正弦定理教案全.

1、1.1.1正弦定理教學(xué)要求：通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類(lèi)基本問(wèn)題.教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù).教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入 ：1. 在任意三角形行中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系？是否可以把邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化？2.在 ABC 中，角 A 、 B、 C 的正弦對(duì)邊分別是a,b,c ，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)系嗎？結(jié)論：。二、講授新課：探究一： 在直角三角形中，你能發(fā)現(xiàn)三邊和三邊所對(duì)角的正弦的關(guān)系嗎？直角三角形中的正弦定理：sin A =

2、 a sin B = b sin C=1即 c=abc.ccsin A sin Bsin C探究二： 能否推廣到斜三角形？（先研究銳角三角形，再探究鈍角三角形）當(dāng) ABC 是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB 上的高是 CD，根據(jù)三角函數(shù)的定義，有CDa sin B bsin A , 則ab同理，ac（思考如何作高？），從而sin A.sin AsinCabcsin Bsin AsinB.sinC探究三： 你能用其他方法證明嗎？1 證明一：（等積法）在任意斜ABC當(dāng)中CaSabsin Cacsin Bbc sin A .bO ABC=111222B兩邊同除以1 abc 即得：a=b=c.AcD2sin A

3、sin Bsin Caa2證明二：（外接圓法）如圖所示， ，CD2R ，ADsin Asin D同理b=2R，c 2R.sin Bsin C3證明三：（向量法）過(guò)A 作單位向量j 垂直于 AC ，由 AC + CB = AB 邊同乘以單位向量j得 .正弦定理： 在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即abcsin Asin Bsin C =2R 理解定理 1 公式的變形：(1) a2R sin A, b2R sin B, c 2R sin C(2) sin Aabc,sin B, sin C2R2R2R(3) a: b : c sinA : sin B : sin Cabaccb(4)

4、sin B,sin Csin Bsin Asin Asin C2. 正弦定理的基本作用為：已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如bsin Aa；sin B已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如sin Aa sin B 。b一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形.3. 利用正弦定理解三角形使, 經(jīng)常用到 : ABCsin( AB) sin C , cos(AB) sin C S abc1 ab sin C2三、 教學(xué)例題：例 1已知在 ABC中， c10, A450 , C 300 ,求 a, b和 B .分析已知條件 討論如何利用邊角關(guān)系

5、示范格式 小結(jié)：已知兩角一邊解：c10, A450 ,C300 B1800( AC)1050由ac得acsin A10 sin 45010 2sin Csin Csin 300sin A由bc得csin B10 sin105020 sin 75056 52sin Bsin Cbsin 30 0sin C評(píng)述： 此類(lèi)問(wèn)題結(jié)果為唯一解， 學(xué)生較易掌握，如果已知兩角和兩角所夾的邊，也是先利用內(nèi)角和 180求出第三角，再利用正弦定理 .例 2ABC中， c6, A450 ,a 2,求 b和 B, C解：ac, sin Cc sin A6 sin 4503sin A sin Ca220C180 ,C 6

6、00 或1200當(dāng) C600 時(shí)， B750 ,bc sin B6 sin 75031，sin Csin 600當(dāng) C1200時(shí)， B150 , bcsin B6 sin15031sin Csin 600b31, B 750 , C 600 或 b3 1,B 150,C1200練習(xí)： P4 1.2題例 3 在 ABC中， b3, B600 ,c1,求a和A,C解：bcc sin B 1sin 6001sin B,sin C32sin Cbbc, B 600 ,CB,C為銳角， C300,B900 ab2c 22【變式】ABC中， a2, A 1350 ,b3,求B四、 小結(jié)：五、課后作業(yè)1 在

7、 ABC中，abck , 則k 為( 2A )sin Asin Bsin C1RRRRR 為 ABC外接圓半徑BD()A2C422 在ABC 中，已知角 B 45， c 22, b433 ，則角 A 的值是A. 15B. 75C. 105D.75 或153、 在 ABC中, 若A30 ,B60 ,則 a : b : c1: 3:2、在ABC 中，若B60 ，b76 , a14，則 A=。45、 在 ABC中， AB6,A 30 ,B120 , 則三角形 ABC的面積為 9 35、在ABC 中，已知 a3, b2, B45 ，解三角形。六、心得反思1.1.1 正弦定理學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)：發(fā)現(xiàn)并掌握正弦

