高等數(shù)學(xué)李偉版課后習(xí)題答案第四章

1、高等數(shù)學(xué)李偉版課后習(xí)題答案第四章習(xí)題41（A）1判斷下列敘述是否正確，并說明理由：（1）不定積分òf(x)dx是f(x)的一個(gè)原函數(shù)；（2）在不定積分的運(yùn)算性質(zhì)中，只有加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算法則而沒有乘法法則，因而遇到求乘積的不定積分時(shí)，可考慮是否能將被積函數(shù)“積化和差”，從而用加法法則分別求不定積分；（3）積分運(yùn)算與微分運(yùn)算是互逆運(yùn)算，因此對(duì)一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)一次，積分一次，不論兩種運(yùn)算的先后順序如何，最后的結(jié)果還是原來的函數(shù)；（4）切線的斜率同為f¢(x)的曲線有無數(shù)條，這些曲線的方程可以寫成y=f(x)+C（C為任意常數(shù)）的形式，要想有唯一解，還必須另外有能確定任意常數(shù)的條件

2、答：（1）不正確不定積分òf(x)dx的結(jié)果是f(x)的一個(gè)原函數(shù)再加一個(gè)任意常數(shù)C（2）正確這只是求乘積的不定積分方法之一，以后還會(huì)介紹其它方法（3）不正確先積分再求導(dǎo)，兩種運(yùn)算結(jié)果相互抵消，最后的結(jié)果還是原來的函數(shù)；但是，先求導(dǎo)再積分，兩種運(yùn)算結(jié)果不能相互抵消，最后的結(jié)果與原來的函數(shù)相差一個(gè)任意常數(shù)（4）正確這就是不定積分的幾何意義2驗(yàn)證函數(shù)y1=sin2x、y2=-cos2x、y3=-12cos2x都是同一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)，它們相互之間相差一個(gè)常數(shù)嗎？¢=(sin解：因?yàn)閥12x)¢=2sinxcosx=sin2x，2¢=(-cosx)¢=

3、-2cosx(-sinx)=sin2x， y2¢=(- y312cos2x)¢=212sin2x×2=sin2x， 2所以y1=sinx、y2=-cosx、y3=-12cos2x都是同一個(gè)函數(shù)sin2x的原函數(shù)根據(jù)原函數(shù)的性質(zhì)，它們彼此之間相差一個(gè)常數(shù)，其實(shí)由三角函數(shù)公式也可以得到它們彼此之間相差一個(gè)常數(shù)，事實(shí)上：y2=sin2x-1=y1-1，y3=sin2x-12=y1-123若òf(x)dx=xe-x+C，求函數(shù)f(x)解：等式òf(x)dx=xe-x+C兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得f(x)=(xe-x+C)¢=(1-x)e-x4一曲線

4、過點(diǎn)(1,0)，且在任一點(diǎn)M(x,y)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)平方的倒數(shù)，求該曲線方程解：設(shè)所求曲線為y=y(x)，由已知有y¢=1x2，則y=òxdx2=-1x+C， 1x再由曲線過點(diǎn)(1,0)，有0=-1+C，得C=1，所求曲線為y=1-5求下列不定積分：（1）ò(2ex+（3）ò(1-x21x)dx； （2）ò(11+x2-2sec222x)dx；2-sinx)dx； （4）ò4x-xtanx2xx；（5）ò1+3x+3x1+xdxx(1+x)22222x； （6）ò(1-x)dx；（7）ò； （

5、8）ò(1-x)x2dx；（9）òx-11x； （10）ò(x+1)(-1)dx；x-1xx（11）òe(2-解：（1）ò(2e+（2）ò(（3）ò(11+x2xxe-xxx)dx； （12）òx2x+1-3xxx×2x1x)dx=2òedx+2òdx-2secx)dx=ò1+xdxxdx=2e+lnx+C-2òsec2x2xdx=arctanx-2tanx+C1-x2-sinx)dx=òx-32-x2-òsin2xdx=arcsinx+cosx

6、+C（4）òx-xtanx-1222x2x=òdx-òsecxdx+òdx=-2x-tanx+x+C=x-2x-tanx+C（5）ò1+3x+3x1+x224x=ò1+xdx2+ò3xdx=arctanx+x+C ò4xdx=x-23（6）ò(1-x2)2dx=òdx-2òxdx+223x+315x+C5（7）òdxx(1+x)(1-x)x122=ò(1+x)-xx(1+x)-122222x=òxdx2-ò1+xdx2=-1x-arctanx+C

