【教學案例】北師大九年級數(shù)學《船有觸礁的危險嗎》

1、1.4船有觸礁的危險嗎 教學案例一、教學目標1知識與技能(1)經(jīng)歷將實際問題轉化為數(shù)學問題的探索過程，并進一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的作用。(2)能分析和處理其中的復雜數(shù)據(jù)，并能借助計算器進行有關三角函數(shù)的計算。(3)能對某些實際問題結果的意義進行解釋、說明。(4)滲透方程思想，逐步學習利用數(shù)形結合思想分析問題和解決問題。2數(shù)學思考(1)培養(yǎng)學生面臨問題情境時，能夠從數(shù)學的角度去思考問題，并能從對具體問題的探索研究中提煉出數(shù)學思想方法。(2)經(jīng)歷觀察、發(fā)現(xiàn)、分析、推理、反思等數(shù)學活動過程，發(fā)展良好的思維品質(zhì)，能有條理地、清晰地闡述自己的數(shù)學見解。3解決問題(1)培養(yǎng)用三角函數(shù)解決與直角三

2、角形有關的實際問題的應用意識，培養(yǎng)建立合適的數(shù)學模型的能力；在此基礎上，學會從數(shù)學的角度提出問題、理解問題；并形成一些解決與直角三角形有關的實際問題的基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐能力與創(chuàng)新精神。(2)學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結果。(3)培養(yǎng)學生初步形成評價與反思的意識和良好的解題習慣。4情感態(tài)度認識到數(shù)學模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象，從而培養(yǎng)學生樂于了解數(shù)學、應用數(shù)學的態(tài)度；體驗數(shù)學活動充滿著探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學的嚴謹性以及數(shù)學結論的確定性，增強自主學習、合作學習意識；并在數(shù)學學習活動中獲得成功的體驗，在問題解決中鍛煉克服困難的意志。二、教材分析本節(jié)從實

3、際問題情境中抽象出的數(shù)學基本圖形均為“雙直角三角形”，比上節(jié)在“單直角三角形”中解決問題更為復雜。而“船是否有觸礁的危險”“想一想”“做一做”這三個問題又分別體現(xiàn)了同一類型問題的不同的解題策略。因此，本節(jié)教材的設計旨在引導學生對直角三角形邊角關系進行更深入的認識和運用。通過本節(jié)的學習，學生將進一步感受數(shù)學建模思想、方程思想和數(shù)形結合思想的應用，體會構造方程的手段和數(shù)形結合的方法。此外，學生將進一步體會到數(shù)學知識之間的聯(lián)系。三、學校及學生狀況分析我校雖地處農(nóng)村，但是普及多媒體教學較早，具備多媒體等演示設備的教學條件。在班級中已初步形成合作、交流、勇于探索與實踐的良好學風，學生已具有樂于幫助他人的

4、意識和精神境界，生生、師生之間互動的氣氛較濃。學生已初步學會從數(shù)學的角度提出問題、理解問題；已形成初步的評價與反思意識；具有嘗試尋找不同解決問題方法的實踐能力和創(chuàng)新精神。這些都為學生順利進行自主學習、形成解決問題的一般策略等奠定了基礎。四、教學設計(一)導入師：(出示課件，顯示“噴筒型煙花”正在向外噴射的情境)同學們，正月十五在家里放煙花了嗎?“火樹銀花不夜天”描述的就是元宵節(jié)燃放煙花的盛況。但觀看的時候要注意安全呀!若你是煙花的燃放者，點燃后至少要跑離煙花多遠才不至于有危險?生：跑到煙花噴射范圍之外的區(qū)域。師：那么，從數(shù)學的角度如何解釋不會有危險?生：人到噴筒的距離大于煙花的噴射半徑時，沒有

