， 稱為數(shù)學(xué)歸納法， 這兩步各司其職，缺一不可，特別指出的是，第二步不是判斷命題的真?zhèn)危亲C明命題是否具有傳遞性， 如果沒有第一步， 而僅有第二步成立， 命題也可能是假命題?！疽c解析】1 、用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問題的關(guān)鍵在第二步，即nk1 時為什么成立，nk1 時成立是利用假設(shè) nk 時成立

3、，根據(jù)有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)結(jié)論推證出 nk1 時成立，而不是直接代入， 否則 nk1 時也成假設(shè)了，命題并沒有得到證明。用數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問題，但并不是所有的正整數(shù)問題都是用數(shù)學(xué)歸納法證明的，學(xué)習(xí)時要具體問題具體分析。2 、運用數(shù)學(xué)歸納法時易犯的錯誤（1）對項數(shù)估算的錯誤，特別是尋找n k與 nk1 的關(guān)系時，項數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯。（2）沒有利用歸納假設(shè)： 歸納假設(shè)是必須要用的， 假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就通不過去了。（3）關(guān)鍵步驟含糊不清，“假設(shè)nk 時結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明n k 1 時結(jié)論也成立”，是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，對推導(dǎo)

4、的過程要把步驟寫完整，注意證明過程的嚴謹性、規(guī)范性?！镜湫屠}】例 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：時，。解析： 當時，左邊，右邊，左邊 =右邊，所以等式成立。假設(shè)時等式成立，即有，則當時，所以當時，等式也成立。由，可知，對一切等式都成立。點評：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式，命題關(guān)鍵在于 “先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n 的取值是否有關(guān)，由到時等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項。（2）在本例證明過程中，（ I ）考慮“ n 取第一個值的命題形式”時，需認真對待，一般情況是把第一個值代入通項，考察命題的真假， （ II ）步驟在由到 的遞推過程中，必

5、須用歸納假設(shè)，不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法。本題證明時若利用數(shù)列求和中的拆項相消法，即，則這不是歸納假設(shè)，這是套用數(shù)學(xué)歸納法的一種偽證。（3）在步驟的證明過程中，突出了兩個湊字，一“湊”假設(shè)，二“湊”結(jié)論，關(guān)鍵是明確 時證明的目標，充分考慮由 到 時，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系。例2.。解析：（1）當時，左邊，右邊，命題成立。（2）假設(shè)當時命題成立，即，那么當時，左邊。上式表明當時命題也成立。由（ 1）（ 2）知，命題對一切正整數(shù)均成立。例 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于1 的自然數(shù) n，不等式成立。解析： 當時，左 =，右，左 右，不等式成立。假設(shè)時，不等式成立，即，那么當時，時，不等

6、式也成立。由，知，對一切大于1 的自然數(shù) n，不等式都成立。點評：（ 1）本題證明 命題成立時，利用歸納假設(shè)，并對照目標式進行了恰當?shù)目s小來實現(xiàn)，也可以用上歸納假設(shè)后，證明不等式成立。（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與非零自然數(shù)有關(guān)的命題時要注意兩個步驟缺一不可，第步成立是推理的基礎(chǔ)， 第步是推理的依據(jù)（即成立，則成立，另一方面，第步中，驗證3 等；第步中，證明成立， ，從而斷定命題對所有的自然數(shù)均成立）中的未必是 1，根據(jù)題目要求，有時可為時命題也成立的過程中，要作適當?shù)淖冃?，設(shè)法。2，用上歸納假設(shè)。例 4.若不等式對一切正整數(shù)n 都成立，求正整數(shù) a 的最大值，并證明你的結(jié)論。解析：取，。令所以取

