高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2學(xué)案：5.2.1 復(fù)數(shù)的加法及減法+2.2 復(fù)數(shù)的乘法及除法 Word版含解析

1、2復(fù)數(shù)的四則運算復(fù)數(shù)的四則運算2.1復(fù)數(shù)的加法與減法復(fù)數(shù)的加法與減法2.2復(fù)數(shù)的乘法與除法復(fù)數(shù)的乘法與除法1.理解共軛復(fù)數(shù)的概念.(重點)2.掌握復(fù)數(shù)的四則運算法則與運算律.(重點、難點)基礎(chǔ)初探教材整理 1復(fù)數(shù)的加法與減法閱讀教材 P103“例 1”以上部分，完成下列問題.1.復(fù)數(shù)的加法設(shè) abi(a， bR)和 cdi(c， dR)是任意兩個復(fù)數(shù)， 定義復(fù)數(shù)的加法如下：(abi)(cdi)(ac)(bd)i.2.復(fù)數(shù)的減法設(shè) abi(a， bR)和 cdi(c， dR)是任意兩個復(fù)數(shù)， 定義復(fù)數(shù)的減法如下：(abi)(cdi)(ac)(bd)i.復(fù)數(shù) z1212i，z2122i，則 z1z

2、2等于()A.0B.3252iC.5252iD.5232i【解析】z1z2212 122i5252i.【答案】C教材整理 2復(fù)數(shù)的乘法與除法閱讀教材 P104“練習(xí)”以下P106，完成下列問題.1.復(fù)數(shù)的乘法法則設(shè) z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，則 z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.2.復(fù)數(shù)乘法的運算律對任意復(fù)數(shù) z1，z2，z3C，有交換律z1z2z2z1結(jié)合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法對加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z33.共軛復(fù)數(shù)如果兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)，那么這樣的兩個復(fù)數(shù)叫作互為共軛復(fù)數(shù).復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)用 z

3、來表示，即z-abi，則 zabi.4.復(fù)數(shù)的除法法則設(shè) z1abi，z2cdi(cdi0)，則z1z2abicdiacbdc2d2bcadc2d2i.(1i)22i2i_.【解析】(1i)22i2i2i（2i）2535145i.【答案】35145i質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問 1：解惑：疑問 2：解惑：疑問 3：解惑：小組合作型復(fù)數(shù)的加法與減法運算(1)1312i(2i)4332i_.(2)已知復(fù)數(shù) z 滿足 z13i52i，求 z.(3)已知復(fù)數(shù) z 滿足|z|z13i，求 z.【精彩點撥】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的加法與減法法則計算.(2)設(shè) zabi(a，

4、bR)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等計算或把等式看作 z 的方程，通過移項求解.(3)設(shè) zxyi(x，yR)，則|z| x2y2，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等求解.【自主解答】(1)1312i(2i)4332i13243 12132 i1i.【答案】1i(2)法一：設(shè) zxyi(x，yR)，因為 z13i52i，所以 xyi(13i)52i，即 x15 且 y32，解得 x4，y1，所以 z4i.法二：因為 z13i52i，所以 z(52i)(13i)4i.(3)設(shè) zxyi(x，yR)，則|z| x2y2，又|z|z13i，所以 x2y2xyi13i，由復(fù)數(shù)相等得x2y2x1，y3，解得x4，y3，所以 z43i.1.

5、復(fù)數(shù)加法與減法運算法則的記憶(1)復(fù)數(shù)的實部與實部相加減，虛部與虛部相加減.(2)把 i 看作一個字母，類比多項式加、減法中的合并同類項.2.當(dāng)一個等式中同時含有|z|與 z 時，一般要用待定系數(shù)法，設(shè) zabi(a，bR).再練一題1.(1)復(fù)數(shù)(1i)(2i)3i 等于()A.1IB.1iC.iD.i【解析】(1i)(2i)3i(12)(ii3i)1i.故選 A.【答案】A(2)已知|z|3，且 z3i 是純虛數(shù)，則 z_.【解析】設(shè) zxyi(x，yR)， x2y23，且 z3ixyi3ix(y3)i 是純虛數(shù)，則x0，y30，由可得 y3.z3i.【答案】3i復(fù)數(shù)的乘法與除法運算已知復(fù)

