第四章++曲線積分與曲面積分

1、第四章 曲線曲面積分第一講 型曲線積分與型曲面積分教學目的與要求：1. 理解型（對弧長的）曲線積分的概念和性質(zhì)； 2. 理解型（對面積的）曲面積分的概念和性質(zhì)； 3. 掌握計算曲線積分與曲面積分的方法； 4. 了解曲線積分與曲面積分的應(yīng)用。知識點：型曲線積分的概念、性質(zhì)、計算及應(yīng)用；型曲面積分的概念、性質(zhì)、計算及應(yīng)用重點：型曲線曲面積分的計算難點：型曲線曲面積分的概念教學方式：啟發(fā)對比式教學，多媒體輔助教學思路：有定積分和重積分為基礎(chǔ)，指出重積分及定積分的本質(zhì)區(qū)別是積分區(qū)域不同，從而將積分區(qū)域再次變更，就自然地引入了型曲線曲面積分；為了得出精確定義以實例為背景，再逐一介紹性質(zhì)、計算方法及應(yīng)用，

2、并以對比的方式進行。教學過程：一、引例與概念指出定積分、二重積分、三重積分的概念都是構(gòu)造性定義，它們的實際背景分別是曲邊梯形的面積，曲頂柱體的體積、物體的質(zhì)量，那么曲線形構(gòu)件的質(zhì)量，曲面形構(gòu)件的質(zhì)量又怎樣得到，是否能得到我們所需要引進的概念，下面看引例。1引例引例1 設(shè)有線密度為(x, y)的非均勻平面曲線形構(gòu)件L，求其質(zhì)量解：分割，M1，M2，Mn-1si， 求和， （近似值） 取極限， （精確值） 引例2 設(shè)有線密度為的非均勻空間曲線形構(gòu)件，求其質(zhì)量。解：分割，M1，M2，Mn-1si， 求和， （近似值） 取極限， （精確值） 引例3 設(shè)有面密度為的非均勻光滑曲面形構(gòu)件，求其質(zhì)量。解：分

3、割，用一族曲面將分割， 求和， （近似值） 取極限， （精確值）以上三個引例有共同點：（1）都與函數(shù)和區(qū)域有關(guān)；（2）處理方法一樣（分割、求和、取極限），（3）結(jié)果一樣（和的極限）。由此可得型曲線曲面積分的定義。2概念型線面積分的統(tǒng)一定義（形式上的定義）設(shè)S表示曲線（或曲面），是可以度量的，f (P)是有界函數(shù)（1）將S任意分劃成n個小部分S1，Sn（Si也表量度）；（2），作乘積作和；（3）記的直徑如果無論對S怎樣的分劃，在上怎樣的取法都存在，則稱其為在S上的曲線（或曲面）積分。記為 （1）若，則對弧長的曲線積分（2）若，則對弧長的曲線積分（3）若則對面積的曲面積分注意：（1）當在光滑曲線弧

4、L上連續(xù)時，對弧長的曲線積分存在。（1）當在光滑曲面上連續(xù)時，對面積的曲面積分存在。（2）曲線型構(gòu)件的質(zhì)量（2）曲面型構(gòu)件的質(zhì)量（3）若L為封閉曲線，則記為（3）若為封閉曲面，則記為（4）， （4），型線面積分與方向無關(guān)！二性質(zhì)（1）（1） （2） （k為常數(shù)）（2） （k為常數(shù)）（3）（3）（4）。三、對弧長的曲線積分的計算1直接計算法 定理1 （1）設(shè)在L上連續(xù)， （2）L的參數(shù)方程為 ， （3）在上具有一階連續(xù)導數(shù)，且， 則 ）定理證明從略。 注意：（1）積分下限一定小于上限； （2）計算時，將換成，再作的積分 概括為“一代二換三定限”； （3）。 （4）。 （5） （6） .ex1.

