平方差公式與完全平方公式試題含答案(匯編)

1、精品文檔乘法公式的復習2-b 22=a2+2ab+b22 =a2-2ab+b 2一、復習 :(a+b)(a-b)=a(a+b)(a-b)歸納小結(jié)公式的變式，準確靈活運用公式： 位置變化， xyyxx2y2 符號變化，xyxyx 2 y2x 2 y2 指數(shù)變化， x22224y4 系數(shù)變化，2a b2ab22yxyx4ab 換式變化， xyz mxyz mxy2z m2x2y2z2222z222zm+mx y2zm m 增項變化， xyzxyzxy 22x2222zyzxy 連用公式變化， xyxyx2y2x2y2x2y2x4y4 逆用公式變化， xyz 2xyz 2xyzxyzxy zx yz

2、2x2y2z4xy 4xz例 1已知ab2，ab，求a2b2的值。1解： (a b) 2a 22abb 2 a 2b 2 = (ab)22ab a b 2 ， ab 1 a2b 2 =222 1 2例 2已知 ab8 ， ab2 ，求 (ab)2 的值。解： (a b) 2a 22abb 2(ab) 2a22abb2 (a b) 2(ab) 24ab ( ab) 24ab = (ab) 2 a b 8 ， ab 2 (a b) 2824256例 3：計算 19992-2000 × 1998解析此題中2000=1999+1， 1998=1999-1，正好符合平方差公式。22=19992

3、- （ 19992-1 2）=19992-1999 2 +1 =1例 4：已知 a+b=2， ab=1，求 a2+b2 和(a-b) 2 的值。解析此題可用完全平方公式的變形得解。解： a2+b2 =(a+b) 2-2ab=4-2=2（ a-b) 2 =(a+b) 2-4ab=4-4=0例 5：已知 x-y=2 ， y-z=2 ，x+z=14。求 x2-z 2 的值。解析此題若想根據(jù)現(xiàn)有條件求出x、y、z 的值，比較麻煩，考慮到 x2-z 2 是由 x+z 和 x-z 的積得來的，所以只要求出 x-z的值即可。解：因為 x-y=2 ， y-z=2 ，將兩式相加得 x-z=4 ，所以 x2-z

4、2 =（ x+z）(x-z)=14× 4=56。例 6：判斷（ 2+1）（22+1）（24+1） （ 22048+1）+1 的個位數(shù)字是幾？解析此題直接計算是不可能計算出一個數(shù)字的答案，故有一定的規(guī)律可循。觀察到1=（ 2-1 ）和上式可構(gòu)成循環(huán)平方差。解：（ 2+1）（ 22 +1）（24+1） （ 22048+1） +1=（2-1 ）（22+1）（ 24 +1） （ 22048+1）+1=24096=16 1024因為當一個數(shù)的個位數(shù)字是6 的時候，這個數(shù)的任意正整數(shù)冪的個位數(shù)字都是6，所以上式的個位數(shù)字必為 6。例 7運用公式簡便計算（ 1） 1032（2）19822100 3

5、22210000 600 910609解：（ 1） 1031002100332200 222240000 800 439204（2）198200220022例 8計算（ 1） a 4b 3ca 4b3c（2） 3x y 23x y2解：（ 1）原式a c b a c b a c24b226ac9c2234343a16b（2）原式 3xy2xyx2y24y49x2y24y 432 9例 9解下列各式（ 1）已知a2b2，求a b2， a b2 的值。13ab 6（ 2）已知 a b27，a b24，求22的值。ab ，ab精品文檔精品文檔（ 3）已知 a a1a222ab 的值。b2，求 a b

6、2（ 4）已知 x13 ，求 x414的值。x222x22分析：在公式 a ba2ab 中，如果把 a和ab 分別看作是一個整體，則公式中有三個未bb，a b知數(shù)，知道了兩個就可以求出第三個。解：（ 1）a22，b13ab 6a b 2 a2 b22ab 13 2 625a b 2 a2 b22ab 13 2 6 1（ 2） a b27，24a22a b22ab b7a2ab b42222211 得2ab，即 ab112 得4ab3，即 ab34a2（ 3）由 a a 1b 2得 a b 222ab1a2b22ab1a b122ab222222（ 4）由 x13 ，得 x19即 x212 9x