6、數(shù) z11i，z232i.試計算：(1)z1z2和 z41；(2)z1z2和 z22z1.【精彩點撥】按照復(fù)數(shù)的乘法和除法法則進行.【自主解答】(1)z1z232i3i2i25i.z41(1i)22(2i)24i24.(2)z1z21i32i（1i） （32i）（32i） （32i）15i13113513i.z22z1（32i）21i512i1i（512i） （1i）（1i） （1i）717i272172i.1.實數(shù)中的乘法公式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.2.復(fù)數(shù)的四則運算次序同實數(shù)的四則運算一樣，都是先算乘除，再算加減.3.常用公式(1)1ii；(2)1i1ii；(3)1i1ii.再練一題2.(1

7、)滿足zizi(i 為虛數(shù)單位)的復(fù)數(shù) z()A.1212iB.1212iC.1212iD.1212i(2)若復(fù)數(shù) z 滿足 z(1i)2i(i 為虛數(shù)單位)，則|z|()A.1B.2C. 2D. 3【解析】(1)zizi，zizi，iz(i1).zii1i（1i）（1i） （1i）1i21212i.(2)z(1i)2i，z2i1i2i（1i）21i，|z| 1212 2.【答案】(1)B(2)C探究共研型共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用探究 1兩個共軛復(fù)數(shù)的和一定是實數(shù)嗎？兩個共軛復(fù)數(shù)的差一定是純虛數(shù)嗎？【提示】若 zabi(a，bR)，則z-abi，則 zz-2aR.因此，和一定是實數(shù)；而 zz-2bi.當(dāng)

8、 b0 時，兩共軛復(fù)數(shù)的差是實數(shù)，而當(dāng) b0 時，兩共軛復(fù)數(shù)的差是純虛數(shù).探究 2若 z1與 z2是共軛復(fù)數(shù)，則|z1|與|z2|之間有什么關(guān)系？【提示】|z1|z2|.已知 zC，z-為 z 的共軛復(fù)數(shù)，若 zz-3iz-13i，求 z.【精彩點撥】設(shè) zabi(a，bR)，則z-abi.代入所給等式，利用復(fù)數(shù)的運算及復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為方程組求解.【自主解答】設(shè) zabi(a，bR)，則z-abi，(a，bR)，由題意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即 a2b23b3ai13i，則有a2b23b1，3a3，解得a1，b0或a1，b3.所以 z1 或 z13i.再練一題3.已

9、知復(fù)數(shù) z1(1i)(1bi)，z2a2i1i，其中 a，bR.若 z1與 z2互為共軛復(fù)數(shù)，求 a，b 的值.【解】z1(1i)(1bi)1biib(b1)(1b)i，z2a2i1i（a2i） （1i）（1i） （1i）aai2i22a22a22i，由于 z1和 z2互為共軛復(fù)數(shù)，所以有a22b1，a22（1b） ，解得a2，b1.構(gòu)建體系1.設(shè) z12i，z215i，則|z1z2|為()A. 5 26B.5C.25D. 37【解析】|z1z2|(2i)(15i)|34i| 32（4）25.【答案】B2.已知 i 是虛數(shù)單位，則(1i)(2i)()A.3iB.13iC.33iD.1i【解析】

10、(1i)(2i)13i.【答案】B3.設(shè)復(fù)數(shù) z11i，z2x2i(xR)，若 z1z2R，則 x_.【解析】z11i，z2x2i(xR)，z1z2(1i)(x2i)(x2)(x2)i.z1z2R，x20，即 x2.【答案】24.若21iabi(i 為虛數(shù)單位，a，bR)，則 ab_.【導(dǎo)學(xué)號：94210084】【解析】因為21i2（1i）（1i） （1i）1i，所以 1iabi，所以 a1，b1，所以 ab2.【答案】25.已知復(fù)數(shù) z 滿足|z| 5，且(12i)z 是實數(shù)，求 z.【解】設(shè) zabi(a，bR)，則(12i)z(12i)(abi)(a2b)(b2a)i，又因為(12i)z

11、 是實數(shù)，所以 b2a0，即 b2a，又|z| 5，所以 a2b25，解得 a1，b2，z12i 或12i，z-12i 或12i，z-(12i).我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學(xué)業(yè)分層測評學(xué)業(yè)分層測評( (十九十九) )(建議用時：45 分鐘)學(xué)業(yè)達標(biāo)一、選擇題1.實數(shù) x，y 滿足 z1yxi，z2yix，且 z1z22，則 xy 的值是()A.1B.2C.2D.1【解析】z1z2yxi(yix)xy(xy)i2，xy2，xy0，xy1.xy1.【答案】A2.已知復(fù)數(shù) z3i333i，則 z()A.0B.6iC.6D.66i【解析】z3i333i，z(33i)(3