5、計算，其中L是以O(shè)(0,0), A(1,0), B(0,1)為頂點的三角形的邊。解：； ex2. 計算，其中L為圓周，直線及軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界。解： ； ； ex3. 計算，其中為折線A(0,0,0), B(0,0,2), C(1,0,2), D(1,3,2).解：； 2利用對稱性簡化計算利用對稱性可以簡化I型曲線積分的計算，在運用時必須注意被積函數(shù)與積分區(qū)域兩個方面的對稱性要相互匹配。I型曲線積分的對稱性歸納如下幾種情形： （1）當L對稱于x軸時， （2）當L對稱于y軸時，ex4. 求，其中，從（1，2）到（1，-2）一段.方法1. 選取. 方法2. 由于L關(guān)于x軸對稱，被

6、積函數(shù)是關(guān)于y的奇函數(shù). ex5. 求，其中為圓周 解 由對稱性，知 故 ，球面大圓周長）四、對弧長的曲線積分的應(yīng)用 （1）當表示L的線密度時， （2）當時，L弧長= （3）當表示立于L上的柱面在點處的高時， （4）曲線弧的重心坐標 （5）曲線弧的轉(zhuǎn)動慣量 對空間曲線形構(gòu)件也有結(jié)論！ex6. 設(shè)有曲線形構(gòu)件方程為，求解： （1） （2） 五、對面積的曲面積分的計算 1直接計算法定理2. （1）設(shè)有光滑曲面 （2）在上連續(xù)， 則 定理證明從略，這里只簡單給出dS的代換。 ， ，故結(jié)論成立。注意： （1）計算過程可概括為“一投影二代三換”，化為二重積分。 （2）若光滑曲面為 則 （3）若光滑曲面為

7、 則 （4）一般地，向投影區(qū)域易找且面積非0的坐標面投影。ex7. 計算，是半球面在圓錐面里的部分。解： ex8. 計算，是由，所圍成的四面體的整個邊界曲面。解： ex9. 計算是介于平面及之間的圓柱面。解： ， 注意：本題中曲面不能向xoy面投影。2利用對稱性簡化計算利用對稱性可以簡化I型曲面積分的計算，在運用時必須注意被積函數(shù)與積分區(qū)域兩個方面的對稱性要相互匹配。I型曲面積分的對稱性歸納如下幾種情形： （1）當關(guān)于xoy面對稱， （2）當關(guān)于yoz面對稱， （3）當關(guān)于zox面對稱，ex10. 計算， 為球面解：球面關(guān)于三個坐標面對稱，且xy, yz, zx是關(guān)于x, y, z的奇函數(shù)，

8、ex11 計算，其中是圓柱面，平面及所圍成的空間立體的表面。解： 其中：，投影域 ，投影域顯然 ， 討論時，將投影域選在xoz上。（注意：分為左、右兩片）投影域， ，ex12. 計算，其中為被z = 1割下的部分解：， 拋物面關(guān)于yoz面與zox面對稱，而是關(guān)于x與y的偶函數(shù)， ex13. 計算，其中為內(nèi)接于球面的八面體表面。解 關(guān)于三個坐標面對稱，是關(guān)于x, y, z的偶函數(shù)，故原積分 ，（其中表示第一封限部分曲面） ，即 =六、對面積的曲面積分的應(yīng)用 （1）當表示的面密度時，； （2）當時，； （3）曲面構(gòu)件的重心坐標 （4）曲面構(gòu)件的轉(zhuǎn)動慣量 例14 書中652頁例題7。本課小結(jié)： 本次

9、課著重介紹了型曲線曲面積分的概念與計算方法，其中特別注意對稱性的運用以及與定積分和重積分的區(qū)別。思考題：1對弧長的曲線積分的定義中的符號可能為負嗎？解：的符號永為正，它表示弧段的長度。2. 在對面積的曲面積分化為二重積分的公式中，有因子，試說明其幾何意義。解：是曲面法線與z軸夾角的余弦的倒數(shù)。作業(yè)：見練習冊。第二講 型曲線積分教學目的與要求：1理解型（對坐標的）曲線積分的概念和性質(zhì)；2了解兩類曲線積分的關(guān)系；3掌握計算型曲線積分的方法；4了解型曲線積分的應(yīng)用。知識點：型曲線積分的概念、性質(zhì)、計算及應(yīng)用；兩類曲線積分的關(guān)系。重點：型曲線積分的計算難點：型曲線積分的概念教學方式：對比啟發(fā)式教學，多

10、媒體輔助教學思路：給出實例，分析得到與型曲線積分相類似又有區(qū)別的結(jié)果，從而引入概念，接著介紹其計算方法，從計算法可以看出兩類曲線積分是有聯(lián)系的，最后指出兩類曲線積分的關(guān)系。教學過程：一、引例與概念實例：變力沿曲線所作的功 考慮質(zhì)點在作用下，沿xoy面上光滑曲線弧L由A移至B，求所作的功。分割：， 取 ，即 求和 （近似值）取極限 （精確值） 同樣，我們把和的極限抽出來，稱為型曲線積分。定義：設(shè)L為xoy面上從A到B的有向光滑曲線弧，在L上有界。（1）任意分L成n個有向小弧段,;（2） 作；（3）記的長度如果無論對L怎樣的分劃，在上怎樣的取法， （*） （*）都存在，則稱（*）為在L上對坐標x的