5、危險。(“教人未見其趣，必不樂學”，在教學中，教師往往需要展現(xiàn)數(shù)學的魅力。這樣導入會增強本節(jié)課的趣味性，有利于學習積極性的調(diào)動和求知欲的培養(yǎng)。當然，更主要的是在笑聲中，讓學生初步建立起點(直線)與圓的位置關系的較為形象的認識，為后續(xù)知識的學習做好鋪墊。)(二)創(chuàng)設情境，提出問題師：(出示教材“船有觸礁的危險嗎”的題目)好，那么請同學們判斷一下，這艘正在海上行駛的貨輪會不會有觸礁的危險呢?(要求學生先獨立思考，再分組探討，并與同伴進行交流。每組確定一名中心發(fā)言人。)學生在解決此實際問題的同時，思考如下問題：(1)對于“貨輪繼續(xù)向東航行途中有無觸礁的危險”，從實際意義上如何認定?若從數(shù)學的角度，如

6、何解釋?(2)解決此問題時，你選擇的起點(切入點)是什么?(意即：從先求什么開始)(3)你準備調(diào)用學過的哪部分數(shù)學知識來解決此實際問題?(4)在你運用相關的數(shù)學知識解決問題的過程中，又遇到了哪些新問題?你想怎樣克服?(教師教學時先不給出示意圖，而是讓學生根據(jù)題意自己畫出示意圖，教師對學生的作圖情況進行適時的指導，準確繪圖能反映出學生是否真正理解題意，也是進一步探索和解決問題的前提。如果學生在閱讀中遇到困難，得不到教師的及時指導，那么學生的閱讀動機和閱讀興趣就會降低。教師以“問題串”的形式引導學生在探索解決問題的過程中，把握住關鍵性的問題進行思考，旨在幫助學生學會從數(shù)學的角度提出問題、理解問題，

7、即培養(yǎng)學生學會數(shù)學地思考，促使其學會學習。)(三)自主探索，合作交流要求學生先獨立思考，再在組內(nèi)探討，并與同伴進行交流。教師根據(jù)學生的探討情況，與學生一起分析此問題的困惑、難點及解題方法。學生在面對與直角三角形有關的實際問題時，容易建立起三角函數(shù)的模型。在上述問題中，由于“BC20海里”是唯一關于長度的條件，而BC不是直角三角形的邊，因而有相當一部分學生陷入困境。(四)理性歸納，得出結論通過自主探索與合作交流，大部分學生突破了問題的難點。下面介紹幾種學生的解答思路。圖1思路一：如圖1，考慮到BC是一個不能直接運用的量，故設CDx海里，則BD(20+x)海里。在RtABD中，ADBDtan 55

8、=20+xtan 55;在RtACD中，ADCDtan 25=xtan 25。由ADAD，得方程：20+xtan 55xtan 25，解得x970。由于ADxtan 25207910。所以貨輪沒有觸礁的危險。師：此種解法是設間接未知數(shù)，體現(xiàn)了方程思想。這種設未知數(shù)的智慧在于：把BC變成了BD(20+x)海里，從而“激活”了BC這個不能直接運用的條件。我們不妨把該策略稱之為“救援型(救援BC)”。而等量關系則借助AD是此“雙直角三角形”的公共邊，可以說是“以形助數(shù)”。因此，還體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想。(此處要關注學生借助計算器進行有關三角函數(shù)的計算，并能進一步對實際結果的現(xiàn)實意義進行說明，發(fā)展數(shù)學應

9、用的意識和解決問題的能力。教師對學生解題思路進行點評的目的在于向學生揭示數(shù)學的本質(zhì)，以便引導學生形成解決有關問題的基本策略。)思路二：考慮到求出AD是解決問題的關鍵，故設ADx海里，則(1)在RtABD中，BDADtan 55xtan 55;在RtACD中，CDADtan 25=xtan 25。由BD-CD20，從而得方程：xtan 55-xtan 25=20。解得:x2079。由于AD10，所以貨輪沒有觸礁的危險。(2)設ADx海里，則在RtACD中，CDADtan 25=xtan 25;在RtABD中，tan 55=BDAD=BC+CDAD。從而20+xtan 25x=tan 55。解得x

