圓錐曲線講義一

1、錐曲線講義-Company number : WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998課題：J儲(chǔ)與氮習(xí)（一）教學(xué)目的:L通過(guò)小結(jié)與復(fù)習(xí)，使同學(xué)們完整準(zhǔn)確地理解和掌握三種曲線的 特點(diǎn)以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系.2 ,通過(guò)本節(jié)教學(xué)使學(xué)生較全面地掌握本章所教的各種方法與技 巧，尤其是解析幾何的基本方法坐標(biāo)法；并在教學(xué)中進(jìn)一步培 養(yǎng)他們形與數(shù)結(jié)合的思想、化歸的數(shù)學(xué)思想以及.應(yīng)用數(shù)學(xué)”的意識(shí).3 .結(jié)合教學(xué)內(nèi)容對(duì)學(xué)生進(jìn)行運(yùn)動(dòng)變化和對(duì)立統(tǒng)一的觀點(diǎn)的教育.教學(xué)重點(diǎn)：三種曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和圖形、性質(zhì).教學(xué)難點(diǎn)：做好思路分析，引導(dǎo)學(xué)生找到解題的落足點(diǎn).授課類型：新授課.課時(shí)安排：1課時(shí).教具：多媒

2、體、實(shí)物投影儀.內(nèi)容分析：在學(xué)完橢圓、雙曲線、拋物線知識(shí)之后進(jìn)行必要的小結(jié)與復(fù)習(xí)， 可以梳理知識(shí)要點(diǎn)，使學(xué)生從圓錐曲線這個(gè)整體高度來(lái)全面認(rèn)識(shí)三 種曲線；同時(shí)也可以對(duì)前面所學(xué)的各種解析幾何的基本方法進(jìn)行歸 納整理.所以本節(jié)在全章教學(xué)中起著復(fù)習(xí)、鞏固和提高的作用.橢圓、雙曲線、拋物線同屬于圓錐曲線，它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程 及其推導(dǎo)過(guò)程以及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)都存在著巨大的相似之處，也有 著一定的區(qū)別.而前面只是它節(jié)逐個(gè)學(xué)完了三種曲線，還缺少對(duì)它們歸類比較，為了提高水平，使同學(xué)們能夠完整準(zhǔn)確地理解和掌握三種曲線的特點(diǎn)以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系.本章介紹使用了較多的思想方法，其中的重點(diǎn)是數(shù)形結(jié)合的思 想，轉(zhuǎn)化與

3、化歸思想，坐標(biāo)法等，這些都是培養(yǎng)學(xué)生解決解析幾何 問(wèn)題的基本技能和能力的基礎(chǔ).解析幾何是最終能體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)與變化、 對(duì)立與統(tǒng)一的思想觀點(diǎn)的內(nèi)容之一點(diǎn)與坐標(biāo)、方程與曲線之間的轉(zhuǎn) 化與化歸給我們提供了良好的思想教育素材，我們應(yīng)該給予充分的 利用，達(dá)到應(yīng)有的教學(xué)效果.本小結(jié)與復(fù)習(xí)可分為二個(gè)課時(shí)進(jìn)行教學(xué).第一課時(shí)主要講解課本 上內(nèi)容，即：一、內(nèi)容提要；二、學(xué)習(xí)要求和需要注意的問(wèn)題第二 課時(shí)則針對(duì)本章的訓(xùn)練重點(diǎn)，講解例題，進(jìn)行鞏固和提高.教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入:名稱橢圓雙曲線圖象定義平面內(nèi)到兩定點(diǎn)瓦,心的距離的 和為常數(shù)（大于怩鳥(niǎo)|）的動(dòng)點(diǎn) 的軌跡叫橢圓.即MF, + MF2 = 2a當(dāng)2>2c時(shí)，軌

4、跡是橢圓，當(dāng)2。=2c時(shí)，軌跡是一條線 段歸內(nèi)|平面內(nèi)到兩定點(diǎn)",歹2 的距離的差的絕對(duì)值為常 數(shù)（小于忸于）的動(dòng)點(diǎn) 的軌跡叫雙曲線,即 MF-MF2 = 2a當(dāng)2。v 2c時(shí)，軌跡是 雙曲線當(dāng)2a=2c時(shí)，軌跡是當(dāng)2av 2c時(shí)軌跡不存在兩條射線當(dāng)2a >2c時(shí)，軌跡不存在標(biāo)準(zhǔn)方 程焦點(diǎn)在x軸上時(shí)：/ + / = 1焦點(diǎn)在y軸上時(shí)：E + = = l a b注：是根據(jù)分母的大小來(lái)判斷 焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上焦點(diǎn)在x軸上時(shí)：廠 >>- -1 /一立一1焦點(diǎn)在y軸上時(shí)：）2）'一廠 _1了一釬一1常數(shù)a,b,c的關(guān) 系a2 = c2 +b2, a> b>