11、曲線積分； 稱（*）為在L上對坐標y的曲線積分。也稱為第二類曲線積分或型曲線積分！記為 注意： （1）存在性：當在光滑曲線弧L上連續(xù)時，第二類曲線積分存在。 （2） （3）物理意義：變力沿曲線作功 其中 （4）是弧在x, y軸上的投影，可正可負。 （5）對于空間有向曲線弧有 二、性質(zhì) 1 2如果把L分成L1和L2，則 3 即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關(guān)。三、對坐標的曲線積分的計算 1直接計算法定理（1）設(shè)在L上連續(xù)， （2）L的參數(shù)方程為 ， 具有一階連續(xù)導數(shù)，且 （3）當t單調(diào)地由變到時，點由L的起點沿L運動到B 則 定理證明略。注意： （1）定積分是從（起點終點）進行積分的。 隨L的方

12、向不同，可正可負。 （2） x由 （3） y由 （4）由由 （5）由 （6）計算過程概括為“一代二換三定限”。ex1 計算 ，其中L為圓周（按逆時鐘方向繞行）。解：選取參數(shù)方程 由 ex2 計算，其中L為圓周在第一象限內(nèi)的部分（按逆時鐘方向繞行）。解法1：選取參數(shù)方程 ， t由 解法2：圓周的極坐標方程為 選取參數(shù)方程 ， 由 ex3 計算，其中L為有向折線O（0，0），A（1，1），B（0，1），O。解 由； 由； 由； ex4 計算，其中為有向折線A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1),A.解：，x由； ，y由； ，x由； 2利用對稱性簡化計算利用對稱性可以簡化II型曲線

13、積分的計算，在運用時必須注意被積函數(shù)與積分區(qū)域兩個方面的對稱性要相互匹配。II型曲線積分的對稱性歸納如下幾種情形： （1）當L對稱于x軸時， （2）當L對稱于y軸時， 四、對坐標的曲線積分的應(yīng)用對坐標的曲線積分的應(yīng)用主要是變力作功，即ex5. 求力場 沿曲線，自到所作的功。解： 選取的參數(shù)方程 ， t由 五、兩種曲線積分之間的聯(lián)系 設(shè)有向平面曲線弧為，一方面， 其中 單位切向量另一方面， 其中是L在處的切向量的方向余弦。 同樣，是在處的切向量的方向余弦。ex6. 將化為對弧長的曲線積分，其中L是上半圓周從(0, 0)到(1, 1)解 依題意，L為 本課小結(jié)： 本次課介紹了型曲線積分的概念、計算

14、、應(yīng)用以及與型曲線積分之間的關(guān)系，注意兩類曲線積分在計算上的相同和不同之處，型曲線積分對稱性的運用要注意條件和結(jié)論。思考題：當曲線L的參數(shù)方程為 ，a為常數(shù)，參數(shù)，試問如何表示L的方向？ 解：曲線方向由參數(shù)的變化方向而定。 當t從0到時，L取逆時針方向；當t從變到0時，L取順時針方向。作業(yè)：見練習冊。第三講 Green公式及其應(yīng)用教學目的與要求：1掌握Gren公式；2會運用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件；3會求全微分的原函數(shù)；4會解全微分方程知識點：Green公式，平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，已知全微分求原函數(shù)，單連通區(qū)域，全微分方程重點：Green公式難點：Green公式的應(yīng)用教學方式：講練

15、結(jié)合，多媒體輔助教學思路：在論證Green公式成立的基礎(chǔ)上，逐一介紹Green公式在多方面的應(yīng)用。平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，已知全微分求原函數(shù)，求解全微分方程是三個有密切聯(lián)系的問題，在介紹過程中要強調(diào)這一點，這樣既省時間又能使知識相互滲透。教學過程：由曲線積分與二重積分的計算法發(fā)現(xiàn)，它們最終都與定積分相關(guān)聯(lián)，而平面曲線圍成的區(qū)域正好是平面區(qū)域，那么曲線積分是否與二重積分有聯(lián)系呢？下面由Green公式來告訴我們。一、Green公式Green公式敘述了曲線積分與二重積分的關(guān)系，首先介紹1單連通區(qū)域設(shè)D為平面區(qū)域，如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D，則稱D為平面單連通區(qū)域，否則稱為復連通區(qū)域