10、2079。由于AD10，所以貨輪沒有觸礁的危險。(3)設ADx海里，則在RtABD中，BDADtan 55xtan 55;在RtACD中，tan 25=CDAD=BD-BCAD。從而xtan 55-20x=tan 25。解得x2079。由于AD10，所以貨輪沒有觸礁的危險。師：此解法也體現(xiàn)了方程思想，是設直接未知數(shù)。這種設未知數(shù)的智慧在于：設溝通兩個直角三角形之間的聯(lián)系，利用x和已知角的三角函數(shù)(正切)表示出此“雙直角三角形”的任何一邊，只是在構造方程的相等關系上各有特色。方法(1)運用了BD-CD20，“20海里”這個條件僅僅起到了構造方程的作用，并沒有“主動出擊”，不妨稱這種構造方程的策略

11、為“守株待兔型”；方法(2)是在小直角三角形中運用x和已知角的正切把CD表示出來，而運用大直角三角形已知角的正切構造關于x的方程，我們不妨稱之為“小湊”(在小直角三角形中運用x和已知角的正切把CD表示出來，有湊條件的目的)大構(運用大直角三角形已知角的正切構造出關于x的方程)型”；方法(3)則稱之為“大湊小構型”。其實，方法(2)和方法(3)都是運用正切的定義來構造方程的，可以說是“以形助數(shù)”。所以，我提醒同學們，以后在碰到類似的問題時也要注意積極運用這種方法!(教師在加以點評的時候，不必指出方法的優(yōu)劣，讓學生選擇適合自己思維習慣的方法。當然，學生應當對上述幾種方法做到真正的理解。)師：(1)

12、回顧一下，你解決此題的基本步驟是怎樣的?(2)你是如何突破你所遇到的困難的?(或雖然你沒能克服困難，但從別人和老師解決問題的過程中，你得到了哪些解決問題或克服困難的經(jīng)驗?)(3)反思你在解決此問題時(或從同學、老師解決問題的過程中)所采用的方法，若用它去解決與此相類似的實際問題時，是否具有一般性(或是否是解決此類問題的“通法”)?(引導學生適時地進行反思，并養(yǎng)成解決問題之后反思的良好習慣，是培養(yǎng)學生學會學習、促進學生數(shù)學素養(yǎng)發(fā)展的重要環(huán)節(jié)。若不進行反思，學生不容易形成解決問題的基本策略，更不易形成數(shù)學方法的有效遷移。)(五)運用反思，拓展創(chuàng)新小試牛刀出示教材“想一想(測量古塔的高度)”的例題，

13、要求學生先獨立思考，再小組互相交流，最后師生共同評價。友情提示相信大家在解決剛才“貨輪是否會觸礁”的實際問題時已經(jīng)積累了一定的解決相關實際問題的數(shù)學經(jīng)驗，并形成了一些解決問題的基本策略。但大家在把這些策略遷移到相關實際問題情境時，一定要仔細分析問題的條件是否發(fā)生了變化。同學們，一定要具有“春江水暖鴨先知”的機敏!你能否嘗試提出新問題或采用創(chuàng)新的解法?(教師是數(shù)學活動的組織者、推動者。因此，教師要充分信任學生，要善于激蕩學生的思維和探索的興趣，要培養(yǎng)學生獨立運用數(shù)學知識、數(shù)學經(jīng)驗進行思考與創(chuàng)新的意識，讓學生成為學習的主人，把思考的時間和空間留給他們。其實，激勵和尊重學生多樣性的思維方式，就是對他

14、們創(chuàng)新精神、創(chuàng)新意識的調(diào)動。)圖2學生們的收獲是令人欣慰的，下面提供某一學習小組的創(chuàng)新解法。解：DBC是ABD的外角，ADB60-3030。ADBA。DBAB50 m。在RtDBC中，DCBDsin 605032=25343(m)。師：這種思路的智慧在于：借助特殊角把間接條件AB50 m轉化為BD50 m(BD為RtDBC的斜邊)的直接條件，省去了構造方程的煩瑣，是一種簡捷的創(chuàng)新解法。其實，正是通過“形”得到了靈感和啟迪，從而來“助數(shù)”，這得益于這位同學對數(shù)形結合思想的熟悉和運用。這種創(chuàng)新的解法值得在我們中間推廣。同時，也說明了在整個學習過程中，我們應該不斷有所發(fā)現(xiàn)，有所創(chuàng)新。(六)拓展應用，

