大學(xué)統(tǒng)計學(xué)第七章練習(xí)題及答案概要

1、練習(xí)題7.1第7章參數(shù)估計從一個標(biāo)準(zhǔn)差為5的總體中抽出一個樣本量為40的樣本，樣本均值為25。7492樣本均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)差crX等于多少？在95%的置信水平下，邊際誤差是多少?解:已知C7 =5, n = 40, X = 25樣本均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)差 J5 化 0.797.2已知 b =5, n = 40 ,X =25 ,”.Zq2 =Zo.o25 = 1 - 96bx1-a= 95%C邊際誤差 E=Z癥2于 =1.96*Jn4也 1.55某快餐店想要估計每位顧客午餐的平均花費(fèi)金額，在為期 組成了一個簡單隨機(jī)樣本。3周的時間里選取 49名顧客假定總體標(biāo)準(zhǔn)差為15元，求樣本均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差；在95

2、%的置信水平下，求邊際誤差；如果樣本均值為120元，求總體均值 的95%的置信區(qū)間。解.已知.根據(jù)查表得Zx/2 =1.96(1)標(biāo)準(zhǔn)誤差：bXC 1515 =2.14(2).已知 Za/2=1.96所以邊際誤差=Za/2* SVn1.96* 4 =4.2(3)置信區(qū)間：XZa廠2 Vn=120證* 1.96 =(115.8,124.2)7.3從一個總體中隨機(jī)抽取n = 100的隨機(jī)樣本，得到X =104560，假定總體標(biāo)準(zhǔn)差CT =85414，構(gòu)建總體均值 卩的95%的置信區(qū)間。Z 弄=1.96Z 盤事=1.96* 85414 =16741.144 色 Tn7100xTtT104560 一1

3、6741.144 =87818.856X + Z 層.歹=104560 +16741.144 =121301.144置信區(qū)間：(87818.856, 121301.144)構(gòu)建構(gòu)建構(gòu)建7.4從總體中抽取一個 n =100的簡單隨機(jī)樣本，得到 X =81，s = 12。 卩的90%的置信區(qū)間。卩的95%的置信區(qū)間。卩的99%的置信區(qū)間。解；由題意知 n= 100 , X=81,s=12.(1)置信水平為 1 -a =90%，則 Zq =1.645._s12由公式 X=81 1.645咒= =81 1.9742 Tn7100即 81 1.974 = (79.026,82.974 )則4的90%的置

4、信區(qū)間為79.02682.97423(2)置信水平為1-a =95% ,s由公式得XZaX=812 V n1.96上=81+2.352100即 81 2.352 = (78.648, 83.352), 則卩的95%的置信區(qū)間為 78.64883.352(3)置信水平為 1 a =99%，則 Zj =2.576.S12由公式 X zXf = =81 2.576= =81 3.0967 你M00即 81 3.1則4的99%的置信區(qū)間為7.5禾U用下面的信息，構(gòu)建總體均值的置信區(qū)間。(1) X = 25 , c(2) X =119.6 ,(3) X =3.419 ,= 3.5 , n =60,置信水

5、平為95%。 s= 23.89 , n =75,置信水平為 98%。S =0.974 , n =32,置信水平為 90%。 X =25,b =3.5, n =60,置信水平為 95%解: Z a = 1.96,2翟=0.89760置信下限：XOZ= =25-0.89 =24.112 vn置信上限：XOZ= =25 + 0.89 = 25.89 討n”.置信區(qū)間為(24.11,25.89) X =119.6,23.89, n =75,置信水平為 98%。解：Zq = 2.332二:妙2聖= 6.432 vnw5置信下限: sX -Za =119.6 6.43 = 113.172 n置信上限: s