16、。單連通區(qū)域不含有“洞”或“點洞”；復連通區(qū)域含有“洞”或“點洞”；2D的邊界曲線L的正向規(guī)定當觀察者沿L的正向行走時，區(qū)域D內(nèi)離他近處的那一部分總在他的左邊。3Green公式定理 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，在D上有一階連續(xù)偏導數(shù)，則其中L為D的取正向的邊界曲線，為L的切向量的方向余弦。證 根據(jù)D的不同形狀，分三種情況進行討論。（1）D既是x-型區(qū)域又是y-型區(qū)域 同理可證 兩式相加得 （2）D由一條分段光滑的閉曲線圍成，將D分成三個既是X-型又是Y-型的區(qū)域D1，D2，D3 （對D來說為正方向）（3）D為復連通域，由（2）知 （對D來說為正方向）便于記憶形式：注意：應(yīng)用Green公式

17、條件缺一不可。3Green公式的簡單應(yīng)用（1）簡化曲線積分ex1. 計算，其中曲線L從E(1, 0)到F(2, 1)再到G(3, 0)，F(xiàn)G是半圓弧。解 如圖所示作輔助線GE，運用Green公式， 原式 ex2 求，其中為任一給定方向，為閉合曲線C的切向量。 解 設(shè)的方向余弦為（常數(shù)） 的方向余弦為， 則， ex3 計算，其中L為一條無重點，分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線，L的方向為逆時針方向。解，令 ， 則當時，有 記L所圍成的閉區(qū)域為D， （1）當時，符合Green公式的條件 （2）當時，作位于D內(nèi)的足夠小圓周 記D1由L和l所圍成，在D1上符合Green公式的條件。 原式 注意： 若計

18、算 ，如何選擇輔助曲線l？ 若計算，如何選擇輔助曲線l？ （2）簡化二重積分ex4. 計算，其中D是以為頂點的三角形閉區(qū)域。解 令 則 ， 應(yīng)用Green公式，有 （3）計算平面面積 Green公式： 取，得，閉區(qū)域D的面積 取，得 取 ，得 二、曲線積分與路徑無關(guān)的條件 1曲線積分與路徑無關(guān)的定義 如果在區(qū)域G內(nèi)有則稱曲線積分 在G內(nèi)與路徑無關(guān)。 2與路徑無關(guān)的四個等價關(guān)系定理：設(shè)G是單連通區(qū)域，在G內(nèi)有一階連續(xù)偏導，則以下四個命題等價： （1）為G中一光滑或分段光滑閉曲線； （2）與路徑無關(guān)，僅與L的起點A和終點B有關(guān)； （3）在G內(nèi)有函數(shù)，使得； （4）在G內(nèi)恒成立。證 如圖所示 要 ，

19、即 作 則 同理， 由具有一階連續(xù)偏導數(shù)可得， 由Green公式得注意： （1）曲線積分與路徑無關(guān)要求在單連通區(qū)域內(nèi)考慮，而Green公式只要求封閉路徑； （2）對給定的曲線積分，通常由推出其它三個結(jié)論； （3）當時，具體求法為： 沿（水平鉛直）時，； 沿（鉛直水平）時， （4）若是的原函數(shù)， 則 ex5. 計算 解 ，所以積分與路徑無關(guān)。且 原式 ex6. 計算 （1）L為的正向； （2）L為的正向； （3）L為擺線 從到的一段 解 （1）由Green公式或與路徑無關(guān)的條件可得，原式=0（2）如圖，作適當小的圓 ，由Green公式有，原式=（3）如圖，由積分與路徑無關(guān)，選擇 ，t由， 原式=

20、ex7. 設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)，其中具有連續(xù)的導數(shù)，且，計算。解： ，由積分與路徑無關(guān)，得 即 ，由 得 ， ex8. 計算，其中L為上由（0，0）到的一段弧。解： 曲線積分與路徑無關(guān)，可選擇折線OAB積分。 ex9. 計算 ，其中L為上自到的段弧。解： ， 添加輔助線AO，應(yīng)用Green公式， 原式三、全微分方程 1全微分方程的定義對于微分方程，如果存在使得，則稱為全微分方程。2判斷方法若，則為微分方程。3求解方法由于 為通解。即為 或 ex10. 求解解： 方程可變形為 故原方程為全微分方程。方法1. 取，則 為原方程的通解。 方法2. 則 ，即 從而，故 為原方程的通解。方法3. 利用分