12、i3)66i.【答案】D3.復(fù)數(shù) z32ai，aR，且 z21232i，則 a 的值為()【導(dǎo)學(xué)號：94210085】A.1B.2C.12D.14【解析】由 z32ai，aR，得 z2322232ai(ai)234a23ai，因為 z21232i，所以34a212， 3a32，解得 a12.【答案】C4.A，B 分別是復(fù)數(shù) z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點，O 是原點，若|z1z2|z1z2|，則三角形 AOB 一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形【解析】復(fù)數(shù) z1對應(yīng)向量OA，復(fù)數(shù) z2對應(yīng)向量OB.則|z1z2|OAOB|，|z1z2|OAOB|，依題意有|O

13、AOB|OAOB|.以O(shè)A，OB為鄰邊所作的平行四邊形是矩形.AOB 是直角三角形.【答案】B5.已知復(fù)數(shù) z3i（1 3i）2， z是 z 的共軛復(fù)數(shù)，則 zz 等于()A.14B.12C.1D.2【解析】z3i（1 3i）2 3i2i（1 3i）2i（1 3i）（1 3i）2i1 3ii（1 3i）434i4， z34i4，z z14.【答案】A二、填空題6.復(fù)數(shù)（12i）234i的值是_ .【解析】（12i）234i34i34i1.【答案】17.已知a2iibi(a，bR)，其中 i 為虛數(shù)單位，則 ab_.【解析】a2iibi，a2i(bi)i1bi，a1，b2，ab1.【答案】18.

14、已知復(fù)數(shù) z 滿足 z|z|28i，則復(fù)數(shù) z_.【解】法一：設(shè) zabi(a，bR).則|z| a2b2，代入方程得 abi a2b228i.a a2b22，b8，解得a15，b8，z158i.法二：原式可化為 z2|z|8i，|z|R，2|z|是 z 的實部，于是|z| （2|z|）282，即|z|2684|z|z|2，|z|17.代入 z2|z|8i，得 z158i.【答案】158i三、解答題9.在復(fù)平面內(nèi) A，B，C 三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為 1，2i，12i.(1)求AB， BC，AC對應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)判斷ABC 的形狀；(3)求ABC 的面積.【解】(1)AB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 2i11i，

15、BC對應(yīng)的復(fù)數(shù)為12i(2i)3i，AC對應(yīng)的復(fù)數(shù)為12i122i.(2)|AB| 2，|BC| 10，|AC| 82 2，|AB|2|AC|2|BC|2，ABC 為直角三角形.(3)SABC12 22 22.10.已知復(fù)數(shù) z 滿足 z(13i)(1i)4.(1)求復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)；(2)若 wzai，且復(fù)數(shù) w 對應(yīng)向量的模不大于復(fù)數(shù) z 所對應(yīng)向量的模，求實數(shù) a 的取值范圍.【解】(1)z1i3i3424i，所以復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)為24i.(2)w2(4a)i， 復(fù)數(shù) w 對應(yīng)向量為(2， 4a)， 其模為 4（4a）2 208aa2.又復(fù)數(shù) z 所對應(yīng)向量為(2，4)，其模為

16、2 5.由復(fù)數(shù) w 對應(yīng)向量的模不大于復(fù)數(shù) z 所對應(yīng)向量的模，得 208aa220，a28a0，a(a8)0，所以實數(shù) a 的取值范圍是8a0.能力提升1.(2016寧夏高二檢測)設(shè) z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是()A.若|z1z2|0，則z1z2B.若 z1z2，則z1z2C.若|z1|z2|，則 z1z1z2z2D.若|z1|z2|，則 z21z22【解析】A，|z1z2|0z1z20z1z2z1z2，真命題；B，z1z2z1z2=z2，真命題；C，|z1|z2|z1|2|z2|2z1z1z2 z2，真命題；D，當(dāng)|z1|z2|時，可取 z11，z2i，顯然 z211，z221，即 z21z22，假命題.【答案】D2.復(fù)數(shù) zxyi(x， yR)滿足條件|z4i|z2|， 則 2x4y的最小值為()A.2B.4C.4 2D.16【解析】由|z4i|z2|，得|x(y4)i|x2yi|，x2(y4)2(x2)2y2，即 x2y3，2x4y2x22y2 2x2y2 234 2，當(dāng)且僅當(dāng) x2y32時，2x4y取得最小值 4 2.【答案】C3.若復(fù)數(shù) z7ai2i的實部為 3，則 z 的