7、，得，而，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，（1）時，已證結(jié)論正確（2）假設(shè)時，則當時，有，因為，所以，所以，即時，結(jié)論也成立，由（ 1）（ 2）可知，對一切，都有，故 a 的最大值為 25。例 5.用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被 9 整除。解析： 方法一：令，（1）能被 9 整除。（2）假設(shè)能被 9 整除，則能被 9 整除。由（ 1）（ 2）知，對一切，命題均成立。方法二：（ 1），原式能被 9 整除，（2）若，能被 9 整除，則時時也能被 9 整除。由（ 1），（ 2）可知，對任何，能被 9 整除。點評：證明整除性問題的關(guān)鍵是“湊項”，而采用增項、減項、拆項和因式分解等手段湊出時的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題

8、獲證。例 6.求證：能被整除，。解析： （1）當時，命題顯然成立。（2）設(shè)時，能被整除，則當時，。由歸納假設(shè)，上式中的兩項均能被整除，故時命題成立。由（ 1）（ 2）可知，對，命題成立。例 7.平面內(nèi)有 n 個圓，其中每兩個圓都交于兩點，且無三個圓交于一點，求證：這 n 個圓將平面分成個部分。解析： 時， 1 個圓將平面分成2 部分，顯然命題成立。假設(shè)時，個圓將平面分成個部分，當時，第 k+1 個圓交前面 k 個圓于 2k 個點，這 2k 個點將圓分成 2k 段，每段將各自所在區(qū)域一分為二，于是增加了2k 個區(qū)域，所以這k+1 個圓將平面分成個部分，即個部分。故時，命題成立。由，可知，對命題成

9、立。點評：用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項”，即幾何元素從k 個變成 k+1 個時，所證的幾何量將增加多少， 這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析，在實在分析不出來的情況下， 將 n=k+1 和 n=k 分別代入所證的式子， 然后作差，即可求出增加量， 然后只需稍加說明即可， 這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題的一大技巧。例 8.設(shè)，是否存在關(guān)于自然數(shù)n 的函數(shù)，使等式對于的一切自然數(shù)都成立？并證明你的結(jié)論。解析： 當時，由，得，當時，由，得，猜想。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當時，等式恒成立。當時，由上面計算知，等式成立。假設(shè)成立，那么當時，當時，等式也成立。由知，對一切的自然數(shù) n，等式都成

10、立。故存在函數(shù)，使等式成立。點評：（ 1）歸納、猜想時，關(guān)鍵是尋找滿足條件的與 n 的關(guān)系式，猜想的關(guān)系未必對任意的都滿足條件，故需用數(shù)學(xué)歸納法證明。（2）通過解答歸納的過程提供了一種思路：可直接解出，即?！灸M試題】1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“當 n 為正奇數(shù)時， 能被 整除”時，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成A.假設(shè)時，命題成立B. 假設(shè)時，命題成立C. 假設(shè)時，命題成立D. 假設(shè)時，命題成立2. 證明 ，假設(shè) 時成立，當 1 時，左端增加的項數(shù)是A. 1項B.項C. k項D.項3.記凸 k 邊形的內(nèi)角和為，則凸邊形的內(nèi)角和（）A.B.C.D.4.某個命題與自然數(shù)n 有關(guān)，若時命題成立，那么可推得當時該

11、命題也成立，現(xiàn)已知當時，該命題不成立，那么可推得A.當時，該命題不成立B. 當時，該命題成立C. 當 n=4 時，該命題不成立D. 當 n=4 時，該命題成立5.用數(shù)學(xué)歸納法證明時，由到時，不等式左邊應(yīng)添加的項是A.B.C.D.6.（ 5 分）在數(shù)列中，且，2成等差數(shù)列（表示數(shù)列的前 n 項和），則，分別為 _；由此猜想_。7. （5 分）已知對一切都成立，那么 a=_， b=_， c=_。8. （ 14 分）由下列各式：， 你能得出怎樣的結(jié)論？并進行證明。9.（ 16 分）設(shè)數(shù)列滿足，。（1）證明：對一切正整數(shù)n 均成立；（2）令，判斷與的大小，并說明理由。10. （ 14 分）已知函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，。（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明（2）證明：。11.（16 分）（ 2006 年，江西）已知數(shù)列滿足：，且。（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：對一切正整數(shù)n，不等式恒成立?！驹囶}答案】1. B2. D3.