7、2111xxx2x2x21121即41212141119x2xx4xx4例 10四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1，一定是平方數(shù)嗎？為什么？22345112111223 456136119得猜想：任意四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上 1，都是平方數(shù)。解：設(shè) n，n 1，n 2， n3 是四個連續(xù)自然數(shù)n2 3n 2 2 n2 3n 1則 n n 1 n 2n 3 1n n 3n 1n 2 1n2 3n n2 3n 2 1n2 3n 1 2n 是整數(shù)，n 2， n 都是整數(shù)n2一定是整數(shù)33n 1n2 3n 1 是一個平方數(shù)四個連續(xù)整數(shù)的積與1 的和必是一個完全平方數(shù)。二、乘法公式的用法( 一) 、套用 : 這

8、是最初的公式運用階段，在這個環(huán)節(jié)中，應(yīng)弄清乘法公式的來龍去脈，準確地掌握其特征，為辨認和運用公式打下基礎(chǔ)，同時能提高學生的觀察能力。例 1. 計算： 5x 23y 25x 23y 2解：原式 5x2 23y2225x49 y4( 二) 、連用 : 連續(xù)使用同一公式或連用兩個以上公式解題。例 2. 計算：1a a1 a21 a41解：原式 1a21a2 1a41 a 4 1 a4 1 a8精品文檔精品文檔例 3.計算：3x2y5z13x2y5z1解：原式2 y 5z3x12y5z3x12y23x25z14y 29x225z220yz6x1三、逆用 : 學習公式不能只會正向運用， 有時還需要將公式

9、左、 右兩邊交換位置， 得出公式的逆向形式，并運用其解決問題。例4. 計算： 57825782abcabc解：原式5a7b8c5a7b8c5a7b8c5a7b8c10a 14b16c140ab160ac四、變用 :題目變形后運用公式解題。例 5.計算： xy2z xy6z解：原式xy2z4zxy 2z 4zxy24z22zx2y212z22xy4xz4yz五、活用 : 把公式本身適當變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形或重新組合，可得如下幾個比較有用的派生公式：1. ab 22aba 2b2 2. ab 22aba2b 2 3. ab 2ab 22 a 2b2 4. ab 2ab

10、 24ab靈活運用這些公式，往往可以處理一些特殊的計算問題，培養(yǎng)綜合運用知識的能力。例 6. 已知 ab4， ab5，求 a2b2 的值。解： a 2b2ab2ab4225262例 7. 計算： a b c d22bcda22解：原式bcad222 bcadbcad2a22b22c22d 24bc4ad三、學習乘法公式應(yīng)注意的問題（一）、注意掌握公式的特征，認清公式中的“兩數(shù)”2 2例 1 計算 (-2 x -5)(2 x -5)分析：本題兩個因式中“ -5 ”相同，“ 2x2”符號相反，因而“ -5 ”是公式 ( a+b)( a- b)= a2- b2 中的a，而“ 2x2 ”則是公式中的

11、b解：原式 =(-5-2 x2)(-5+2 x2)=(-5)2-(2 x2) 2=25-4 x4例 2 計算 (- a2+4b) 2分析：運用公式 ( a+b) 2=a2 +2ab+b2 時，“ - a2”就是公式中的 a，“ 4b”就是公式中的 b；若將題目變形為 (4 b- a2) 2 時，則“ 4b”是公式中的 a，而“ a2 ”就是公式中的 b（解略）（二）、注意為使用公式創(chuàng)造條件例 3 計算 (2 x+y- z+5)(2 x- y+z+5) 精品文檔精品文檔分析：粗看不能運用公式計算，但注意觀察，兩個因式中的“ 2x”、“5”兩項同號， “ y”、“z”兩項異號，因而，可運用添括號的

12、技巧使原式變形為符合平方差公式的形式解：原式 (2x+5)+(yz(2x+5)-(y z=(2x2yz2x2xyyzz2=-)- )+5) -(-) =4+20 +25-+2 -例 5 計算 (2+1)(2 2 +1)(2 4+1)(2 8+1) 分析：此題乍看無公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一項（2-1 ），則可運用公式，使問題化繁為簡2+1)(2 4+1)(2 8+1) =(2 2-1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1)=(2 4-1)(2 4+1)(2 8+1)解：原式 =(2-1)(2+1)(2= （28-1 ）（ 28+1）=216-1（三）、注意公式的推廣計算多項式的平方

13、，由( a+b) 2=a2+2ab+b2，可推廣得到： ( a+b+c ) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可敘述為：多項式的平方，等于各項的平方和，加上每兩項乘積的2 倍例6 計算(2xy2+ -3)解：原式 =(2x)2y2+(-3)2·x·y· x(-3)+2·y(-3)=4x2 y2xy-12x-6y+22+22+9+4（四）、注意公式的變換，靈活運用變形公式，求 xy2 的值例7(2)已知：x+2y，xy-2)=7=6(x2 y2x y2xy ，分析：粗看似乎無從下手，但注意到乘法公式的下列變形：=(-2x3 y3x y 3xyxy