5、;0, 。最大，c = b,c <b,c > b221 1c =a-+b-, c > a>0c最大，可以 a = b,a <b,a > b漸近線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)： 焦點(diǎn)在），軸上時(shí)：拋物線:圖 形方 程焦 點(diǎn)準(zhǔn)線二、章節(jié)知識(shí)點(diǎn)回顧:橢圓、雙曲線、拋物線分別是滿足某些條件的點(diǎn)的軌跡，由這些條件可以求出它們的標(biāo)準(zhǔn)方程，并通過(guò)分析標(biāo)準(zhǔn)方程研究這三種曲線的幾何性質(zhì).1 .橢圓定義：在平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)（定長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)間的 距離）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡.2 .橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：=+=1,1+ = = 1 ( a > b > 0) a2 b2 a2 b22

6、23 .橢圓的性質(zhì)：由橢圓方程二+與=1(>人>0)a2 b(1)范圍:一aKx<a, bK y Kb,橢圓落在* = ±。,丫 = ±b組成的失巨形 中.(2)對(duì)稱性:圖象關(guān)于)，軸對(duì)稱.圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.圖象關(guān)于原點(diǎn) 對(duì)稱,原點(diǎn)叫橢圓的對(duì)稱中心，簡(jiǎn)稱中心.x軸、y軸叫橢圓的對(duì) 稱軸.從橢圓的方程中直接可以看出它的范圍，對(duì)稱的截距.(3)頂點(diǎn)：橢圓和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn).橢圓共有四個(gè)頂點(diǎn)：A (-d0),43。)，B (0,-3應(yīng)(0力).加兩焦點(diǎn)K(-c，0)，尸2(。，0)共有六個(gè)特殊點(diǎn)叫橢圓的長(zhǎng)軸，男名叫橢圓的短軸.長(zhǎng)分別為2a,2b.a,b

7、分別為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng) 和短半軸長(zhǎng).橢圓的頂點(diǎn)即為橢圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn).(4)離心率:橢圓焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比 e =匕=e = 1-()2 0 v e v 1 橢圓形狀與e的關(guān)系：e-0,c-0,橢圓變圓，直至成為極限位置 圓此時(shí)也可認(rèn)為圓為橢圓在e = 0時(shí)的特例.e f l,c f a,橢圓變 扁，直至成為極限位置線段尸建2，此時(shí)也可認(rèn)為圓為橢圓在e = l時(shí)的特例.4 .橢圓的第二定義一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的 比是一個(gè)（0,1）內(nèi)常數(shù)e ,那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.其中定點(diǎn)叫做 焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)e就是離心率.橢圓的第二定義與第一定義是等價(jià)的，它是橢圓兩種不同的定義

8、方式.5 .橢圓的準(zhǔn)線方程對(duì)于£+1=1,左準(zhǔn)線/“=-£；右準(zhǔn)線a bcc對(duì)于E + = = L下準(zhǔn)線/1：，= -；上準(zhǔn)線/,：，= £a bcc焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p =-c = 上二=竺（焦參數(shù)） CCC橢圓的準(zhǔn)線方程有兩條，這兩條準(zhǔn)線在橢圓外部，與短軸平行，且關(guān)于短軸對(duì)稱.6 .橢圓的焦半徑公式：（左焦半徑）（右焦半徑）R =a-ex。，其中e是離心率,焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的焦半徑公式：g = " + ey。（其中庠行分別是橢圓的下上焦點(diǎn)）.MF2 = a-eyQ焦半徑公式的兩種形式的區(qū)別只和焦點(diǎn)的左右有關(guān)，而與點(diǎn)在 左在右無(wú)關(guān).可以記為：左加右減，