7、213（8）òdx=òxdx-2òx2dx+5òx2dx=2x2-2×233x2+25x2+C=2x(1-23x+15x)+C32（9）òx-1x-1x=ò(x-1)(x+1)x-11x=ò(x+1)dx=-132332x2+x+C=x(23x+1)+C1（10）ò(x+1)(x-x-1)dx=-òx3dx+òxdx=x2-34x4+C（11）òe(2-2x+1xxex)dx=xò(2e)dx-1xxòx-34dx=(2e)x1+ln22-x-4×

8、;4x+C（12）ò-3xxx×2x=2òdx-3ò()dx=2lnx+3×+C x2ln26若函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為sinx-e-x，求òf(x)dx解：因?yàn)閟inx-e-x是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，根據(jù)不定積分的定義，則òf(x)dx=sinx-e-x+C習(xí)題41（B）1一物體由靜止開始以初速度v0沿直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過t s后其加速度a(t)=2-后物體離開出發(fā)點(diǎn)的距離是多少？這時(shí)物體運(yùn)行的速度是多少？ 解：設(shè)時(shí)刻t時(shí)物體離開出發(fā)點(diǎn)的距離為s(t)，這時(shí)的速度為v(t)，2333t，求9 s由v¢(t)=a(

9、t)=2-t，則v(t)=ò(2-t)dt=2t-t2+C1，因?yàn)閠=0時(shí)，v=v0，得C1=v0；所以v(t)=2t-33223t2+v05由s¢(t)=v(t)=2t-23t2+v0，則s(t)=ò(2t-3t2+v0)dt=t-2415t2+v0t+C2，因?yàn)閠=0時(shí)，s=0，得C2=0，所以s(t)=t-s(9)=81-4´815+9v0=81524155t2+v0t+9v0，v(9)=18-18+v0=v02求下列不定積分：（1）òsecx(secx+tanx)dx； （2）ò（3）ò2cos（5）ò（7

10、）ò2dxsinxcos2dx22x；x2cos2xdx； （4）òx； （6）ò1+cos2xcos2xcos2；x；cosx+sinxsinx1+sinxx×sin2xx； （8）òdxx(1+x)42；（9）òx+1-1x x； （10）òxe-1x+1e3x解：（1）òsecx(secx+tanx)dx=（2）òdxsin2òsec222xdx+òsecxtanxdx=tanx+secx+Cxcosx22=ò(sin2x+cosx)dx2sinxcosx=ò

11、(sec22x+cscx)dx=tanx-cotx+C（3）ò2cos（4）ò（5）òx2dx=ò(1+cosdx2x)dx=x+sinx+C2dx1+cos2xòcosx=x=tanx+C2cos2xcosx+sinxcos2xòòcosx-sin2xcosx+sinx222x=ò(cosx-sinx)dx=sinx+cosx+C（6）òcosx×sinsinx1+sinx22xx=cosx-sincosx×sin2xxx=22(cosx-secx)dx=-tanx-cotx+C &

12、#242;（7）òx=òsinx(1-sinx)1-sin22xx=ò(tanxsecx-tan2x)dx=secx+dxò(1-sec2x)dx=x+secx-tanx+C22（8）ò=x(1+x)4=ò(1+x)-xx(1+x)1)dx=42x=13xò31x4-1x(1+x)22dxò(x-4-1x2+1x1+x2-+arctanx+C（9）ò=x+13x+132x=ò(x+1)(x32-x+1)x+1x5/3xò(xe3xx-x+1)dx=35-34x4/3+x+C2x（10）

13、ò-1e-1x=ò(e)+e+1dx=1x2xx(e)lne2+e+x+C=xe2x2+e+x+Cx3若函數(shù)f(x)滿足f¢(x)=x+1x2，求f(x) 1解：由f¢(x)=x+=(x)+(x)2，得f¢(x)=x2+1x2，所以f(x)=òf¢(x)dx=ò(x+21x2)dx=1x33-1x+C4若函數(shù)f(x)滿足f¢(x)=6x+解：由f¢(x)=6x+1x2x2，求不定積分òf(x)dxf¢(x)dx=，有f(x)=1xò3ò(6x+1x2)dx