14、，xy2xy2xy，問題則十分簡單+ )-3(-()+=( +)+ )+ )-=4解： (2)(x-2y)2=(xy2-8xy2×+2 )=7 -86=1例 8a b c2a b c2a b cb a c)2計算( +)+(+ -)+(-+ )+(-+2222分析：直接展開，運算較繁，但注意到由和及差的完全平方公式可變換出( a+b) +( a- b) =2( a +b ) ，因而問題容易解決解：原式 =( a+b)+ c 2+( a+b)- c 2+ c+( a- b) 2+ c-( a- b) 2=2( a+b) 2+c2+2 c2+( a- b) 2=2(a b2a b2c 2

15、+) +(-) +4=4a2b2c2+4+4（五）、注意乘法公式的逆運用例 9 計算 ( a-2 b+3c) 2-( a+2b-3 c) 2 分析：若按完全平方公式展開，再相減，運算繁雜，但逆用平方差公式，則能使運算簡便得多ab ca bc)(a b ca bc)=2ab cab ac解：原式 =( -2+3 )+(+2 -3-2 +3 )-(+2 -3(-4+6 )=-8+12例 10 計算 (2 a+3b) 2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5 b) 2分析：此題可以利用乘法公式和多項式的乘法展開后計算，但逆用完全平方公式，則運算更為簡便2 2 2222 解：原式 =(2

16、 a+3b) +2(2 a+3b)(4 a-5 b)+(4 a-5 b) =(2 a+3b)+(4 a-5 b) =(6 a-2 b) =36a -24 ab+4b （一）、明確公式的結(jié)構(gòu)特征這是正確運用公式的前提，如平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：符號左邊是兩個二項式相乘，且在這四項中有兩項完全相同，另兩項是互為相反數(shù)；等號右邊是乘式中兩項的平方差，且是相同項的平方減去相反項的平方明確了公式的結(jié)構(gòu)特征就能在各種情況下正確運用公式（二）、理解字母的廣泛含義乘法公式中的字母a、b 可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式理解了字母含義的廣泛性，就能在更廣泛的范圍內(nèi)正確運用公式如計算（x+2y 3z）2，若

17、視 x +2y 為公式中的 a，3z 為 b，則就可用（ a b） 2=a22ab+b2 來解了。（三）、熟悉常見的幾種變化有些題目往往與公式的標準形式不相一致或不能直接用公式計算，此時要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點常見的幾種變化是：xy）（ yx）交換x 和y的位置后即可用平方差公式計算了1、位置變化如（53+5533m n）（ m n）后就可用平方差公式求解了（思2、符號變化如（m n）（m n）變?yōu)椋? 7272+727考：不變或不這樣變，可以嗎？）3、數(shù)字變化 如 98×102，992，912 等分別變?yōu)椋?002）（100+2），（1001）2，（90+1）

18、2 后就能夠用乘法公式加以解答了精品文檔精品文檔4、系數(shù)變化m nmn）變?yōu)?2（2m nmn）后即可用平方差公式進行計算了如（4 +）（2 4+）（2 4x24y z5、項數(shù)變化yz）（xy z ）變?yōu)椋?xz）（x y z z）后再適當分組就可以如（+3 +23 +6+3 +423+4+2用乘法公式來解了（四）、注意公式的靈活運用有些題目往往可用不同的公式來解，此時要選擇最恰當?shù)墓揭允褂嬎愀啽闳缬嬎悖╝2+1）2·（ a2 1） 2，若分別展開后再相乘，則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進一步計算，則非常簡便即原式 = （ a2 +1）（a21） 2=（a4 1）2 =a8

19、2a4+1對數(shù)學公式只會順向（從左到右）運用是遠遠不夠的，還要注意逆向（從右到左）運用如計算（1 12）（1 12）（1 12） （1 12 ）（112 ），若分別算出各因式的值后再行相乘，不僅計算繁難，234910而且容易出錯若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式，則可巧解本題即原式 =（ 1 1）（1+1）（1 1）（1+1）× ×（ 1 1）（1+ 1） = 1× 3× 2× 4× ×223310102233= 1× 11= 1121020有時有些問題不能直接用乘法公式解決，而要用到乘法公式的變式，乘

