四年級奧林匹克數學基礎資料庫 第5講 棄九法

1、第5講 棄九法從第4講知道，如果一個數的各個數位上的數字之和能被9整除，那么這個數能被9整除；如果一個數各個數位上的數字之和被9除余數是幾，那么這個數被9除的余數也一定是幾。利用這個性質可以迅速地判斷一個數能否被9整除或者求出被9除的余數是幾。例如，3645732這個數，各個數位上的數字之和為364573230，30被9除余3，所以3645732這個數不能被9整除，且被9除后余數為3。但是，當一個數的數位較多時，這種計算麻煩且易錯。有沒有更簡便的方法呢？因為我們只是判斷這個式子被9除的余數，所以凡是若干個數的和是9時，就把這些數劃掉，如369，459，729，把這些數劃掉后，最多只剩下一個3（

2、如下圖），所以這個數除以9的余數是3。這種將和為9或9的倍數的數字劃掉，用剩下的數字和求除以9的余數的方法，叫做棄九法。一個數被9除的余數叫做這個數的九余數。利用棄九法可以計算一個數的九余數，還可以檢驗四則運算的正確性。例1 求多位數除以9的余數。分析與解：利用棄九法，將和為9的數依次劃掉。只剩下7，6，1，5四個數，這時口算一下即可?？谒阒?，7，6，5的和是9的倍數，又可劃掉，只剩下1。所以這個多位數除以9余1。例2 將自然數1，2，3，依次無間隔地寫下去組成一個數如果一直寫到自然數100，那么所得的數除以9的余數是多少？分析與解：因為這個數太大，全部寫出來很麻煩，在使用棄九法時不能逐個劃掉

3、和為9或9的倍數的數，所以要配合適當的分析。我們已經熟知123945，而45是9的倍數，所以每一組1，2，3，9都可以劃掉。在199這九十九個數中，個位數有十組1，2，3，9，都可劃掉；十位數也有十組1，2，3，9，也都劃掉。這樣在這個大數中，除了0以外，只剩下最后的100中的數字1。所以這個數除以9余1。在上面的解法中，并沒有計算出這個數各個數位上的數字和，而是利用棄九法分析求解。本題還有其它簡捷的解法。因為一個數與它的各個數位上的數字之和除以9的余數相同，所以題中這個數各個數位上的數字之和，與12100除以9的余數相同。利用高斯求和法，知此和是5050。因為5050的數字和為5050=10

4、，利用棄九法，棄去一個9余1，故5050除以9余1。因此題中的數除以9余1。例3 檢驗下面的加法算式是否正確：26384573521983674578512907225。分析與解：若干個加數的九余數相加，所得和的九余數應當等于這些加數的和的九余數。如果不等，那么這個加法算式肯定不正確。上式中，三個加數的九余數依次為8，4，6，8+4+6的九余數為0；和的九余數為1。因為01，所以這個算式不正確。例4 檢驗下面的減法算式是否正確：7832145-21679535664192。分析與解：被減數的九余數減去減數的九余數（若不夠減，可在被減數的九余數上加9，然后再減）應當等于差的九余數。如果不等，那么

5、這個減法計算肯定不正確。上式中被減數的九余數是3，減數的九余數是6，由（9+3）-66知，原題等號左邊的九余數是6。等號右邊的九余數也是6。因為66，所以這個減法運算可能正確。值得注意的是，這里我們用的是“可能正確”。利用棄九法檢驗加法、減法、乘法（見例5）運算的結果是否正確時，如果等號兩邊的九余數不相等，那么這個算式肯定不正確；如果等號兩邊的九余數相等，那么還不能確定算式是否正確，因為九余數只有0，1，2，8九種情況，不同的數可能有相同的九余數。所以用棄九法檢驗運算的正確性，只是一種粗略的檢驗。例5 檢驗下面的乘法算式是否正確：468769537447156412。分析與解：兩個因數的九余數

6、相乘，所得的數的九余數應當等于兩個因數的乘積的九余數。如果不等，那么這個乘法計算肯定不正確。上式中，被乘數的九余數是4，乘數的九余數是6，4624，24的九余數是6。乘積的九余數是7。67，所以這個算式不正確。說明：因為除法是乘法的逆運算，被除數=除數商+余數，所以當余數為零時，利用棄九法驗算除法可化為用棄九法去驗算乘法。例如，檢驗383801253=1517的正確性，只需檢驗1517253=383801的正確性。練習51求下列各數除以9的余數：（1）7468251； （2）36298745；（3）2657348； （4）6678254193。2求下列各式除以9的余數：（1）6723582564； （2）97256-47823；（3）27836451； （4）3477+265841。3用棄九法檢驗下列各題計算的正確性：（1）22822250616；（2）334336112224；（3）2337242