6、X +Za =119.6 + 6.43 = 126.032 Vn二置信區(qū)間為113.17,26.03) x =3.419,s=0.974,n=32,置信水平為 90%23S根據(jù) t=0.1，查 t 分布表可得Z005(31) =1.645.Z 井2(f) =0283所以該總體的置信區(qū)間為sX Z2 ()=3.419 0.283 Jn，3.702)3.136-3.702.即 3.419 0.283=( 3.136所以該總體的置信區(qū)間為7.6禾U用下面的信息，構(gòu)建總體均值(1) 總體服從正態(tài)分布，且已知(2) 總體不服從正態(tài)分布，(3) 總體不服從正態(tài)分布，90%。(4) 總體不服從正態(tài)分布，99

7、%。(1)解：已知 b =500 ,卩的置信區(qū)間。b = 500， =500， n=35，且已知b未知,0-未知，n =15 ,n = 15， X = 8900，置信水平為 95%。=35， X = 8900 ，置信水平為95%。X = 8900，S = 500，置信水平為=35 ,X = 8900，s = 500，置信水平為X = 8900 , 1-a = 95 %,= 1.962-bxZa 丁2 vn= 8900 1.96x 攀=(8647,9153V15所以總體均值 卩的置信區(qū)間為(8647, 9153)(2)解：已知 b =500，n =35，X =8900 , 1-a =95%,=1

8、.962=(8734,9066)xZa 學(xué)=8900 1.96咒孚02 Tn735所以總體均值的置信區(qū)間為(8734, 9066) (3)解：已知n =35 , X =8900 , s=500,由于總體方差未知，但為大樣本,可用樣本方差來代替總體方差置信水平 1a =90% Za =1.645置信區(qū)間為 X z疔卓=81 1.645咒 E00 = (8761,9039) ? TnV35所以總體均值4的置信區(qū)間為(8761，9039)(4)解：已知n =35，x=8900，s=500，由于總體方差未知，但為大樣本，可用樣本方差來代替總體方差*置信水平 1 a =99% Zq = 2.582= (

9、8682,9118)置信區(qū)間為xz片2 =89002.58咒翼2 Tn所以總體均值4的置信區(qū)間為(8682, 9118)7.7某大學(xué)為了解學(xué)生每天上網(wǎng)的時間，在全校7500名學(xué)生中采取不重復(fù)抽樣方法隨機(jī)抽取36人，調(diào)查他們每天上網(wǎng)的時間，得到的數(shù)據(jù)見Book7.7 (單位：h)。求該校大學(xué)生平均上網(wǎng)時間的置信區(qū)間，置信水平分別為90%、95%和99%。解：已知：x=3.3167 s=1.6093 n=36 1.當(dāng)置信水平為90%時，Zg = 1.645,2- s1 6093xZf 事=3.3167 1.645斗二=3.3167 0.4532?7n癒 所以置信區(qū)間為(2.88, 3.76) 2.

10、當(dāng)置信水平為95%時，Zg = 1.96 ,2xZ* =3.3167 1.961093 =3.3167 0.54452 JnJ36所以置信區(qū)間為(2.80, 3.84) 3.當(dāng)置信水平為99%時，Z點(diǎn)= 2.58 ,2- S1 6093xz翔”心.58話心167305所以置信區(qū)間為(2.63, 4.01)7.8從一個正態(tài)總體中隨機(jī)抽取樣本量為8的樣本，各樣本值見Book7.8。求總體均值95%的置信區(qū)間。已知：總體服從正態(tài)分布，但未知，n=8為小樣本，a =0.05 , t0.05 (8-1) = 2.3652根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得：X = 10, S = 3.46s3 46總體均值 卩的95%的

11、置信區(qū)間為： xt =102365x 一=102.89，即（7.11,12.89）。7.9某居民小區(qū)為研究職工上班從家里到單位的距離，抽取了由16個人組成的一個隨機(jī)樣本，他們到單位的距離（單位：km）數(shù)據(jù)見Book7.9。求職工上班從家里到單位平均距離95%的置信區(qū)間。已知：總體服從正態(tài)分布，但CT未知，n=16為小樣本，a =0.05，t0.05/2（1 1） = 2.131根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算可得：從家里到單位平均距離得X =9.375，s=4.11395%的置信區(qū)間為：sX t 入 la/2/vn4 1139.375 2.13V=9.375 2.191即（7.18, 11.57）。7.10從

