概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末考試試題及答案

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末考試試題（A）專業(yè)、班級：姓名：學(xué)號：題號一二三四五六七八九十一十二總成績得分、單項選擇題（每題3分共18分）1.D 2. A 3.B 4. A 5. A 6.B(1)(2)設(shè)隨機變量X其概率分布為 X -1 0 1 2P則 PX 1.5()。-1(A)(B) 1(C) 0(D)2(3)設(shè)事件A1與4同時發(fā)生必導(dǎo)致事件A發(fā)生，則下列結(jié)論正確的是(A)P(A)P(A1A2)(B)P(A)P(A1)P(A2)1(0P(A)P(A1 A2)(D)P(A)P(A1)P(A2)1(4)設(shè)隨機變量 XN( 3, 1), Y N(2, 1),且X與Y相互獨立，令 Z X 2 Y 7,則

2、Z().(A) N(0, 5);(B) N(0, 3);(C) N(0, 46);(D) N(0, 54).設(shè)X1X2，,Xn為正態(tài)總體N(未知，則()是一個統(tǒng)計量n(A)Xi22(B)1 1(C) X(D)2)的一個簡單隨機樣本，其中2n2(Xi ) i 1X(6)設(shè)樣本Xi,X2, ,Xn來自總體X N(2), 2未知。統(tǒng)計假設(shè)為 Ho：0( 0 已知)Hi：0。則所用統(tǒng)計量為()(A)UX(B)T 2與.nS < n/r(C) 2 "里(D)2 4 n (Xi )i 1二、填空題(每空3分共15分).xe x x 0c1. P(B) 2. f(x), 3e 2 3.1 4

3、.t(9)0 x 0(1)如果 P(A) 0, P(B) 0, P(AB) P(A),則 P(B|A)(2)設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)0,1 (1 x)ex0,x 0.則X的密度函數(shù)f(x)，P(X 2)(3)XiX9(4) 設(shè)總體X和Y相互獨立，且都服從N(0,1), Xi,X2, X9是來自總體X的樣本，丫1,丫2, X是來自總體Y的樣本，則統(tǒng)計量服從 分布(要求給出自由度)。三、(6 分)設(shè) A, B 相互獨立，P(A) 0.7, P(A B) 0.88,求 P(A B).解：=P(A B) P(A) P(B) P(AB)= P(A) P(B) P(A)P(B) ( 因為A,B相互

4、獨立).2分=0.7 P(B) 0.7P(B)3 分則 P(B) 0.6 .4 分P(A B) P(A) P(AB) P(A) P(A)P(B)0.7 0.7 0.6 0.28 6 分四、(6分)某賓館大樓有4部電梯，通過調(diào)查，知道在某時刻 T,各電梯在運行的概率均為，求在此時刻至少有 1臺電梯在運行的概率。解：用X表示時刻T運行的電梯數(shù)，則Xb(4, 0.7) .2分所求概率P X 11 P X 04分1 C0(0.7)0(1 0.7)4= .6 分五、(6分)設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x) ,0, 其它求隨機變量Y=2X+1的概率密度。解：因為y 2x 1是單調(diào)可導(dǎo)的，故可用公式法計算

5、.1分當X 0時，Y 1 .2分y 11由 y 2x1, 得 x , x' 4 分22“三)2 y 1從而Y的密度函數(shù)為fY(y) .5分.6分六、(8分)已知隨機變量X和Y的概率分布為X101Y01P111P1142422而且 P XY 0 1.(1)求隨機變量X和Y的聯(lián)合分布；(2)判斷X與Y是否相互獨立解：因為P XY 01 ,所以P XY 00(1)根據(jù)邊緣概率與聯(lián)合概率之間的關(guān)系得出Y-101X010114142102012111424.4分111(2)因為 P X 0,Y 00 P X 0 P Y 0224所以 X與Y不相互獨立8分七、（8分）設(shè)二維隨機變量（X,Y）的聯(lián)合

6、密度函數(shù)為12e(3x4y), x 0,y 0, f (x, y)0,其他.求：(1) P(0 X 1,0 Y 2) ; (2)求X的邊緣密度。12解：(1) P(0 X 1,0 Y 2) dx 12e (3x 4y)dy00.21211 3x ,2 44y ,_ 3x 1_4y3e dx4e dy=e 0e000=1 e 3 1 e8.4分(2)fX(x)12e (3x4y)dy3e3x x 00 x 0.6 分8 分八、（6分）一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命 X （以年計）服從參數(shù)為1的指數(shù)分 4布。工廠規(guī)定，出售的設(shè)備在售出一年之內(nèi)損壞可予以調(diào)換。 若工廠售出一臺設(shè) 備盈利100元，調(diào)換一臺

7、設(shè)備廠方需花費300元，求工廠出售一臺設(shè)備凈盈利的 期望。解:一一 1因為X e()4得 f (x)1 1xe 4 x 04.2分用Y表示出售一臺設(shè)備的凈盈利100 Y100 300所以P(Y100)200EY1164dxx14 .-e 4 dx41100 e 4200) (11e 4).4分1300e 4 20033.64 (元).6分九、(8分)設(shè)隨機變量X與Y的數(shù)學(xué)期望分別為2和2,方差分別為1和4,而相關(guān)系數(shù)為 0.5,求E(2X Y), D(2X Y)。解：已知 EX 2, EY 2, DX 1, DY 4, XY 0.5則 E(2X Y) 2EX EY 2(2) 26.4 分D(2

8、X Y) D(2X) DY 2cov(2X,Y).5 分2DX DY 4 cov( X, Y).6 分2DX DY 4VDXVDY xy=12 .8 分十、（7分）設(shè)供電站供應(yīng)某地區(qū)1 000戶居民用電，各戶用電情況相互獨立。已知每戶每日用電量（單位：度）服從 0, 20上的均勻分布，利用中心極 限定理求這1 000戶居民每日用電量超過10 100度的概率。（所求概率用標準正態(tài)分布函數(shù) （x）的值表示）.解：用Xi表示第i戶居民的用電量，則Xi U 0,20一-20 20_(20 0)100八EXi 10DXi 2 分21231000則1000戶居民的用電量為X Xi,由獨立同分布中心極限定理

9、i 1P X 101001 P X 101003 分X 1000 1010100 1000 10八=1 P ,= ,-4 分1100100. 1000 . 1000 3、310100 1000 10八1(一).6 分1100,1000 33二1110)7 分卜一、（7分）設(shè)X1,X2, ,Xn是取自總體X的一組樣本值，X的密度函數(shù)為（1）x，0 x 1，0,其他，其中 0未知，求 的最大似然估計 解：最大似然函數(shù)為nnL(X1,Xn, )f (Xi)(1)Xi.2 分i 1i 1=(1)n(X1,Xn) .3 分則ln L(xi,xn, ) nln(1)ln(x1,Xn)X1, Xn.4分人 d ln L n ln（x1,d1于是的最大似然估計：.5分0lnln(x1，,xn).7分十二、（5分）某商店每天每百元投資的利潤率 X N（,1）服從正態(tài)分布，均值為,長期以來方差2穩(wěn)定為1,現(xiàn)