電動(dòng)力學(xué)教程 第7章導(dǎo)行電磁波

1、第第7 7章章 導(dǎo)行電磁波導(dǎo)行電磁波 導(dǎo)波系統(tǒng) 導(dǎo)行波(Guided Waves) 常見的導(dǎo)波系統(tǒng)光纖平面光波導(dǎo)邊值問(wèn)題，即在給定導(dǎo)波系統(tǒng)邊界條件下求解波動(dòng)方程，得到導(dǎo)波系統(tǒng)中的場(chǎng)分布和波的傳播特點(diǎn) 。導(dǎo)波系統(tǒng)中電磁波的傳播問(wèn)題屬于電磁場(chǎng)7.1 導(dǎo)行電磁波概論 討論討論“均勻均勻”導(dǎo)波系統(tǒng)導(dǎo)波系統(tǒng)。所謂。所謂“均勻均勻”是指在垂直于波是指在垂直于波的傳播方向上，導(dǎo)波系統(tǒng)的橫截面一樣。令電磁波的傳播的傳播方向上，導(dǎo)波系統(tǒng)的橫截面一樣。令電磁波的傳播方向?yàn)榉较驗(yàn)閦方向方向( (導(dǎo)波系統(tǒng)的縱向?qū)Рㄏ到y(tǒng)的縱向) )，則波導(dǎo)內(nèi)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分，則波導(dǎo)內(nèi)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分布只和橫向坐標(biāo)布只和橫向坐標(biāo)x、y有關(guān)，

2、與縱向坐標(biāo)有關(guān)，與縱向坐標(biāo)z無(wú)關(guān)，即無(wú)關(guān)，即 zex,yErE zex,yHrH（ 復(fù)傳播常數(shù)） 因此只要求出橫截面橫截面上場(chǎng)的分布E(x,y)、H(x,y)和傳播常數(shù)，就可以得到波導(dǎo)內(nèi)的場(chǎng)分布。 波導(dǎo)內(nèi)一般無(wú)源，則其場(chǎng)分布滿足麥?zhǔn)戏匠蘃jEEjH解之可得波導(dǎo)內(nèi)場(chǎng)的橫向分量和縱向分量之間的關(guān)系：xEjyHkHyEjxHkHzzcyzzcx1122xHjyEkEyHjxEkEzzcyzzcx1122- 縱橫關(guān)系222ckk其中222200zzzzEk EHk H 導(dǎo)行電磁波的縱向場(chǎng)分量Ez和Hz可由亥姆霍茲方程 及邊界條件確定。u 導(dǎo)行波波型的分類導(dǎo)行波波型的分類 1. 橫電磁波橫電磁波(TEM

3、波波) 0 0zzH,E2. 橫電波橫電波(TE波波) 0 0zzH,E3. 橫磁波橫磁波(TM波波) 0 0zzH,E7.1.1 橫電磁波橫電磁波(TEM(TEM波波) )根據(jù)縱橫關(guān)系，橫向場(chǎng)分量不為0的條件是022TEMk即jjkTEM 定義 ：導(dǎo)行波的波阻抗 Z導(dǎo)波系統(tǒng)中，沿波的傳播方向構(gòu)成右手螺旋關(guān)系的橫向電場(chǎng)和橫向磁場(chǎng)之比，即xyyxHEHEZyxzTEM波的波阻抗jHEZyxTEM（利用教材中式7.1.4b或7.1.4d式）電場(chǎng)與磁場(chǎng)的關(guān)系（式7.1.4d、7.1.4e）EeZHzTEM1 導(dǎo)波系統(tǒng)中TEM波的傳播特性和無(wú)界空間中均勻平面波的傳播特性相同。7.1.2 橫磁波橫磁波(

4、TM(TM波波) )jHEZyxTMEeZHzTM17.1.3 橫電波橫電波(TE(TE波波) )jHEZyxTMHeZEzTE均可由縱橫關(guān)系得到思考：思考：橫電波或橫磁波的波橫電波或橫磁波的波阻抗等于介質(zhì)的本征阻抗？阻抗等于介質(zhì)的本征阻抗？E、H與與波傳播方向彼此正交且構(gòu)成右手關(guān)系？7.1.4 截止波長(zhǎng)與傳輸條件截止波長(zhǎng)與傳輸條件 導(dǎo)行波的場(chǎng)量都有因子e-z(沿+z軸方向傳輸)，=+j 為傳播常數(shù)。由前面的推導(dǎo)可知 222kkc 對(duì)于理想導(dǎo)波系統(tǒng)， 為實(shí)數(shù)，而kc是由導(dǎo)波系統(tǒng)橫截面的邊界條件決定的，也是實(shí)數(shù)。這樣隨著工作頻率的不同，2 可能有下述三種情況： k)()ztje(x,yEE(1)