12、一批零件中隨機(jī)抽取36個，測得其平均長度為149.5cm,標(biāo)準(zhǔn)差為1.93cm。（1）試確定該種零件平均長度 95%的置信區(qū)間。（2）在上面的估計中，你使用了統(tǒng)計中的哪一個重要定理？請簡要解釋這一定理。解：已知 b =103, n=36, X =149.5,置信水平為1-a =95%，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得/2 =1.96.根據(jù)公式得:X Z/2 字=149.5 1.96 x03JnJ36103即 149.5 1.96 x-j=（ 148.9，150.1）V36答：該零件平均長度 95%的置信區(qū)間為148.9-150.1（3）在上面的估計中，你使用了統(tǒng)計中的哪一個重要定理？請簡要解釋這一定理。答：

13、中心極限定理論證。如果總體變量存在有限的平均數(shù)和方差，那么，不論這個總體的分布如何，隨著樣本容量的增加， 樣本均值的分布便趨近正態(tài)分布。在現(xiàn)實(shí)生活中，一個隨機(jī)變量服從正態(tài)分布未必很多，但是多個隨即變量和的分布趨于正態(tài)分布則是普遍存在的。樣本均值也是一種隨機(jī)變量和的分布，因此在樣本容量充分大的條件下，樣本均值也趨近正態(tài)分布，這位抽樣誤差的概率估計理論提供了理論基礎(chǔ)。7.11某企業(yè)生產(chǎn)的袋裝食品采用自動打包機(jī)包裝，每袋標(biāo)準(zhǔn)重量為100g?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中按重復(fù)抽樣隨機(jī)抽取50包進(jìn)行檢查，測得每包重量（單位：g）見Book7.11 。已知食品重量服從正態(tài)分布，要求：（1）確定該種食品平均重量

14、的95%的置信區(qū)間。（2）如果規(guī)定食品重量低于 100g屬于不合格，確定該批食品合格率的 95%的置信區(qū) 間。（1）已知：總體服從正態(tài)分布，但CT未知。n=50為大樣本。a =0.05，Z0.05/2 =1.96根據(jù)樣本計算可知X =101.32 s=1.63該種食品平均重量的 95%的置信區(qū)間為X Z儀2S/ jn = 101.32 1.96*1.63/ 偵=101.32 0.45即(100.87, 101.77)（2 ）由樣本數(shù)據(jù)可知，樣本合格率:P = 45/50 =0.9。該批食品合格率的95%的置信區(qū)間為:j叮=0.91叫1(|010.90.08,即(0.82, 0.98)答:該批食

15、品合格率的95%的置信區(qū)間為：（0.82，0.98）7.12假設(shè)總體服從正態(tài)分布，利用Book7.12的數(shù)據(jù)構(gòu)建總體均值 卩的99%的置信區(qū)間。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差如下;-CT0.8706X=16.13 CT =0.8706 E= Z = =2.58*=0.45圣Jn5置信區(qū)間為X E 所以置信區(qū)間為（15.68，16.58）7.13一家研究機(jī)構(gòu)想估計在網(wǎng)絡(luò)公司工作的員工每周加班的平均時間, 名員工，得到他們每周加班的時間數(shù)據(jù)見 Book7.13 （單位: 時間服從正態(tài)分布，估計網(wǎng)絡(luò)公司員工平均每周加班時間的為此隨機(jī)抽取了 18 h）。假定員工每周加班的 90%的置信區(qū)間。解：已

16、知 X =13.56 CT =7.80 a = 0.1n=18置信區(qū)間=X - Zg b/jn, X+Zq, b/jn /2.-2所以置信區(qū)間=13.56-1.645*(7.80/ J18),13.56+1.645*(7.80/ J18 )=10.36,16.767.14禾U用下面的樣本數(shù)據(jù)構(gòu)建總體比例兀的置信區(qū)間。=44 , p= 0.51，置信水平為99%。= 300 , P = 0.82，置信水平為 95%。= 1150, p= 0.48，置信水平為 90%。=44， p= 0.51，置信水平為99%。解：由題意，已知n=44,置信水平a=99%, Za/2=2.58又檢驗(yàn)統(tǒng)計量為：P