14、=3x-21x+C1，所以òf(x)dx=ò(3x-2+C1)dx=x-lnx+C1x+C2習(xí)題42（A）1判斷下列敘述是否正確，并說明理由：（1）用湊微分法所求的不定積分，被積函數(shù)必須具備、或能化成f(j(x)j¢(x)的形式； （2）用湊微分法求不定積分òf(x)dx時(shí)，其中dx中可以任意添加常數(shù)項(xiàng)或改變x的系數(shù)而成為d(ax+b)的形式，需要注意的是，這樣變換后被積函數(shù)需乘一個(gè)常數(shù)因子ax+bx+px+q21a；（3）形如òx的積分，積分結(jié)果一般為對(duì)數(shù)函數(shù)與反正切函數(shù)之和答：（1）正確但是f(u)必須有原函數(shù) （2）正確因?yàn)閐x=d(x+

15、a)，dx=d(ax+b)a（a¹0）總是成立的（3）不正確在很多時(shí)候結(jié)果中只有對(duì)數(shù)函數(shù)或只有反正切函數(shù)，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)有理函數(shù)事實(shí)上：2 當(dāng)p-4q<0，a=0時(shí)，òxax+b2+px+qx=bòd(x+p/2)(x+p/2)+q-p/422=2b4q-p2arctan2x+p4q-p2+C； 當(dāng)p2-4q<0，a¹0時(shí)，ax+b2òx+px+qx=aò2x2x+p2+px+qx+2b-ap2òx2dx2+px+q =a2ln(x+px+q)+22b-ap4q-parctan2x+p4q-p2+C； 特別，當(dāng)p2

16、-4q<0，a¹0，且2b=ap時(shí)，òxax+b2+px+qx=a2ln(x+px+q)+C；2 當(dāng)p2-4q=0，a=0時(shí)，òxax+b2+px+qx=ò(2x+2bp)(2x+p)=-22b2x+p+C； 當(dāng)p2-4q=0，a¹0時(shí)，òxax+b2+px+qx=2aò2x+p(2x+p)x+(-2ap+4b)ò2dx(2x+p)2 =aln2x+p+ap-2b2x+p+C；2 特別p-4q=0，a¹0，且ap=2b時(shí)，òxax+b2+px+qx=aln2x+p+C；2 當(dāng)p-4q>

17、;0，a=0時(shí)，òxax+b2+px+qx=bòdx(x+p/2)-(p/4-q)22 =bp-4q2ln2x+p-2x+p+p-4qp-4q22+C；2 當(dāng)p-4q>0，a¹0時(shí)，òxax+b2+px+qa2x=aò2x2x+p2+px+qx+2b-ap2òxdx2+px+q =ln(x+px+q)+22b-ap2p-4q2ln2x+p-2x+p+p-4qp-4q22+C； 當(dāng)p2-4q>0，a¹0，且2b=ap時(shí)， òax+bx+px+q2x=a2ln(x+px+q)+C22在下列各題中的橫線上填入

18、適當(dāng)數(shù)值，使得等號(hào)成立： （1）dx= d(1+x2)； （2）sin(9-2x)dx=dcos-(9x2；dx1+5x2（3）e-2xdx= d(e-2x)； （4）（5）òxf(x2)dx=解：（1）Qd(1+x2)=12=d(arc； 5 )ò22f(x)dx； （6）ò1xf(x)dx=òf(x)dxdx，dx=2d(1+x2)，填212（2）Qdcos(9-2x)=2sin(9-2x)dx，sin(9-2x)dx=（3）Qd(e-2x)=-2e-2xdx，d(e5dx1+5x2-2xdcos(9-2x)，填1212)=-12e-2xdx，填-1

19、512（4）Qd(arctan)=，dx1+5x2=152d(arctan)，填（5）Qò222f(x)dx=2òxf(x)dx，òxf(x)dx=12òf(x)dx，填22（6）Qòf(x)dx=12ò1xf(x)dx，ò1xf(x)dx=2òf(x)dx，填23求下列不定積分：（1）ò(1-2x)3dx； （2）òsin(1+3x)dx； （3）ò（5）òdx2x+1xdx； （4）ò 1+x2； （6）òxcos(2-3x2)dx；2（7）ò

20、;(1+x)+(1+x)dx； （8）ò3dxxsin2； x（9）ò1x2e1-1xdx； （10）ò22lnxx(lnx-1)earccotx2x；（11）òarcsinx1-xx； （12）ò1+xx；（13）òsinx×2+cosxdx； （14）òsin5xcos2xdx； （15）òsincos35xx3x； （16）òtanx×secxdx；（17）òsin2x×cos3xdx； （18）ò2x+3x+3x-10dx4x+4x+522sinx