8、定理及其證明方法；會(huì)用正弦定理解決三角形中的簡(jiǎn)單問(wèn)題。預(yù)習(xí)自測(cè)1.正弦定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式2.一般地 , 把三角形的三個(gè)角A,B,C 和它們的對(duì)邊叫做三角形的元素. 已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做.3利用正弦定理可以解決兩類(lèi)三角形的問(wèn)題(1)(2)問(wèn)題引入：1、在任意三角形行中有大邊對(duì)大角， 小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系 . 是否可以把邊、 角關(guān)系準(zhǔn)確量化？2ABC中，角AB、C的正弦對(duì)邊分別是a,b, c，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)系嗎？、在、結(jié)論：。二 合作探究：1、探究一： 在直角三角形中，你能發(fā)現(xiàn)三邊和三邊所對(duì)角的正弦的關(guān)系嗎？2、探究二： 能否推廣到斜三角形？（先研究銳角三角形，再探究鈍

9、角三角形）3、探究三： 你能用其他方法證明嗎？4、正弦定理的變形：5、正弦定理的應(yīng)用（能解決哪類(lèi)問(wèn)題）：三例題講解例 1 已知在ABC中， c10, A450 , C300 ,求 a, b和 B例 2ABC中， c6, A450 ,a2,求 b和 B, C例 3 在ABC中， b3, B600 ,c1,求a和A,C【變式】ABC中， a2, A1350 , b3, 求B思考： 通過(guò)上面的問(wèn)題，你對(duì)使用正弦定理有什么想法？四課堂練習(xí)： 必修 5 課本 P4T1、 2五課后作業(yè)：1 在 ABC中，abck , 則 k 為()sin Asin Bsin C1 RA2RBRRDR 為 ABC外接圓半徑

10、)C4(22 ABC中， sin 2 A = sin2B +sin 2C，則 ABC為()ABC等邊三角形D 等腰三角形3 在ABC 中，已知角 B45 ， c2 2,b4 3，則角 A的值是3A. 15B. 75C.105D. 75 或15、在ABC 中，若B60 ，b7 6 , a14，則 A=。45、在ABC 中，已知a3, b2, B45，解三角形。六 心得反思112 解三角形的進(jìn)一步討論教學(xué)目標(biāo)掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形；三角形各種類(lèi)型的判定方法。教學(xué)重點(diǎn)在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形；三角形各種

11、類(lèi)型的判定方法。教學(xué)過(guò)程. 課題導(dǎo)入 創(chuàng)設(shè)情景 思考：在ABC中，已知 a22cm， b25cm， A1330 ，解三角形。（由學(xué)生閱讀課本第9 頁(yè)解答過(guò)程）從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)， 在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)， 在某些條件下會(huì)出現(xiàn)無(wú)解的情形。下面進(jìn)一步來(lái)研究這種情形下解三角形的問(wèn)題。 . 講授新課 探索研究 探究一 在ABC中，已知 a,b,A ，討論三角形解的情況分析：先由 sin Bb sin AB；可進(jìn)一步求出a則 C 1800 (A B)，從而 casin Csin A1當(dāng) A 為鈍角或直角時(shí)，必須ab 才能有且只有一解；否則無(wú)解。2當(dāng) A 為銳角時(shí)，如果a b ，那

12、么只有一解；3. 如果 a b ，那么可以分下面三種情況來(lái)討論：（ 1）若 a bsin A，則有兩解；（ 2）若 a bsin A，則只有一解；（ 3）若 a b sin A，則無(wú)解。（以上解答過(guò)程詳見(jiàn)課本第910頁(yè)）評(píng)述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，只有當(dāng)A 為銳角且b sinAab 時(shí)，有兩解；其它情況時(shí)則只有一解或無(wú)解。探究二你能畫(huà)出圖來(lái)表示上面各種情形下的三角形的解嗎？三例題講解例 1.根據(jù)下列條件，判斷解三角形的情況(1) a 20， b 28， A 120 .無(wú)解(2) a 28， b 20，A 45；一解(3) c 54， b 39， C 115；一解(4

13、) b 11， a 20， B 30；兩解 隨堂練習(xí) 1（1）在ABC中，已知 a80 ， b 100，A 450 ，試判斷此三角形的解的情況。（2）在ABC中，若 a1， c1 ， C400 ，則符合題意的 b 的值有 _個(gè)。2（3）在ABC中， axcm ，b2cmB450 ，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求，x 的取值范圍。（答案：（ 1）有兩解；（ 2） 0；（3） 2 x2 2 ）例 2.在abcABC 的形狀A(yù)BC 中 ,已知cos B, 判斷acos Acos C解：令k sin A ， bk sin B ， c k sin C 代入已知條件，k ，由正弦定理， 得 asin