17、Z J P(1 P), 故代入數(shù)值計算得,P Z J P (1 P) = ( 0.316 , 0.704),總體比例兀的置信區(qū)間為(0.316 , 0.704)V n(2) n = 300 , P = 0.82，置信水平為 95%。解：由題意，已知n=300,置信水平a=95%, Za/2 =1.96又檢驗(yàn)統(tǒng)計量為：P Z J p(1 p), 故代入數(shù)值計算得,J p (1 - p)P =(0.777, 0.863), 總體比例兀的置信區(qū)間為(0.777, 0.863)(3) n = 1150 ,p = 0.48，置信水平為90%。解：由題意，已知又檢驗(yàn)統(tǒng)計量為:n=1150,置信水平 a=9

18、0%, Za/2 =1.645P zj P (1 P),故代入數(shù)值計算得,PZ(2(2)=( 0.456, 0.504)，N n總體比例兀的置信區(qū)間為(0.456, 0.504)7.15在一項(xiàng)家電市場調(diào)查中，隨機(jī)抽取了 視機(jī)。其中擁有該品牌電視機(jī)的家庭占 為 90%和 95%。解：由題意可知 n=200，P=0.23200個居民戶，調(diào)查他們是否擁有某一品牌的電23%。求總體比例的置信區(qū)間，置信水平分別(1)當(dāng)置信水平為 1-a=90%時，Z 0/2=1.645所以 p ZJP(: P) = 0.23 1.645.231.23) =0.23 0.04895200即 0.230.04895= (

19、0.1811, 0.2789),(2)當(dāng)置信水平為1 =95%時，Za/2=1.96所以 pzJg=0.231.96jdg3) =0.23 0.05832V n200即 0.230.05832=( 0.1717，0.28835)；答：在居民戶中擁有該品牌電視機(jī)的家庭在置信水平為90%的置信區(qū)間為(18.11%，27.89%)，在置信水平為 95%的置信區(qū)間為(17.17%，28.835%)7.16 一位銀行的管理人員想估計每位顧客在該銀行的月平均存款額。他假設(shè)所有顧客月存款額的標(biāo)準(zhǔn)差為1000元，要求估計誤差在 200元以內(nèi)，應(yīng)選取多大的樣本？解：已知 CT =1000,E=1000,1 -a

20、 =99%,z疾 2 =2.58z%(/2 * b2由公式 n =p可知 n=(2.58*2.58*1000*1000)/(200*200)=167答：置信水平為 99%，應(yīng)取167個樣本。7.17要估計總體比例= 0.02，= 0.04，= 0.05，兀，計算下列個體所需的樣本容量。 = 0.40，置信水平為96%。 未知，置信水平為 95%。= 0.55，置信水平為90%。(1)解：已知 E =0.02，兀=0.40, ,Z0/2=2.05由n = 2量乳（1 -兀）/ E2得n = 2.052 X0.40(1 -0.4)斗0.022=2522答：個體所需的樣本容量為2522。(2)解：已

21、知 E =0.04，Za/2=1.9629由 n = Z/2 兀(1 -兀)/ E2 得2 2 2n =1.96 X0.5 -0.04 =601答：個體所需的樣本容量為601。(3)解：已知 E =0.05，兀=0.55，Z/2 =1.6452 2由n = Z/2兀(1 -兀)/ E得2 2n= 1.645 X0.55X0.45 子 0.05 =268答：個體所需的樣本容量為268。采取重復(fù)抽樣方法隨機(jī)抽取了50戶，其中有32戶贊成，18戶反對。求總體中贊成該項(xiàng)改革的戶數(shù)比例的置信區(qū)間，置信水平為95%。如果小區(qū)管理者預(yù)計贊成的比例能達(dá)到80%，應(yīng)抽取多少戶進(jìn)行調(diào)查？7.18某居民小區(qū)共有居民