20、法公式的變式主要有：（ a+b）2 2ab，a2+b2=（ a b） 2+2ab 等用這些變式解有關(guān)問題常能收到事半功倍之效如已知 m n ，mn 2222，求 m n，mmnn 的值+=7=18+9 × 111010a2+b2=面對這樣的問題就可用上述變式來解，2222即 m+n =（ m+n） 2mn=7 2×（ 18） =49+36=85，222 mn2 ×（）m mnn=（m n）+3=7318=103下列各題，難不倒你吧？！、若 a1=5，求（ 1）a2+1，（ ）（ a 1 ）2 的值1+aa22a2481632642、求（ 2+1）（2 +1）（2

21、+1）（ 2 +1）（2 +1）（2 +1）（ 2 +1）+1 的末位數(shù)字五、乘法公式應(yīng)用的五個層次乘法公式： (a b)(a b)=a 2 b2，(a ± b)=a 2±2abb2，(a ±b)(a 2±abb2)=a 3± b3 第一層次正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進行直接、簡單的套用例1計算(2)(2x y)(2x y) (2) 原式 =( y) 2x( y) 2x=y 2 4x2 第二層次逆用，即將這些公式反過來進行逆向使用例2計算精品文檔精品文檔22；(1)1998 1998· 3994 1997解 (1) 原式 =19

22、9822·1998· 199719972 =(1998 1997) 2=1第三層次活用 ：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復使用乘法公式；有時根據(jù)需要創(chuàng)造條件，靈活應(yīng)用公式例 3 化簡： (2 1)(2 2 1)(2 41)(2 81) 1分析直接計算繁瑣易錯，注意到這四個因式很有規(guī)律，如果再增添一個因式“ 21”便可連續(xù)應(yīng)用平方差公式，從而問題迎刃而解解原式 =(2 1)(2 1)(2 21)(2 41)(2 81) 1=(2 21)(2 21)(2 4 1)(2 8 1) 1=216例 4 計算： (2x 3y1)( 2x3y5)分析仔細觀察，易見兩個因式的字母部

23、分與平方差公式相近，但常數(shù)不符于是可創(chuàng)造條件“拆”數(shù)： 1=2 3， 5=2 3，使用公式巧解解原式 =(2x 3y3 2)(2x3y3 2)=(2 3y) (2x 3)(23y) (2x 3)=(2 3y) 2 (2x 3) 2=9y24x212x 12y5第四層次變用 ：解某些問題時，若能熟練地掌握乘法公式的一些恒等變形式，如a2b2=(a b) 2 2ab，a3b3=(a b) 3 3ab(a b) 等，則求解十分簡單、明快例 5 已知 ab=9，ab=14，求 2a2 2b2 和 a3b3 的值解：ab=9，ab=14， 2a22b2=2(a b) 22ab=2(9 22·1

24、4)=106，a3 b3 =(a b) 3 3ab(a b)=9 33· 14· 9=351第五層次綜合后用：將 (a b) 2=a22ab b2 和(a b) 2=a2 2ab b2 綜合，可得 (a b) 2(a b) 2 =2(a2 b2) ；(a b) 2(a b) 2=4ab；等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡捷例 6 計算： (2x yz 5)(2x yz 5) 解：原式= 1212(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)-(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)44=(2x 5)2(y z) 2 =4x220x 25y2 2yz z2六、正確認

25、識和使用乘法公式1、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想認識乘法公式：2 -b 2、完全平方公式： (a+b) 2 =a2+2ab+b2；對于學習的兩種 （三個）乘法公式：平方差公式： (a+b)(a-b)=a(a-b) 2=a2-2ab+b 2，可以運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法來區(qū)分它們。假設(shè)a、b 都是正數(shù)，那么可以用精品文檔精品文檔以下圖形所示意的面積來認識乘法公式。如圖 1，兩個矩形的面積之和（即陰影部分的面積）為 (a+b)(a-b)，通過左右兩圖的對照，即可得到22中的兩個圖陰影部分面積分別為22平方差公式 (a+b)(a-b)=a -b ；圖 2(a+b) 與(a-b)，通過面積的計算方法，即可得到