21、+cosx(sinx-cosx)dx2x；（19）ò（21）ò（23）òx； （20）ò(x+1)(x-2)1-xx+2x+22； （22）òx；x-4(x-2)3x； （24）ò12x+1x+x33x解：（1）ò(1-2x)3dx=-（2）òsin(1+3x)dx=（3）òdx3ò(1-2x)d(1-2x)=-3181(1-2x)+C cos(1+3x)+C2413òsin(1+3x)d(1+3x)=-1/33=12x+1xdx(2x+1)ò21d(2x+1)=1234(2

22、x+1)3+C（4）ò=ò22d(2x)-(2x)2=arcsin2x+C（5）ò1+x2=121+x2òd(x)2=1212òd(1+x)1+x22=12ln(1+x)+C2（6）òxcos(2-3x)dx=òcos(2-3x)d(x)1622=-òcos(2-3x)d(2-3x)=-12216sin(2-3x)+C2（7）ò(1+x)=12+(1+x)dx=3ò33+(1+x)d(1+x)33ò3+(1+x)d1+(1+x)=32931+(1+x)2+C3（8）ò1xdx

23、xsin1-1x2x=2òcsc1x2xd(x)=-2cotx+C（9）ò2edx=òe1-d(-1x)=òe1-1xd(1-1x)=e1-1x+C（10）òlnxx(lnx-1)x=òlnx-1+1x=x(lnx-1)2òdxx+òd(lnx-1)lnx-13=lnx+lnlnx-1+C（11）òarcsin22xx=-xearccotx2òarcsinarccotxxdarcsinx=13arcsinx+C（12）ò1+xx=-òedarccotx=-earccotx+C

24、（13）òsinx×2+cosxdx=-ò2+cosxd(2+cosx)=-233(2+cosx)2+C（14）òsin5xcos2xdx=-ò(1-cos2x)2cos2xdcosx=-ò(cos6x-2cos4x+cos2x)dcosx=-17cos7x+1425cos5x-13cos3x+C（15）òsin35xcosxx=òtan3xsec2xdx=òtan3xdtanx=tan4x+C 13（16）òtan3x×secxdx=òtan122xdsecx=ò

25、(sec2x-1)dsecx=sec3x-secx+C（17）òsin2x×cos3xdx=110ò(sin125x-sinx)dx12cosx-110cos5x+Còsin5xd(10x)-2òsinxdx=（18）òsinx+cosxx=(sinx-cosx)2x+3ò2d(sinx-cosx)(sinx-cosx)2=3×sinx-cosx+C（19）òx+3x-10dx2x=òd(x+3x-10)x+3x-101x-21x+12=lnx+3x-10+C2（20）ò(x+1)(x

26、-2)dx4x+4x+52=131ò(-)dx=13lnx-2x+1+C（21）ò=ò4(x+1/2)d(x+1/2)2+1=14arctan(x+12)+C或：òdx4x+4x+51-x2=1ò2(2x+1)12d(2x+1)2+22=14arctan(x+12)+C（22）òx+2x+22x=-12òx22x+22+2x+2x+2òd(x+1)(x+1)+12 =2arctan(x+1)-ln(x+2x+2)+C（23）òx-4(x-2)x+1x+x33x=3ò1(x-2)12-2(x-2)

27、13d(x-2)=1(x-2)2-1x-2+C（24）òx=ò1+xx+12x(x+1)2-x+12dx=x+ò(x1-)dx-arctanx=x+12lnx221+x-arctanx+C習(xí)題42（B）1求下列不定積分： （1）ò（3）ò（5）òdx1-xdx1+sin4； （2）ò23dx1-x3；x；x； （4）òx； （6）òsinxsinx+cosxlntanxsinxcosxarctanxx(1+x)1+sin2xx+sindx1-x3dx4x；（7）ò2x12dx； （8）ò

28、;11-x21+lnx(xlnx)123dx解：（1）ò=ò(+11+x2)dx=141ln1+x1-x+arctanx+C（2）ò1-x3=ò(1-x)(1+x+x123dx2)=ò(1-x+x+21+x+x2)dx=-ln-x+ò1+x+x+1+2x2dx+32ò(x+1/2)+Cd(x+1/2)2+3/4 =12lnx+x+1(x-1)223arctan2x+13（3）òdx1+sin2x=òsindx2x×(cscdx2x+1)=-òdcotxcotdx2x+2=-22arct