21、項組合湊微分，即 ，即 即 ，即 ，即 ，故得方程通解為4積分因子的求法若不是全微分方程，而是全微分方程，則稱為積分因子。（1）用觀察法求積分因子如 不是全微分方程由于 ； ； 都是的積分因子。（2）僅與x或y有關(guān)的積分因子的求法若 ，則 ；若 ，則 ；ex11. 利用觀察法求積分因子，并求解方程。解： 將方程重新給合得 觀察得為積分因子，從而可得新方程 取 所求通解為 注意：積分因子這個工具，從理論上講，它提供了求解微分方程的一般方法，但對于一個具體的方程如何找出所要的積分因子，并不容易。除了比較特殊的幾種積分因子有具體求法外，通常利用觀察法。本課小結(jié)： 本次課重點介紹了Green公式及其應(yīng)

22、用，在應(yīng)用Green公式時一定要注意條件，區(qū)別Green公式和曲線積分與路徑無關(guān)的條件所要求滿足的條件，在這堂課中起著相當重要的作用。作業(yè)：見練習冊。第四講 型曲面積分教學目的與要求：1了解型（對坐標的）曲面積分的概念與性質(zhì)；2掌握計算型曲面積分的方法；3了解兩類曲面積分的關(guān)系；4了解型曲面積分的應(yīng)用。知識點：型曲面積分的概念、性質(zhì)、計算及應(yīng)用，兩類曲面積分的關(guān)系。重點：型曲面積分的計算。難點：型曲面積分的概念。教學方式：對比式啟發(fā)教學，多媒體輔助。教學思路：提出曲線積分分為對弧長的曲線積分和對坐標的曲線積分，比較后得出曲面積分也應(yīng)有對坐標的曲面積分，具體形式由實例引入，作為一種新的積分，詳細

23、介紹其計算方法與應(yīng)用，由概念的引入直接得出兩類曲面積分的關(guān)系。教學過程：一、曲面的投影我們通常碰到的曲面有上側(cè)，下側(cè)；左側(cè)，右側(cè)；前側(cè)，后側(cè)；內(nèi)側(cè)，外側(cè)之分。這時曲面是雙側(cè)的，以后我們只對雙側(cè)曲面進行討論。而“莫比烏斯帶”是典型的單側(cè)曲面。雙側(cè)曲面的側(cè)是利用曲面上法向量的指向來確定的。取定了法向量或選定了側(cè)的曲面叫做有向曲面。同一曲面不同的側(cè)在坐標面上投影區(qū)域是同一個，有向曲面的投影并非投影區(qū)域，而是投影區(qū)域前冠以正號或負號。有向曲面的投影的具體規(guī)定如下：設(shè)是有向曲面，為上一小塊曲面，在xoy面上的投影為，其面積為，曲面上各點處法向量與z軸夾角為，且不變號，則；類似地二、實例（流量問題） 設(shè)某

24、流體以一定的速度從給定曲面的負側(cè)流向正側(cè)，為連續(xù)函數(shù)，求單位時間內(nèi)流經(jīng)曲面的總流量。 解：若為平面區(qū)域，面積為A，其法向量 此時 對曲面來說，須把它分成n個小片，在各小片上把近似看成平面，取，用這點的近似代替流速，用，代替上各點處的單位法向量。那么內(nèi)的流量近似值為 取 的直徑， 三、定義與性質(zhì) 1定義設(shè)為光滑或分片光滑的有向曲面，在上有定義且連續(xù)，（1）將任意分成n個小片（也表面積），在xoy(yoz, zox)面上的投影為；（2），有， 作和 （3）取的直徑，若的存在與的取法和的分法無關(guān)，則稱此極限值為在上的型曲面積分，或?qū)ψ鴺说那娣e分，記為其中對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分對坐標的曲面

25、積分2注意（1）（2）若為封閉曲面，記為（3）流量為（4）當在有向光滑曲面上連續(xù)時，對坐標的曲面積分存在。3性質(zhì)（1）（2）用表示與相反的側(cè)，則四、計算方法1直接計算法（1）計算時，取的方程為：，且，則10 當取上側(cè)時，20 當取下側(cè)時，（2）計算時，取的方程為：，且10 當取前側(cè)時，20 當取后側(cè)時，（3）計算時，取的方程為：，且10 當取右側(cè)時，20 當取左側(cè)時，注意：（1）計算過程為“一投影二代三定向”；（2）對坐標的曲面積分投影到面；（3）對坐標的曲面積分投影到面；（4）對坐標的曲面積分投影到面；（5）若投影面積為0，則該積分為0。ex1. 計算，其中為錐面及平面所圍成的空間區(qū)域的整個