5、 20，即=。此時(shí)導(dǎo)行波的場(chǎng)為 tjaeeEEz)y, x(3) =0。這是介于傳輸與截止之間的一種狀態(tài)，稱其為臨臨界狀態(tài)界狀態(tài)， 它是決定電磁波能否在導(dǎo)波系統(tǒng)中傳輸?shù)姆炙畮X。這時(shí)由 所決定的頻率 ( fc ) 和波長(zhǎng)(c)分別稱為截止截止頻率和截止波長(zhǎng)頻率和截止波長(zhǎng)，并且 22kkcccccckfkf2 ,2顯然這不是傳輸波，而是沿z軸以指數(shù)規(guī)律衰減的，稱其為截止?fàn)顟B(tài)截止?fàn)顟B(tài)。其中 為無(wú)限大介質(zhì)中電磁波的相速，而kc稱為截止波數(shù)，并有 /1vcck2這樣導(dǎo)波系統(tǒng)傳輸TE波和TM波的條件為 ccff或截止條件為 ccff或?qū)τ赥EM波，由于kc=0，即fc=0，c=，因此在任何頻率下，TEM都

6、能滿足f fc=0的傳輸條件，均是傳輸狀態(tài)。也就是說(shuō)TEM波不存在截止頻率。 7.1.5 波導(dǎo)波長(zhǎng)波導(dǎo)波長(zhǎng) g22gg或在傳輸狀態(tài)下，=j，22221kkkkkcc將 kc=2/c，k=2/=2/0 代入上式得 rr22121cck所以可得 21gc對(duì)于TEM波，c=， rrg0rr0其中是無(wú)限大介質(zhì)中無(wú)限大介質(zhì)中的電磁波的電磁波波長(zhǎng)波長(zhǎng)。7.2 矩形波導(dǎo) 矩形波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)如圖所示，假定其內(nèi)的填充介質(zhì)為理想介質(zhì)。矩形波導(dǎo)內(nèi)只能傳播矩形波導(dǎo)內(nèi)只能傳播TE波或波或TM波而不能傳播波而不能傳播TEM波波。7.2.1 矩形波導(dǎo)中的TM波022222zczzEkyExE)()(),(yYxXyxEzXYk

7、dyYdXdxXdYc22222上式兩邊除以XY，得 22222ckYdyYdXdxXd這里的x和y是互不相關(guān)的獨(dú)立變量。欲使上式對(duì)任意x和y值都成立，只有等式左邊的兩項(xiàng)分別等于常數(shù)。因此，可令 2y222221 ,1kdyYdYkdxXdXx且 222cyxkkkykcykcYxkcxkcXyyxxsincossincos4321其解 )sincos)(sincos(4321ykcykcxkcxkcEyyxxz于是Ez的通解是 利用邊界面上電場(chǎng)的切向分量連續(xù)的邊界條件可以確定c1c4以及kx、ky。(1) 當(dāng)x=0時(shí)，Ez=0 (理想導(dǎo)體表面切向場(chǎng)為零) 0)sincos(431ykcykc

8、cEyyz欲使上式對(duì)所有y值都成立，則c應(yīng)等于零。 )sincos(sin432ykcykcxkcEyyxz (2) 當(dāng)y=0時(shí)，Ez=0， 0sin32xkccExz欲使上式對(duì)所有x值都成立，則c3應(yīng)為零。此時(shí)c2不能為零， 因?yàn)槿鬰2等于零，則Ez在非邊界處也恒為零，這與TM波的情況不符，因此只能取c3等于零。 24sinsinsinsinzxymxyEc ck xk yEk xk y(3) 當(dāng)x=a時(shí)，Ez=00sinsinmykakEEyxz欲使上式對(duì)所有y值都成立，kx必須滿足下面關(guān)系： ,.)3 , 2 , 1( mamkx這里m不能等于零，否則kx=0，則Ez恒等于零，這不符合T