29、ancotx2+C，或：òdx1+sin2x=ò2-cos=2212x=òcos2x(2sec2x-1) =ò2tandtanx2x+1arctan(2tanx)+C12sinx-cosxsinx+cosx（4）ò=sinxsinx+cosx12x-x=ò2(sinx+cosx)+(sinx-cosx)sinx+cosx=12x=ò(1+)dxòd(sinx+cosx)sinx+cosx(x-lnsinx+cosx)+C此題還有以下幾種作法： 記I1=òsinsinxx+cosxx，I2=òsi

30、ncosxx+cosxx， 則I1+I2= I1-I2=òsinòsinsinxsinx+cosxx+cosxx+cosxx=x=x+C，x=-òd(sinx+cosx)sinx+cosxsinx-cosx =-lnsinx+cosx+C，所以，ò 121212sinx+cosx(x-lnsinx+cosx)+C2òsinsinxx+cosxx=òsinxcosx-sincos2xx-sin(x-122xx=12ò12sin2x-1+cos2xcos2xx=ò(1+tan2x-sec2x)dx=12lncos2x-

31、lntan2x+sec2x)+C(x-lnsinx+cosx)+C ò=1212sinxsinx+cosxx=12òsin(x+p/4)-cos(x+p/4)sin(x+p/4)12x(òdx-òcot(x+p/4)d(x+p/4)=(x-lnsin(x+p/4)+C112ln2）(x-lnsinx+cosx)+C，（其中C=C1+dt1+t2 t=tanx，則x=arctant，dx=sinxx+cosx12tanxx，于是121+t1+t2òsin=12x=ò1+tan2x=ò(1+t)(1+t12tdt2)=ò

32、;(-11+t)dt (arctant+ln(1+t)-ln+t)+C=(x-lnsinx+cosx)+C.本題還可以用下一節(jié)的“萬(wàn)能代換”求解 （5）ò（6）òarctanxx=2òx=arctan1+(x)2x2x(1+x)lntanxx=2òarctanx=xd(arctanx)=(arctan2x)+C；tanxxtanx12=òlntanxd(lntanx)=(lntanx)+C2sinxcosxòcoslntanxòlntanxtanx)（7）ò1+sin2xx+sin1+lnx(xlnx)32dx=x

33、òd(x+sinx+sin22x)xdx=2x+sin2x+C（8）òdx=ò(xlnd(xlnx)x)3=-12(xlnx)2+C2已知函數(shù)f(x)滿足f¢(sin2x)=cos2x+tan2x，當(dāng)0<x<1時(shí)，求f(x)解：由f¢(sin2x)=cos2x+tanx1-x11-x2x=1-2sin11-x22x+sin2x21-sinx，有f¢(x)=1-2x+f(x)=-2x+，所以ò(-2x+)dx=-x-ln(1-x)+C習(xí)題43（A）1判斷下列敘述是否正確，并說明理由： （1）在求形如òdx

34、a-x22、òdxa+x22、òa-xdx的不定積分時(shí)都是采取令22x=asint作變量代換的三角換元法，從而把無理函數(shù)的積分轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)有理式的積分；（2）當(dāng)被積函數(shù)含有一個(gè)新的換元答：（1）不正確三個(gè)積分分別用三角代換x=asect、x=atant、x=asintax+bcx+d的根式時(shí)，為了變無理式為有理式，通常將ax+bcx+d看作（2）正確但是，有時(shí)也可以采用有理化的方法，如2求下列不定積分：1-x1+x=1-x1+x2等（1）òx34-x2dx； （2）òdxxx+1dxx(x+2)2dx(x+1)23；（3）ò； （4）

35、2;x1+x4-9xx；（5）ò； （6）ò2x；（7）ò2x+1x+2x+22x； （8）ò （9）òxdx3+2xx3； （10）ò1-xx；（11）òx+1x； （12）òdx21+x(1-x)解：（1）令x=2sint（x£p2），則dx=2costdt，于是3ò=x34-xdx=32312ò32costsin32tdt=32ò(cost-cost)dcost5242 325cost-5cost+C=2215(4-x)2-2433(4-x)2+C，23/221/222