9、上減下加.7 .橢圓的參數(shù)方程尸二為參數(shù)）.y = Osin。8 .雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)瓦,尸2的距離的差的絕對(duì)值為常 數(shù)（小于閨周）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.即帆鳥(niǎo)I| = 2a.這兩個(gè) 定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距.在同樣的差下，兩定點(diǎn)間距離較長(zhǎng)，則所畫(huà)出的雙曲線的開(kāi)口 較開(kāi)闊（一兩條平行線）.兩定點(diǎn)間距離較短（大于定差），則所畫(huà) 出的雙曲線的開(kāi)口較狹窄（一兩條射線）.雙曲線的形狀與兩定點(diǎn)間 距離、定差有關(guān).9 .雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及特點(diǎn)：（1）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)y軸上兩種： 焦點(diǎn)在x軸上時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：22（a>0, b>0）；a b

10、29焦點(diǎn)在y軸上時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：4=1（>0">0） a" b（2）凡瓦。有關(guān)系式/ =/+成立，且。>0,人>0,。>0.其中a與b的大小關(guān)系:可以為a = vb,a>b.10 .焦點(diǎn)的位置:從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程不難看出橢圓的焦點(diǎn)位置可由方 程中含字母/、 /項(xiàng)的分母的大小來(lái)確定，分母大的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的字母所在的軸就是焦點(diǎn)所在的軸.而雙曲線是根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)來(lái)判斷焦點(diǎn)所在的位置，即一項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在X軸上；V項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上.11 .雙曲線的幾何性質(zhì)：(1)范圍、對(duì)稱性由標(biāo)準(zhǔn)方程£-二=1,從橫的方向來(lái)看，直

11、線"-a, x二a之間 a- b-沒(méi)有圖象，從縱的方向來(lái)看，隨著x的增大，y的絕對(duì)值也無(wú)限增大，所以曲線在縱方向上可無(wú)限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線.雙曲線不封閉，但仍稱其對(duì)稱中心為雙曲線的中心.(2)頂點(diǎn)頂點(diǎn)：人(見(jiàn)。),-,。)，特殊點(diǎn):Bi(O,b),B4O,b)實(shí)軸：A4長(zhǎng)為2a, a叫做半實(shí)軸長(zhǎng),虛軸：與與長(zhǎng)為2b, b叫做虛半軸長(zhǎng).雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓則有四個(gè)頂點(diǎn)，這是兩者的又一差異.(3)漸近線過(guò)雙曲線一二1的漸近線' = ±2工(-±2 = 0).a- b-a a b(4)離心率雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比八三二反，叫做雙曲線的離心率.范

12、 2a a圍：e > 1雙曲線形狀與e的關(guān)系：k上=6一f=件11 =而=I, e越 a a V a大，即漸近線的斜率的絕對(duì)值就大，這是雙曲線的形狀就從扁狹逐 漸變得開(kāi)闊,由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開(kāi)口就越闊.12 .等軸雙曲線定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線，這樣的雙曲 線叫做等軸雙曲線.等軸雙曲線的性質(zhì)：(1)漸近線方程為： y = ±x； (2)漸近線互相垂直；(3)離心率e = &.13 .共漸近線的雙曲線系如果已知一雙曲線的漸近線方程為y = ±-x = ±"(k > 0),那么 a ka此雙曲線方程就一定

13、是：右 =±1(%>0)或?qū)懗?(ka)- (kb)29£1_2L=；a b-14 .共輾雙曲線以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸，這樣得到的雙曲線 稱為原雙曲線的共輾雙曲線.區(qū)別：三量a,b,c中a,b不同(互換)c 相同.共用一對(duì)漸近線.雙曲線和它的共輾雙曲線的焦點(diǎn)在同一圓上.確定雙曲線的共輾雙曲線的方法：將1變?yōu)?.15 .雙曲線的第二定義：到定點(diǎn)F的距離與到定直線/的距離之比為常數(shù)e = £（c>a>0）的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.其中，定點(diǎn)叫做雙曲線的 a焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線.常數(shù)e是雙曲線的離心率.16 .雙曲線的準(zhǔn)線方程：79對(duì)于