9、M波的定義。 ykxamEEyzsinsinm (4) 當(dāng)y=b時(shí)，Ez=0， msinsin0zymEExk ba欲使上式對(duì)所有x值都成立，ky必須滿足下面關(guān)系： ,.)3 , 2 , 1( nbnky這樣Ez的表示式為 ybnxamEEzsinsinmm2m2mm2cossinsincossinsinsincoszj tzj tzj tzj txcyczxceeeemmnEExykaabnmnEExykbabmnEExyabnmnHjExeeeykbabHe m2cossinyczj tmmnjExykeaeab 波導(dǎo)橫截面上的場(chǎng)分布形成駐波場(chǎng)模指數(shù)(m,n)的物理意義？m 矩形波導(dǎo)寬邊矩

10、形波導(dǎo)寬邊上的半波數(shù)目；上的半波數(shù)目；n 窄邊上的半波數(shù)窄邊上的半波數(shù)目。目。式中截止波數(shù)： 2222bnamkkkyxc在矩形波導(dǎo)中TM波的傳輸常數(shù)為 22222222bnamkkkkkyxcl 當(dāng)傳輸常數(shù)=0所對(duì)應(yīng)的頻率為截止頻率fc，且截止頻率為 22212bnamkfcc(m,n 均不為0 )22222bnamkkcl 當(dāng)工作頻率高于截止頻率時(shí)，即當(dāng)工作頻率高于截止頻率時(shí)，即f fc， 為純虛數(shù)，為純虛數(shù)，=j，電磁波才可能在波導(dǎo)中沿，電磁波才可能在波導(dǎo)中沿+ +z z方向傳輸。這時(shí)相位常數(shù)方向傳輸。這時(shí)相位常數(shù)為為 l 當(dāng)工作頻率低于截止頻率時(shí)，即當(dāng)工作頻率低于截止頻率時(shí)，即 f f

11、c，為正實(shí)數(shù)為正實(shí)數(shù)，此此時(shí)時(shí)e- z表示衰減因子，電磁波衰減很快，不可能在波導(dǎo)中傳輸。表示衰減因子，電磁波衰減很快，不可能在波導(dǎo)中傳輸。222bnamfcc截止波長(zhǎng)式中 為無(wú)限大介質(zhì)中的電磁波的波速。/1v截止?fàn)顟B(tài)截止?fàn)顟B(tài)導(dǎo)通狀態(tài)導(dǎo)通狀態(tài)電磁波在矩形波導(dǎo)中的相速度波導(dǎo)中的相速度vp為 2211pccvvvvff或?qū)懗?)(12kffkc波導(dǎo)波長(zhǎng)g為 22112ccpgfffvfv 其中 是無(wú)限大介質(zhì)空間中的波長(zhǎng)。zyxzyekxkHHcoscosmzm2cossinyekxkHkkHyxxcxzm2sincosyekxkHkkHyxycyzm2sincosyekxkHkkjEyxycxzm2

12、cossinyekxkHkkjEyxxcy7.2.2 矩形波導(dǎo)中的TE波其中： ,., ,m,nbnkamky210 , ,x截止波數(shù)kc為 2222bnamkkkyxc在矩形波導(dǎo)中TE波的傳輸常數(shù)為 22222222bnamkkkkkyxc(m,n不同時(shí)為0 )截止頻率為 22212bnamkfcc截止波長(zhǎng)為 222bnamfvccTE波在波導(dǎo)中的相速vp為 2211ccpvffvvTE波的波導(dǎo)波長(zhǎng)g為 22112ccpgfffv2211ffjHEZccyxTE波阻抗2211ffjHEZccyxTM 結(jié)論 矩形波導(dǎo)中TE和TM模式的kx、ky、kc、fc、c、vp和g的表達(dá)式完全一樣，但要注