26、邊界曲面的外側(cè)。解：如圖所示，記，取下側(cè)；，取上側(cè)；，取下側(cè)ex2. 計算，其中是球面外側(cè)在的部分。解：把分成和兩部分。；，2對稱性簡化計算法利用對稱性可以簡化II型曲面積分的計算，在運用時必須注意被積函數(shù)與積分區(qū)域兩個方面的對稱性要相互匹配。II型曲面積分的對稱性歸納如下幾種情形：10 關(guān)于面對稱，則（1）當時，（2）當時，20 關(guān)于面對稱，則（1）當時，（2）當時，30 關(guān)于面對稱，則（1）當時，（2）當時，ex3. 設(shè)為，求解：由的曲面方程可以看出，關(guān)于三個坐標面對稱，且，是關(guān)于的偶函數(shù)，ex4. 計算，其中為曲面及平面所圍成的空間區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè)。解：如圖所示，由于曲面關(guān)于面和

27、面對稱，且是關(guān)于的偶函數(shù)，是關(guān)于的偶函數(shù)，記，取下側(cè)；，取上側(cè)；ex5. 設(shè)為的上側(cè)，計算解：如圖所示，由區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性得五、兩類曲面積分的關(guān)系其中為上點處的法向量的方向余弦。ex6. 計算其中連續(xù)，是平面在第四卦限部分的上側(cè)。解：如圖所示，設(shè)，取上側(cè)，則ex7. 計算，其中是旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面及之間的部分的下側(cè)。解：在曲面上，有，本課小結(jié)：本次課介紹了型曲面積分的概念、性質(zhì)和計算方法，要求在大量練習的基礎(chǔ)上掌握其計算方法，注意與I型曲面積分計算的區(qū)別，同時對稱性的運用要求的條件也是苛刻的，結(jié)論有與I型曲面積分相反之處。思考題：設(shè)為球面，若以其球面的外側(cè)為正側(cè)，試問之左側(cè)（即軸

28、與其法線成鈍角的一例）是正側(cè)嗎？那么的左側(cè)是正側(cè)嗎？解：此時的左側(cè)為負側(cè)，而的左側(cè)為正側(cè)。作業(yè)：見練習冊。第五講 Gauss公式通量教學目的與要求：1. 了解Gauss公式；2會用Gauss公式計算曲面積分；3了解通量與散度的概念并會計算。知識點：Gauss公式，沿閉曲面的曲面積分為零的條件，通量，散度。重點：Gauss公式難點：Gauss公式的綜合應(yīng)用教學方式：比較啟發(fā)式教學，多媒體輔助。教學思路：通過回顧Green公式，從而引進Gauss公式；并舉例說明Gauss的應(yīng)用，與直接計算曲面積分比較，Gauss公式有許多方便之處；通量與散度是兩個物理概念，但它們直接與Gauss公式有關(guān)聯(lián)，直接給

29、出定義并會計算即可。教學過程：一、Gauss公式高斯公式或奧氏公式或奧高公式Green公式建立了沿閉曲線的曲線積分與二重積分的關(guān)系，而空間閉曲面上的曲面積分與三重積分也有類似的關(guān)系，就是下面介紹的Gauss公式。定理1 （1）設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面所圍成；（2）在上有一階連續(xù)偏導。則或其中是的整個邊界曲面的外側(cè)，是上點處的外法向量的方向余弦。證：（1）設(shè)平行于坐標軸的直線與邊界曲面的交點不多于兩個，如圖設(shè)閉區(qū)域在面上的投影區(qū)域為。由，和三部分組成，取下側(cè)；，取上側(cè)；，取外側(cè)。且根據(jù)三重積分的計算法根據(jù)曲面積分的計算法同理，當時，有當時，有三式相加得，（2）當平行于坐標軸的直線與邊界曲面

30、的交點多于兩個時，引進輔助曲面后分成多個（1）中的區(qū)域，可得結(jié)論。注意：（1）Gauss公式的實質(zhì)：表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系。（2）Gauss公式可用來簡化某些曲面積分的計算。（3）不是封閉曲面時，添加輔助面后可用Gauss公式。（4）使用Gauss公式時應(yīng)考慮：是對什么變量求偏導，是否有連續(xù)偏導，是否是閉曲面的外側(cè)。如果是閉曲面的內(nèi)側(cè)，則在三重積分號前添“-”號?。?）可用曲面積分計算空間區(qū)域的體積：ex1. 計算 ，其中是第一卦限內(nèi)邊長為a的正方體表面并取外側(cè)。解：記所圍的區(qū)域為，利用Gauss公式，有 原式ex2. 計算曲面積分，其中為柱面及平面所圍