14、A得 sin Asin Bsin C，即 tan Atan B tan C 又 A ， B ， C(0, ) ，所以cos Acos BcosCA B C ，從而 ABC 為正三角形說(shuō)明：（1）判斷三角形的形狀特征，必須深入研究邊與邊的大小關(guān)系：是否兩邊相等？是否三邊相等？還要研究角與角的大小關(guān)系：是否兩角相等？是否三角相等？有無(wú)直角？有無(wú)鈍角？（2）此類(lèi)問(wèn)題常用正弦定理（或?qū)W(xué)習(xí)的余弦定理）進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化、化簡(jiǎn)、運(yùn)算，揭示出邊與邊，或角與角的關(guān)系，或求出角的大小，從而作出正確的判斷 隨堂練習(xí)21. ABC中，sin 2 Asin 2 B sin 2 C ，則 ABC為（ A）A. 直角三角形

15、B.等腰直角三角形C. 等邊三角形D.等腰三角形2. 已知ABC滿(mǎn)足條件 acosA b cosB ，判斷ABC的類(lèi)型。答案：ABC是等腰或直角三角形 . 課時(shí)小結(jié)（ 1）在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形；（ 2）三角形各種類(lèi)型的判定方法； .課后作業(yè)1.根據(jù)下列條件，判斷解三角形的情況(1 )、 a14 , b16,A45 ( 2 ) 、 a12 , c15,A120( 3 ) 、 a8 , b16,A30 ( 4 )、 b18 , c20,B602 在 ABC 中， a= 15,b= 10,A=60，則 cosB=A2 2B22C6 D633333 已

16、知 a,b,c分別是 ABC 的三個(gè)內(nèi)角A,B,C 所對(duì)的邊，若a= 1,b= 3 , A+C =2B, 則sinC=.4 根據(jù)條件解三角形：（ ）10, A45 ,C30 ,求邊a , b .1 c(2) A30 ,B120 , b12 , 求邊 a , c.( 3 ) a16 , b 16 3 , A30 , 求角 B ， C 和邊 c .( 4 ) b13 , a26,B30, 解這個(gè)三角形。（ ）40 , c20 ,C45 ,解這個(gè)三角形5 b，60，求a , A，C。( 6 ) c 1 b3 B六心得反思1.1.2解三角形的進(jìn)一步討論學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握已知三角形的兩邊及其中一

17、邊的對(duì)角時(shí)對(duì)解個(gè)數(shù)的討論；2.【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】三角形各種形狀的判斷方法；1. 已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角時(shí)對(duì)解個(gè)數(shù)的討論；三角形各種形狀的判斷方法。一、情景問(wèn)題：我們?cè)诮馊切螘r(shí)可以會(huì)出現(xiàn)一些我們預(yù)想不到的結(jié)果，現(xiàn)在請(qǐng)大家思考下面問(wèn)題：在ABC 中，已知 a22cm, b25cm, A133 ，解三角形。二、探索研究：探究一 在ABC中，已知 a,b,A ，討論三角形解的情況結(jié)論：探究二你能畫(huà)出圖來(lái)表示上面各種情形下的三角形的解嗎？三例題講解例 1.根據(jù)下列條件，判斷解三角形的情況(1) a 20， b 28， A 120 .無(wú)解(2) a 28， b 20，A 45；一解(3) c 54

18、， b 39， C 115；一解(4) b 11， a 20， B 30；兩解 變式練習(xí)1（1）在ABC中，已知 a80 ， b100，A450 ，試判斷此三角形的解的情況。（2）在ABC中，若 a1， c1 ， C400 ，則符合題意的 b 的值有 _個(gè)。2（3）在ABC中， axcm ，b2cmB 450 ，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求，x 的取值范圍。例 2.在ABC 中 ,已知abcABC 的形狀cos Acos B, 判斷cos C 變式練習(xí)21. ABC中，sin 2 Asin 2 B sin 2 C ，則 ABC為（）A. 直角三角形B.等腰直角三角形C. 等邊三角形D.等腰三角形2. 已知ABC 滿(mǎn)足條件 acosAb cosB ，判斷ABC 的類(lèi)型。四 .嘗試小結(jié)五. 課后作業(yè)1. 根據(jù)下列條件，判斷解三角形的情況(1)、 a 14 , b 16 , A 45 (2)、 a 12 , c 15, A 120 ( 3)、 a 8, b 16 , A 30 ( 4)、 b 18 , c 20 , B 602 在ABC 中， a= 15,b