13、意m、n的取值。 從場(chǎng)的表達(dá)式看出， m、n取不同的值代表一種可能的場(chǎng)分布也即傳播模式： TMmn或TEmn，稱為TMmn模式或TEmn模式，(m,n)稱為模指數(shù)。 鏈接 由于TM波的 m、n均不為0，故不存在TM00、 TMm0 、TM0n 模式，最低階的TM波模式為TM11；而TE波的m、n可以為0，但不能同時(shí)為0，故不存在TE00模式。 相同的(m,n)組合， TMmn模式和TEmn模式的截止波數(shù)kcmn相同。- - 模式的簡(jiǎn)并模式的簡(jiǎn)并( (截止波數(shù)相同的模稱為截止波數(shù)相同的模稱為簡(jiǎn)并模簡(jiǎn)并模) )頻率10GHz。計(jì)算: (1) TM11波型的截止波長(zhǎng)、波導(dǎo)波長(zhǎng)、相位常數(shù)、相速度、群速

14、度以及波阻抗；(2) TM11的模場(chǎng)瞬時(shí)值。例題： 矩形波導(dǎo)的尺寸ab=6 4 cm2，信號(hào)解：波頻率 f=10 GHz，波導(dǎo)是空氣填充，故無(wú)界空氣介質(zhì)中的電磁波長(zhǎng)cmfc3101010398截止波長(zhǎng) 7cm. 6222bnamccmbcm,a,nm4 6 1波導(dǎo)波長(zhǎng)4cm. 312cg相位常數(shù)m/rad 1802g相速度823 5 10 pfv. m/sc群速度ddvg222bnamfcvddg2 200c.vg 10628波阻抗112TM01, 377337 cZ7.2.3 單模傳輸 一般情況下，矩形波導(dǎo)中可以同時(shí)傳輸多個(gè)TE?；蛘逿M模式，而且TE模或TM模也可以共同存在，例如簡(jiǎn)并模TM

15、11和TE11具有相同的截止波長(zhǎng)和傳播常數(shù)，因而可以同時(shí)傳播。實(shí)際應(yīng)用時(shí)多模工作一般會(huì)有很多不利因素(如模間耦合、多模色散)*，因此多采用單模工作。單模傳輸條件的分析：?jiǎn)文鬏敆l件的分析：截止波長(zhǎng) 222bnamc 工作波長(zhǎng) 2b ) (m,n) = (0,1) TE01模 ( TM01模 ？)bc2 (m,n) = (1,0) TE10模ac2 (m,n) = (0,2) TE02模bc (m,n) = (2,0) TE20模ac (m,n) = (1,1) TE11和TM11模（簡(jiǎn)并模）b.bbabc8154112222(a 2b )(m,n)=(0,0) ?將各模式的截止波長(zhǎng)按大小次序繪

16、出如下所示圖：TE10TE20TE01TE11,TM11TE302b a2a0工作波長(zhǎng) 多模區(qū)單模區(qū)截止區(qū)高次模主模（截止波長(zhǎng)最大，最后截止）思考題思考題：假如中空矩形波導(dǎo)橫截面尺寸6*2 cm2，信號(hào)波長(zhǎng)=5cm，此時(shí)波導(dǎo)中存在幾個(gè)模式？哪幾個(gè)？ 截止區(qū)： 工作波長(zhǎng)a 2 單模區(qū)： 工作波長(zhǎng) ，只有主模TE10模能被傳播，其他模式截止。aa2 多模區(qū)： 工作波長(zhǎng)a 0單模條件 （即TE10導(dǎo)通，TE20截止）：u 若給定波導(dǎo)尺寸a和b，則工作波長(zhǎng)應(yīng)該滿足aa2u 若給定工作波長(zhǎng)，則波導(dǎo)的長(zhǎng)邊尺寸應(yīng)該滿足.a50(一般取a=0.7)7.2.4 矩形波導(dǎo)中的TE10波 TE10波是矩形波導(dǎo)中的主

17、模，其截止波長(zhǎng)最大(截止頻率最低)，在矩形波導(dǎo)中大多采用這種模式(單模傳輸)。截止波長(zhǎng)為 ac2波導(dǎo)波長(zhǎng)為 221ag波阻抗為 22110aZTE 傳播特性參數(shù) TE10波的場(chǎng)分布0sinsincos)(m)(m)(mzxyztjyztjxztjzEEHexaHajEexaHajHexaHH利用m=1、n=0、kx=kc=/a，可得到TE10模的場(chǎng)分量式中相位常數(shù) 2g212aTE10模電磁場(chǎng)各分量的瞬時(shí)表示式為 0)cos(cos)sin(sin)sin(sinmmmyzxzxyHEEztxaHHztxaHaHztxaHaE顯然，波導(dǎo)橫截面上（z = 常數(shù)）的場(chǎng)分布是駐波場(chǎng)。圖(a) ： T