15、解決問題出示教材“做一做(改善原有樓梯的安全性能)”的例題，要求學生在解決此實際問題時，首先思考：樓梯調(diào)整前后的高分別是多少?(這是對前面問題的變式，教學時要關注學生如何把實際問題轉化為數(shù)學問題，解決問題的前提是能否理解題意，能準確畫出示意圖。解答這一問題的關鍵是要明白：調(diào)整前后樓梯的高度是一個不變的量，即“雙直角三角形”的公共邊(它是溝通兩個直角三角形聯(lián)系的橋梁)。我增設“樓梯調(diào)整前后的高分別是多少”，是為了給學生做鋪墊，使學習內(nèi)容更貼近學生的認知實際，以便使學生比較順利地解決問題。)圖3師：如圖3，在RtCBD中，已知BD4 m，故不用設未知數(shù)就可以在小直角三角形中打開一個“缺口”(可求出

16、CD的長)。因此，在這里我要提醒同學們，并不是所有的“雙直角三角形”問題都要用方程來解決，要看題目中的條件：是直接條件還是間接條件?間接條件是否能借助特殊角等因素轉化為直接條件?若既非直接條件，又不能轉化，則再考慮構造方程。(七)小結與反思引導學生對自己本節(jié)課的學習情況進行評價、反思：(1)在經(jīng)歷探索問題的過程中遇到挫折，你是怎么做的?(2)通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲?你還能提出什么問題?(讓學生經(jīng)歷回顧與反思的活動，自己總結收獲，使經(jīng)驗條理化、一般化，同時，可以使學生的語言表達能力和總結、歸納、概括的能力得到進一步的鍛煉和增強，通過這個環(huán)節(jié)，讓處在不同數(shù)學學習水平層次的學生發(fā)表自己的意見

17、，談自己的體會，體現(xiàn)不同的人學不同的數(shù)學的理念。)五、教學反思本節(jié)課的教學有以下一些特點。1體現(xiàn)了數(shù)學教學的本質(zhì)我的教學設計盡量為學生提供自主探索的機會，提供活動的空間和時間，讓學生親歷探究過程。我們應該認識到：學生是帶著自己原有的知識背景、活動經(jīng)驗和理解走進學習活動的，并通過自己的主動活動，包括獨立思考、與他人交流和反思等去建構自己對數(shù)學知識的理解。教師的教最終要在學生那里體現(xiàn)，不考慮學生作為主體的教，是不會有好效果的。2注重對數(shù)學精神實質(zhì)的揭示本節(jié)課的一個重要特點就是教師對解決問題的基本策略、基本數(shù)學思想和數(shù)學方法等關于數(shù)學精神實質(zhì)方面的揭示。比如，數(shù)學模型的思想、方程的思想、數(shù)形結合的思

18、想、恰當選擇合適的等量關系去構造方程。條件的呈現(xiàn)方式(如間接條件還是直接條件)對解決問題的影響等。數(shù)學的思想方法是數(shù)學知識的核心，也是各種能力形成的基礎。數(shù)學教學既要重視數(shù)學的背景和應用，也要揭示數(shù)學的本質(zhì)。否則，教師沒有將最有價值的東西呈現(xiàn)給學生，便會將學生生動活潑的數(shù)學思維活動淹沒在形式化的海洋里。3培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識和數(shù)學地思考問題的方式培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光去看待現(xiàn)實世界，是數(shù)學教學的目的和最高境界。如先把問題“貨輪向東航行會有觸礁的危險嗎”轉化為“貨輪會不會駛進半徑為10海里的圓中”，進而通過比較“點A到航線的距離和半徑10海里的大小”來認定。實際上，將實際問題數(shù)學化的過程，反映出