36、或，原式=-15ò2x4-xd(4-x)=51ò(4-x2)-4(4-x)d(4-x)=(4-x)2-2433(4-x)2+C22（2）令x=tant（x<dx(x+1)23p2），則dx=sectdt，于是x+x2ò=òsecsect32tt=òcostdt=sint+C=2+C（3）令x=tant（x<dxxx+12p2），則dx=sectdt，于是1xx+1x2ò=òtantt=òcsctdt=lncott-csctsect+C=ln-+C或：當(dāng)x<0時(shí)，原式 =-òdxx2+(1

37、/x)2=òd(1/x)+(1/x)2=-ln1x+1x2+C=ln1x-x+1x2+C，當(dāng)x>0時(shí)，解法類似，結(jié)果相同 （4）當(dāng)x³3時(shí)，令x=3sect（0£t<x2p2），則dx=3secttantdt，于是 ò=x=ò3sect3x3tant×3secttantdt=3òtanx-9+3arcsin22tdt=3(tant-t)+C 3x3p2x-9-3arccos+C1=+C（其中C=C1-），當(dāng)x£-3時(shí)，令x=3sect，（xp2，則dx=3secttantdt，于是<t<p）

38、3xòx=-3òtan2tdt=-3(tant-t)+C=x-9-3arcsin2+C=32x-9+3arcsi+C，xx所以，對(duì)x³3，都有òdxx(x+2)1+x4-9x2x=x-9+3arcsin23x+C（5）ò=ò1313d(x+1)(x+1)-12=lnx+1+x(x+2)+C（6）òx=òd(3x)2-(3x)3x2-22-118òd(4-9x)4-9x222 =arcsin194-9x+C（7）ò2x+1x+2x+22x=òò2x+2x+2x+22x-

39、2;dxx+2x+22 =òd(x+2x+2)x+2x+2222x-d(x+1)(x+1)+12 =2x+2x+2-ln(x+1+x+2x+2)+C22（8）令2x=t，則x=t/2，dx=tdt,于是 ò=ò1+ttdt=ò(1-11+t)dt=t-ln(1+t)+C=2x-ln(1+2x)+C23（9）令+2x=t，則x=(t-1)/2，dx=3tdt/2，于是ò=xdx3+2x=òt-13t2t320322dt=3ò(t454-t)dt3t520-3t82+C=3(1+2x)-383(1+2x)2+C（10）令+x=t

40、，則x=t2-1，dx=2tdt，于是 ò2x=2òt(t+1)t-1t=2ò(t+2+2t-1)dt=t+4t+4lnt-1+C1=x+4+x+4ln +x-1+C（其中C=C1+1）（11）令x=t，則x=t6，dx=6t5dt，于是x3òx+1x=òtt36t28+1t=6ò(t-t+t-1+76421t+12)dt=6(t77-t55+3-t+arctant)+C=6(22x7-22x55+x3-6x+arctan6x)+C（12）令-x1+x=t，則x=1-t1+t2，x-1=-2t1+t，dx=-4tdt(1+t)22，于

41、是ò1-xdx21+x(1-x)=-òt(1+t)4t424t(1+t)22dt=-òdtt2=1t+C=1+x1-x+C習(xí)題43（B）1求下列不定積分： （1）òdxx+xx； （2）òdxxx-1x2；（3）ò2； （4）òx+2x+2dx2x；（5）ò+edx； （6）ò（7）òdx3+cosx(x+1)(x-1)dx24； （8）ò2+2cosx+3sinx解：（1）令x=sint（t<p/2），則dx=costdt，于是ò=òsint+cost12c

42、ostdt=12（B）1（2）解法） (t+lnsint+cost)+C（參見習(xí)題4-2=(arcsinx+lnx+-x2)+C（2）當(dāng)x>1時(shí)，令x=sect（0<t<p/2），則 dx=secttant dt，于是òdxxx-12=ò dt=t+C=arccos1x+C=arccos1x+C，當(dāng)x<-1時(shí)，令x=-u，則u>1，于是òdxxx-12=òduuu-12=arccos1u+C=arccos1-x+C=arccos1x+C，所以，對(duì)任何x>1，都有òdxxx-12=arccos1x+C或：當(dāng)x&