26、兩個完全平方公式：(a+b) 2=a2+2ab+b2 與 (a-b) 2=a2-2ab+b 2。2、乘法公式的使用技巧：提出負號：對于含負號較多的因式，通常先提出負號，以避免負號多帶來的麻煩。例1、運用乘法公式計算：（1）(-1+3x)(-1-3x)；（ 2）(-2m-1) 22-(3x) 2=1-9x 2 .解：（1）(-1+3x)(-1-3x)=-(1-3x)-(1+3x)=(1-3x)(1+3x)=1（2） (-2m-1) 2=-(2m+1)2=(2m+1)2= 4m2+4m+1.改變順序：運用交換律、結(jié)合律，調(diào)整因式或因式中各項的排列順序，可以使公式的特征更加明顯 .例2、運用乘法公式

27、計算：1 11a2（1）( 3a- 4b )(- 4b - 3 );（2） (x-1/2)(x+1/4)(x+1/2)111a1111解：（1）( 3a- 4b )(-4b - 3 )=(-4b+3a )(-4b - 3a )111112121212=( 4b-3a )(4b + 3a )=(4b)- (3a)=16b -9a(2) (x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x2+1/4)=(x 2-1/4) (x2+1/4)= x 2 -1/16.逆用公式將冪的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2 -b 2 = (a+b)(a-b)，逆

28、用積的乘方公nnn式，得 a b =(ab) , 等等，在解題時常會收到事半功倍的效果。（1）(x/2+5) 2-(x/2-5)2 ;（ 2）(a-1/2)2(a 2+1/4) 2 (a+1/2) 2解：（ 1） (x/2+5) 2 -(x/2-5)2=(x/2+5)+(x/2-5) (x/2+5)-(x/2-5)=(x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x· 10=10x.精品文檔精品文檔（ 2） (a-1/2) 2 (a 2+1/4) 2 (a+1/2) 2=(a-1/2)(a2+1/4) (a+1/2)2 =(a-1/2) (a+1/2) (a2 +1/4) 2

29、2224284=(a -1/4) (a +1/4)=(a -1/16 )=a -a /8+1/256.合理分組：對于只有符號不同的兩個三項式相乘，一般先將完全相同的項調(diào)到各因式的前面，視為一組；符號相反的項放在后面，視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進行計算。計算：（ 1） (x+y+1)(1-x-y);（ 2） (2x+y-z+5)(2x-y+z+5).2-(x+y) 2解：（1） (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)= 1+(x+y)1-(x+y)=1=1-(x 2 +2xy+y2)= 1-x 2-2xy-y2 .（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5

30、)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)= (2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z)= (2x+5) 2 -(y-z)2 =(4x 2+20x+25)-(y 2-2yz+z 2)= 4x 2+20x+25-y 2+2yz-z 2 = 4x 2-y 2 -z 2+2yz +20x+25 .七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中數(shù)學的重要內(nèi)容，是今后學習的基礎(chǔ)，應(yīng)用極為廣泛。尤其多項式乘多項式，運算過程復雜，在解答中，要仔細觀察，認真分析題目中各多項式的結(jié)構(gòu)特征，將其適當變化，找出規(guī)律，用乘法公式將其展開，運算就顯得簡便易行。一 .先分組，再用公式例 1. 計算： (abc d )( a

31、 b c d )簡析：本題若以多項式乘多項式的方法展開， 則顯得非常繁雜。 通過觀察，將整式 ( abcd) 運用加法交換律和結(jié)合律變形為( bd )( ac) ；將另一個整式 ( a b cd ) 變形為 ( bd)( ac) ，則從其中找出了特點，從而利用平方差公式即可將其展開。解：原式(bd )(ac)bda c(bd )2(ac)2b22bdd 2a 22acc2二 .先提公因式，再用公式例 2. 計算：yy8x4 x24簡析：通過觀察、比較，不難發(fā)現(xiàn)，兩個多項式中的x 的系數(shù)成倍數(shù)， y 的系數(shù)也成倍數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關(guān)系， 若將第一個多項式中各項提公因數(shù)2 出來，變?yōu)?24 xy ，則可利用乘法公式。4解：原式2 4 xy4xy442y224x432 x 2y28三 .先分項，再用公式例 3. 計算：2x3y 22x3y6簡析：兩個多項中似乎沒多大聯(lián)系，但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著手觀察，不難發(fā)現(xiàn)，x的系數(shù)相同，y 的系數(shù)互為相反數(shù)， 符合乘法公式。 進而分析如何將常數(shù)進行變化。若將 2分解成 4與2 的和，將 6分解成 4 與 2 的和，再分組，則可應(yīng)用公式展開。解：原式 = (2 x4)( 23y)2 x42 3y精品文檔精品文檔( 2x4) 222 3y4 x216 x 12 12 y 9y2四 .先整體展開，再用公式例 4. 計算： (a2b)(