18、E10模的電場(chǎng)分布baOxy圖(b) ： TE10模的磁場(chǎng)分布圖(c) ： TE10模的電磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)立體圖 00zxyE, EHxy磁力線 電力線電力線感應(yīng)的高頻傳導(dǎo)電流。由于波導(dǎo)內(nèi)壁是導(dǎo)電率極高的良導(dǎo)體，在微波波段，其趨膚深度在微米數(shù)量級(jí)。因此波導(dǎo)內(nèi)壁上的電流可看成表面電流，其面電流密度由下式確定： HeJnS 式中en為波導(dǎo)內(nèi)壁上的單位法向矢量，它由波導(dǎo)管壁指向波導(dǎo)管內(nèi)；H是波導(dǎo)管內(nèi)壁處的磁場(chǎng)。 當(dāng)波導(dǎo)中有電磁能量傳輸時(shí)，波導(dǎo)內(nèi)壁處有TE10模在波導(dǎo)管內(nèi)壁上的感應(yīng)面電流密度為： 00yxzzxyySHeHeHeJzmm0)sin(sin )cos(coseztxaHaeztxaHJxyS00

19、0)(cos)(cosxSymxaxSymxxSySbySJeztHHeJeztHHeJJJ類似地圖(d)： TE10模的管壁電流分布 開槽位置圖(e)：波導(dǎo)壁中央開槽用作測(cè)量線 研究管壁電流的意義開槽位置圖( f )：波導(dǎo)管壁開槽切斷管壁電流用作天線 研究管壁電流的意義7.3 圓柱形波導(dǎo)(Cylindrical Waveguide)xyza , 波導(dǎo)半徑a，填充介質(zhì)為理想介質(zhì)( ,)，管壁是理想導(dǎo)體。 在圓柱坐標(biāo)系下，波導(dǎo)內(nèi)電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示： zze,HrHe,ErE( )( )( )( )H rjE rE rjH r 代入麥?zhǔn)戏匠滩▽?dǎo)橫截面上的場(chǎng)波導(dǎo)橫截面上的場(chǎng)分布分布(橫向場(chǎng)分布橫向場(chǎng)分

20、布)解之可得波導(dǎo)內(nèi)場(chǎng)的橫向分量和縱向分量之間的關(guān)系：221( , )1( , )zzczzcHEHjkHEHj k 222kkc其中221( , )1( , )zzczzcEHEjkEHEj k 柱坐標(biāo)系下的縱橫關(guān)系7.3.1 圓柱波導(dǎo)中的模場(chǎng)分布 圓柱形波導(dǎo)內(nèi)只有TE和TM模，不存在TEM模式。場(chǎng)分布的求解與矩形波導(dǎo)類似，差別在坐標(biāo)系。 TM模式的場(chǎng)分布Hz=0，Ez 滿足下列方程和邊界條件 2 01 022azzzEEkE011222222zczzzEkEEE在柱坐標(biāo)系下展開(1)式)()(),( REz0)(0222222222RmkddRdRdmddc分離變量)(sin )cos()(mmA或)()()(21cmcmkNBkJBR其解（m是分離常數(shù)）為了滿足場(chǎng)量沿方向具有2周期，m應(yīng)為整數(shù)。Jm是m階第一類貝塞爾函數(shù)，Nm是第二類貝塞爾函數(shù)。因Nm(0)=，當(dāng) =0時(shí)為了使Ez不致無(wú)窮大，應(yīng)取第一類貝塞爾函數(shù)。（m階貝塞爾微分方程）階貝塞爾微分方程）cos() (3)sinzmmcmE,E Jk m故貝塞爾函數(shù)Jn(x)的變化曲線 再利用從橫關(guān)系可以求出其他場(chǎng)分量。0azE由邊界條件，即(2)式，可得TMmn模式的截至波數(shù) (4)mncmnpkapmn代表m階貝塞爾函數(shù)的第n個(gè)零點(diǎn)。表1： J