43、gt;1時(shí)，原式=òdxx2-(1/x)-dxx22=-òd(1/x)-(1/x)2=arccos1x+C=arccos1x+C，當(dāng)x<-1時(shí)，原式=ò-(1/x)2=òd(1/x)-(1/x)1x2=arcsin1x+C1=-arcsin(-1x)+C1=arccos+C（其中C=C1-p2）（3）òdxx+xx2=òd(x+1/2)(x+1/2)-(1/2)x=22=lnx+12+x+x+C2（4）òx+2x+22òò2x+22x+2x+22x-òdxx+2x+22 =òd(

44、x+2x+2)2x+2x+2x22-d(x+1)(x+1)+12=x+2x+2-arctan(x+1)+C2tdtt-122（5）令+e2=t，則x=ln(t-1)，dx=，于是 t-1t+1ò+edx=2òxtdtt-1x22=2ò(1+1t-1xx2)dt=2t+ln+C=2+e+ln1+e+e-1+1+C（6）x+1x-1=t，則x=2t-13+1，dx=-6tdt(t-1)322，于是322ò=-dx3(x+1)(x-1)24=ò(x+1)(x-1)32×x+1x-1221x+1x-1dx=ò(t-1)4t3

45、5;t×-6tdt(t-1)32 32òdt=-x232t+C=-+C（7）令tan=t，則cosx=1-t1+tdt，dx=2dt1+t2，于是ò3+cosxò4+2t（8）令tanx2dx=1+t22×2dt1+t2=ò2+t2t1+t2=12arctant222+C=12arctantan(x/2)2+C=t，則sinx=2，cosx=1-t1+t13xx，dx=2dt1+t2，于是ò2+2cosx+3sindxx=ò4+6t1+t2×2dt1+t2=ò2+3t1-1+dt=ln2+3t+

46、C=13ln2+3tanx2+C2如果函數(shù)y=f(x)在x點(diǎn)的增量Dy=×Dx+o(Dx)，求f(x)解：由Dy=1-1+1-1+xxxx×Dx+o(Dx)，得f¢(x)=1-1+xxx，所以f(x)=òxdx=ò1-x-x2x=òdx-x-ò1-xdx=-2-x-òx1-xdx對(duì)ò1-xx1-xdx，令x=sint（0<x<p2），則dx=2sintcostdt，于是òdx=2òsin2t×costcostt=ò(1-cos2t)dt=t-sintco

47、st-Cx-x2=arcsix-所以，f(x)=2x-x-C=arcsix-x+C-C，x-x-2-x-arcsin習(xí)題44（A）1判斷下列敘述是否正確，并說明理由：（1）當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)與其他函數(shù)乘積時(shí)，若把冪函數(shù)當(dāng)作u采用分部積分，將降低冪函數(shù)的指數(shù)從而使問題變得簡(jiǎn)單，因此當(dāng)對(duì)含有冪函數(shù)作因子的乘積采用分部積分時(shí)，應(yīng)將冪函數(shù)取作u；（2）若被積函數(shù)含有對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)作為因子，采用分部積分時(shí)，通常要將它們作為u答：（1）不正確在求冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)乘積的分部積分時(shí)，要將冪函數(shù)取為v¢，而將對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)取為u（2）正確如果將這兩類函數(shù)取為v¢，原函

48、數(shù)v不好找，但是它們的導(dǎo)數(shù)卻是簡(jiǎn)單的有理函數(shù)或無理函數(shù) 2求下列不定積分：（1）òxcosxdx； （2）ò(x+1)sinxdx； （3）òx2sin2xdx； （4）òx2e-xdx； （5）òln(1+x)dx； （6）òlnxxln32dx；（7）òxlnxdx； （8）ò2xxx；（9）òarcsinxdx； （10）òxarccosxdx； （11）òarctanxxx2dx； （12）òarctanxdx；2（13）òe 2sin2xdx； （14）&

49、#242;ln(x+1+x)dx. 解：（1）òxcosxdx=òxdsinx=xsinx-òsinx dx=xsinx+cosx+C（2）ò(x+1)sinxdx=-ò(x+1)dcosx=-(x+1)cosx+òcosxd(x+1)=-(x+1)cosx+òcosxdx=sin12x-(x+1)cosx+C（3）òxsin2xdx=-x22òx2dcos2x=-x22cos2x+òcos2xd(x22)=-2x2cos2x+òx2xcos2xdx=-x22cos2x+1xdsin2x ò2x2=-2cos2x+sin2x-12òsin2xdx=(14-2)cos2x+x2sin2x+C（4）òx2e-xdx=-òx2de-x=-x2e-x+ò