19、了學生用數(shù)學的意識和從現(xiàn)實生活中抽象出數(shù)學的能力。當然，要使學生學會能夠從理性的角度審視實際問題中存在的數(shù)學現(xiàn)象，就要在課堂上使學生更多地受到數(shù)學思想方法的熏陶與啟迪，形成那些對學生的數(shù)學素養(yǎng)有促進作用的基本的數(shù)學思考方式，并以此去解決所面臨的實際問題。4著眼于提高學生解決問題的能力，并鼓勵解決問題策略的多樣化本節(jié)課的教學設計努力體現(xiàn)“問題情境建立模型解釋、應用與拓展”的模式，讓學生帶著解決問題的明確目的去了解新知識、形成新技能，再反過來解決原先的問題。由于不同的學生在認識方法上存在著差異，他們有不同的認識方式和解決問題的策略，因此教師要鼓勵他們從不同的角度、不同的途徑來思考和解決問題，促進學

20、生創(chuàng)新能力的發(fā)展。5使學生初步形成評價與反思的意識數(shù)學教育并非是讓學生單純地積累數(shù)學事實，它更多地是對重要的數(shù)學思想方法的領悟，對數(shù)學活動經(jīng)驗的條理化，對數(shù)學知識的自我組織。因此，學生在數(shù)學學習過程中，對經(jīng)驗的分析與理解，對獲得過程以及解決問題方式的反思至關重要。而且，反思可以使學生的思考過程和思維習慣得到進一步的優(yōu)化。在本節(jié)課中，我提問較多的就是：這個(成功的)方法還能夠在哪些條件下有效?你是怎樣得到這個成功的方法的?在其他情況下，怎樣修改這個方法就可以使得它仍然有效?這個問題之所以沒有能夠解決，主要原因在哪里?等等。6教師的角色本節(jié)課努力實踐教師在課堂教學中的組織者、指導者、參與者和學習成

21、果分享者，學生發(fā)展的促進者的角色。教師調(diào)動學生學習的積極性、探索的主動性；激發(fā)學生解決問題的熱情，激蕩學生的思維。教師引導學生經(jīng)歷“做數(shù)學”的過程，并在這個過程中，組織學習、設計切入口、相機誘導、與學生平等交流。教師還集中大家的問題，比較、分析、鑒別問題的輕重，引導學生把握住關鍵性的問題進行探討，在探討中自然進行一些穿插，講解，給予恰到好處的點撥，及時引導學生的學習。7多媒體的使用現(xiàn)代信息技術的運用將抽象的內(nèi)容直觀化，如導入時“噴射煙花”的情境、航線與暗礁圈位置關系的動態(tài)演示等，大大豐富了學生的視野，激發(fā)了學生的學習熱情。而且，大量的實際生活情境及問題、例習題，都能在屏幕上“一觸即現(xiàn)”，極大地

22、提高了課堂效率。計算器的引入，使復雜的計算不再費時、耗力，學生可以騰出更多的時間和空間投入到提出問題、尋找解決問題策略、探究問題結果的思維過程中。當然，這節(jié)課也留下了一些遺憾。1預設和生成的關系處理得還不是十分到位這節(jié)課盡管做了精心準備，但課堂上仍然出現(xiàn)了教師課前沒有預料到的問題。有一些學生的課堂表現(xiàn)并沒有達到我預想的要求，但為了完成既定的教學目標，也為了使學生完成學習任務，教師還是有牽引學生的痕跡，在一定程度上存在著以教師的分析代替學生思考的現(xiàn)象?！安粻颗聦W生走偏、走遠；牽了又怕違背自主原則”，我想這也是課程改革帶給我們的一個值得思考的問題。2給學生提供從事數(shù)學活動的時間和空間不夠充分本節(jié)課采取的是“獨立思考與合作(生生、師生、組內(nèi))交流”的學習形式，但個體思考的環(huán)節(jié)不夠充分，從而使展開的討論就有點兒“無源之水，無本之木”，表達的見解不夠成熟，深度也不夠。生生交流、組內(nèi)交流也易轉換為學習水平高的學生對學習水平低的學生的講解，掩蓋了“薄弱生”的學習不投入或不深入，給人以“表面的積極性”和“一切順利”的假象，有點兒“一人做，眾人觀”的味道。而且，在生生、組內(nèi)、組際交流不太充分的情況下，我也有急于歸納總結的現(xiàn)象。這樣，容易造成學生對問題的探究淺