31、成的空間閉區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè)。解： 利用Gauss公式，得 原式ex3. 計算，其中是球面是球面內(nèi)法線的方向余弦。解：記所圍空間區(qū)域為，由Gauss公式，有 原式= 二、沿閉曲面的曲面積分為零的條件定理2. （1）設(shè)開區(qū)域G是一個空間的單連通域 （2）在G內(nèi)有一階連續(xù)偏導，則有結(jié)論： （1）若為G內(nèi)任一有向閉曲面， （2）若為G內(nèi)同一邊界曲線所張的任兩有向曲面， 證：由Gauss公式，有反證法 假設(shè)在G內(nèi)有一點M0使得不妨設(shè)，由于連續(xù)，故在G內(nèi)存在一個包含M0的為邊界曲面的小空間區(qū)域，且在內(nèi)也有， 與已知矛盾，故結(jié)論成立。三、通量與散度定義：設(shè)向量場， 是有向曲面上處的單位法向量，則叫做

32、通過指定側(cè)的通量（流量）； 而 叫做的散度（divergence），記為注意： （1）通量即為 （2）Gauss公式可寫成 （3）對封閉區(qū)域來說通量為 （4）由Gauss公式可知 即源頭強度等于散度。ex4. 設(shè)，求；并計算此向量場穿過曲面的側(cè)表面的通量（流向外側(cè)）。解： 曲面對稱于yoz, zox面， 而 分別是的偶函數(shù)， 又曲面在xoy面上投影為0，四、綜合題解ex5. 計算，其中為由曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面，其法向量與軸正向夾角恒大于。解：所給曲面如圖，添加輔助面，取上側(cè)；記圍成的空間區(qū)域為，由Gauss公式有ex6. 計算，其中是被與所截的外側(cè)。解：如圖所示，關(guān)于面對稱，是的奇函數(shù)

33、記，取前側(cè)ex7. 計算，是第一卦限內(nèi)拋物面的下側(cè)。解：如圖所示，添加輔助面，取后側(cè)；，取左側(cè)；，取上側(cè)設(shè)圍成的空間區(qū)域為，由Gauss公式有ex8. 計算曲面積分，其中是球面的下半部，是向上的法線正向與軸正向的夾解。解：如圖所示，添加輔助面，取下側(cè)ex9. 設(shè)空間區(qū)域由曲面與平面圍成，其中為正常數(shù)，記表面的外側(cè)為，的體積為V，證明證：V xyz關(guān)于x為奇函數(shù)對稱于yoz面 ex10. 設(shè)可微，為長方體，的外側(cè)，求。解：本課小結(jié)：本次課著重介紹了Gauss公式及應(yīng)用，注意Gauss公式需要的條件缺一不可，并且會計算通量與散度。思考題：曲面應(yīng)滿足什么條件才能使Gauss公式成立？解：曲面應(yīng)為分片

34、光滑的閉曲面。作業(yè)：見練習冊。第六講 Stokes公式、環(huán)量與旋度教學目的與要求：1. 了解Stokes公式；2了解旋度的概念，并會計算；3了解環(huán)流量的概念，并會計算；4了解空間曲線積分與路徑無關(guān)的幾個等價關(guān)系。知識點：Stokes公式，空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件，環(huán)流量，旋度。重點：Stokes公式難點：Stokes公式的應(yīng)用教學方式：對比式教學，多媒體輔助教學思路：Green公式給出了平面區(qū)域上的二重積分與平面區(qū)域的邊界曲線上的曲線積分的關(guān)系，將其推廣即可得到Stokes公式，由此易得空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件，再簡單介紹環(huán)量與旋度兩個概念。教學過程：一、Stokes公式Stokes公

35、式建立了沿空間曲面的積分與沿的邊界曲線的積分之間的關(guān)系，曲面的側(cè)與邊界曲線的方向作如下規(guī)定（右手法則）：當右手四指依的繞行方向時，大拇指所指的方向與上法向量的指向相同，這時稱是有向曲面的正向邊界曲線。定理1. (1)設(shè)光滑曲面的邊界是按段光滑的連續(xù)曲線， （2）在（連同）上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導，則其中的側(cè)與的方向按右手法則確定。證：思路：曲面積分二重積分曲線積分 先證 （1）設(shè)平行于坐標軸的直線與的交點不多于一個，則設(shè)當為上側(cè)，在xoy面上投影區(qū)域為，在xoy面上的投影曲線為C時，如圖所示。的法向量為，方向余弦為，則 取下側(cè)同樣成立。同理可證 三式相加即得結(jié)論。（2）若平行于坐標軸的直線與的