14、與=1來(lái)說(shuō)，相對(duì)于左焦點(diǎn)心（-c,0）對(duì)應(yīng)著左準(zhǔn)線 o=,相對(duì)于右焦點(diǎn)K（C,O）對(duì)應(yīng)著右準(zhǔn)線，2：X=三；CC焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離=打（也叫焦參數(shù)）.C對(duì)于q- A = 1來(lái)說(shuō)，相對(duì)于上焦點(diǎn)（0,-c）對(duì)應(yīng)著上準(zhǔn)線 a bK -y = -；相對(duì)于下焦點(diǎn)尸2©c）對(duì)應(yīng)著下準(zhǔn)線CC17 .雙曲線的焦半徑定義：雙曲線上任意一點(diǎn)M與雙曲線焦點(diǎn)K，尸2的連線段，叫做雙曲 線的焦半徑.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的焦半徑公式：焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的焦半徑公式：M號(hào)| = | a + ey0 |加周二| |（其中乙,巴分別是雙曲線的下上焦點(diǎn)）18 .雙曲線的焦點(diǎn)弦：定義：過(guò)焦點(diǎn)的直線割雙曲線所成的相交弦.焦

15、點(diǎn)弦公式：當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，過(guò)左焦點(diǎn)與左支交于兩點(diǎn)時(shí)：目=-2a-6(&+).過(guò)右焦點(diǎn)與右支交于兩點(diǎn)時(shí)：4卻=-24 + 6(玉+工2)當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，過(guò)左焦點(diǎn)與左支交于兩點(diǎn)時(shí)：4卻=-2-631 +力)過(guò)右焦點(diǎn)與右支交于兩點(diǎn)時(shí)：4卻=-2. + 6(弘+乃),19 .雙曲線的通徑：定義：過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的相交弦,d=子.20 .拋物線定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線/的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做 拋物線.定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線.21 .拋物線的準(zhǔn)線方程： V =2px(p>0),焦點(diǎn):g,0),準(zhǔn)線/ ： x = -g / =2py(

16、p>0),焦點(diǎn) I0),準(zhǔn)線/ ：y2=_2px(p>0),焦點(diǎn)：(_30),準(zhǔn)線/ ：戶勺 / = 2py(p > 0),焦點(diǎn)：(0,一準(zhǔn)線/ ： y = 相同點(diǎn)：（1）拋物線都過(guò)原點(diǎn)；（2）對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；（3）準(zhǔn)線都 與對(duì)稱軸垂直，垂足與焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.它們到原點(diǎn)的 距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的;，即軍=.不同點(diǎn)：Q）圖形關(guān)于X軸對(duì)稱時(shí)，X為一次項(xiàng)，Y為二次項(xiàng)， 方程右端為±2px、左端為V ;圖形關(guān)于Y軸對(duì)稱時(shí)，X為二次項(xiàng)， Y為一次項(xiàng)方程右端為±2py,左端為x2.（2）開(kāi)口方向在X軸（或Y軸）正向時(shí)，焦點(diǎn)在X軸（或Y軸）的正半軸上，

17、方程右端 取正號(hào)；開(kāi)口在X軸（或Y軸）負(fù)向時(shí)，焦點(diǎn)在X軸（或Y軸）負(fù) 半軸時(shí)，方程右端取負(fù)號(hào).22 .拋物線的幾何性質(zhì)（1）范圍因?yàn)镻>0,由方程/=2乂，>。）可知，這條拋物線上的點(diǎn)M 的坐標(biāo)（x, y）滿足不等式x'O,所以這條拋物線在y軸的右側(cè)；當(dāng) x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延 伸.（2）對(duì)稱性以-y代y,方程）/=2pMp>o）不變，所以這條拋物線關(guān)于X軸 對(duì)稱，我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸.（3）頂點(diǎn)拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).在方程>2 = 2px(p > 0)中，當(dāng) y=o 時(shí)，x=0,因此拋

18、物線 y2 =2px(p>o)的 頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn).(4)離心率拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物 線的離心率，用e表示.由拋物線的定義可知，e=l .23 .拋物線的焦半徑公式：拋物線 >，2 = 2Px(P > 0) , |PF| = xo + y = y + xo拋物線 y 2 = -2Px(p > 0), PF = Xo - y = y - x0拋物線=2py(p > 0)，歸尸| =+ L + 汽拋物線=-2py(p > 0) , PF = y0-y =y-y024 .直線與拋物線：(1)位置關(guān)系：相交(兩個(gè)公共點(diǎn)或一個(gè)公共點(diǎn))；相離(無(wú)公共點(diǎn))；相切(一 個(gè)公共點(diǎn)).將 /: y = kx+ b 代入 C : Ax2 + Cy2 + £>x