36、交點多于一個時，作輔助線可得結(jié)論成立。注意：（1）便于記憶，Stokes公式可用行列式表示為（2）利用兩類曲面積分的關(guān)系，得Stokes公式的另一形式其中（3）Stokes 公式的實質(zhì)：表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系。（4）當是xoy面的平面閉區(qū)域時，Stokes公式成為Green公式。故也稱Stokes公式為空間的Green公式。（5）Stokes公式理論上很重要，用它來計算曲線積分并不很方便。ex1. 計算，方向為由x軸正向看去是逆時針的。解：如圖所示，取為的上側(cè)， 注意： （1）截面圓的半徑為。 （2）選用兩種類型的曲面積分都可以，就本題來說，積分號下出現(xiàn)常

37、數(shù)，故選對面積的曲面積分為宜。（3）積分曲面是選平面還是選球面被平面割下的那一部分，從理論上講，都是可以的，以計算簡單為宜。 或 即 （4）再次體現(xiàn)Stokes公式計算曲線積分并不方便。 （5）也可化為參數(shù)方程直接計算。ex2. 計算，為橢圓，若從x軸正向看去，這橢圓是取逆時針方向。解：如圖所示，取為的上側(cè)， 原式= ex3. 計算，其中是平面截立方體：，的表面所得的截痕，若從ox軸的正向看去，取逆時針方向。解：取為平面的上側(cè)被所圍成的部分 ， 二、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理2. 設(shè)空間開區(qū)域G是單連通區(qū)域；在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則以下四個命題相互等價： （1）沿G內(nèi)任意分段光滑的閉

38、曲線有 （2）沿G內(nèi)任意分段光滑的曲線，與路徑無關(guān)，只與的起點和終點有關(guān)。 （3）在G內(nèi)恒成立。（4）在G內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，即，且 。這里僅推導一下的表達式解：由于曲線積分與路徑無關(guān)，所以可選擇特殊路徑，如圖所示。 x從 y從 z從 三、環(huán)流量與旋度定義：設(shè)有向量場，稱向量函數(shù) 為的旋度，記為沿有向閉曲線的曲線積分叫做沿有向閉曲線的環(huán)流量。注意：（1）旋度可記為（2）設(shè)有向曲面的單位法向量為的有向邊界的單位切向量為，則有 又 即 （3）Stokes公式表明：向量場沿有向閉曲線的環(huán)流量等于向量場的旋度場通過所張的曲面的通量。ex4. （1）設(shè)具有二階連續(xù)偏導，求 （2）設(shè)，求解 （1） （2

39、） =0 本課小結(jié)： 本次課介紹了Stokes公式的簡單應(yīng)用，認識到Stokes公式的理論價值勝過實際應(yīng)用，類似地給出了空間曲線積分與路徑無關(guān)的四個等價命題，直接給出了環(huán)量與旋度的概念。作業(yè)：見練習冊。第七講 曲線曲面積分習題課教學目的的與要求：1加深對本章出現(xiàn)的概念、定理、公式的理解；2熟練掌握曲線曲面積分的計算方法；3提高綜合題型的解題能力。知識點：有關(guān)曲線曲面積分的概念、性質(zhì)、計算及應(yīng)用，通量，環(huán)量，散度，旋度，全微分方程，曲線曲面積分與路徑無關(guān)的條件，Green公式，Gauss公式，Stokes公式。重點：曲線曲面積分的計算，Green公式，Gauss公式難點：Stokes公式教學方式：分類歸納，講練結(jié)合，多媒體輔助教學思路：先進行本章有關(guān)知識的復習總結(jié)，然后進行一定量的舉例練習。教學過程：一、內(nèi)容小結(jié)1 定義比較對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分對面積分的曲面積分對坐標的曲面積分2計算公式比較對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分（對應(yīng)于起點，對應(yīng)于終點）對面積的曲面積分或 或 （計算時選擇投影區(qū)域易找且投影面積非0的那種方式）對坐標的曲面積分前側(cè)取“+”，后側(cè)取“”右側(cè)取“+”，左側(cè)取“”上側(cè)取“+”，下側(cè)取“”（對坐標y, z的曲面積分，曲面必須向yOz面投影；對坐標z, x的曲面積分，曲面必須