22、 500戶，小區(qū)管理者準(zhǔn)備采取一向新的供水設(shè)施，想了解居民是 否贊成。（1）（2）n=50Zai.962根據(jù)抽樣結(jié)果計算的樣本比例為P=32/50=60%根據(jù)（7.8）式得：（1）已知：PQ尹=64% 1.96雅苧即 64% 12.63% =(51.37%,76.63%)答：置信區(qū)間為（51.37%, 76.63% ）(2)已知兀=80%E =10% Z 孚= 1.962 2血若Zpt*;i(1-;i)1.962* 0.8(1 -0.8)則U有：n =E20.12答：應(yīng)抽取62戶進(jìn)行調(diào)查7.19根據(jù)下面的樣本結(jié)果，計算總體標(biāo)準(zhǔn)差S = 2 ， n = 50。S = 0.02， n = 15。S

23、 = 31， n = 22。c的90%的置信區(qū)間。解:1)X =21,又=1.3，X =167，ot已知 1a=90%，a =10%, =0.05,1- 2 -_ 2 a (n -D =34I 0 =0.9522查表知(n 1) =672由公式專2w(n- 1)s2-Z22屮501)*2234 ，解得（1-72，2.40）22) 查表知(n 1)2= 23.6848，/ J(n-1)=6.570631 2(n 1)由公式2 C2Jn -1)s2- 廠1 a2得 j(15-1)*0.022得 23.6848 O-卜15-1) 0.02 ，解得(0.015, 0.029)V 6.5706323)

24、查表知 G (n 1) =32.6705 ,2“ 2上空(n 1) =11.5913由公式嚀聲上a2 C2v(n- 1)s2-72122孑 K221)*312“ ，解得(24.85, 41.73)V 11.59137.20顧客到銀行辦理業(yè)務(wù)時往往需要等待一些時間，而等待時間的長短與許多因素有關(guān),比如，銀行的業(yè)務(wù)員辦理業(yè)務(wù)的速度，顧客等待排隊(duì)的方式等等。為此，某銀行準(zhǔn)備采取兩種排隊(duì)方式進(jìn)行試驗(yàn)，第一種排隊(duì)方式是所有顧客都進(jìn)入一個等待隊(duì)列；第二種排隊(duì)方式是：顧客在三個業(yè)務(wù)窗口處列隊(duì)三排等待。為比較哪種排隊(duì)方式使顧客等待的時間更短，銀行各隨機(jī)抽取了10名顧客，他們在辦理業(yè)務(wù)時所等待的時間（單位：見

25、Book7.20。（1）（2）（3）95%的置信區(qū)間。95%的置信區(qū)間。構(gòu)建第一種排隊(duì)方式等待時間標(biāo)準(zhǔn)差的構(gòu)建第二種排隊(duì)方式等待時間標(biāo)準(zhǔn)差的根據(jù)（1 ）和（2）的結(jié)果，你認(rèn)為哪種排隊(duì)方式更好?min)來自總體1的樣本來自總體2的樣本n-i =14n 2=7X1 =53.2X2 =43.4S12 =96.8s2 =102.0(1)求已卩2的90%的置信區(qū)間。(2)求已-卩2的95%的置信區(qū)間。(3)求已-卩2的99%的置信區(qū)間。從兩個正態(tài)總體中分別抽取兩個獨(dú)立的隨機(jī)樣本，它們的均值和標(biāo)準(zhǔn)差如下表:來自總體1的樣本來自總體2的樣本x1 =25X2 = 23S2 =16S； =20(1)設(shè)m =n2 iOO，求氣- #2 95%的置信區(qū)間。(2)2 2設(shè) m =n2 iO, b 1 =旺2，求巴巴的95%的置信區(qū)間。(3)2 2設(shè) 0, =n 2 iO，口 1，求巴巴的95%的置信區(qū)間。(4)設(shè) 0, =10,02 =20，忑；=,求已卩2的95%的置信區(qū)間。(5)設(shè) n =10,02 =20，CT 12 hct；，求氣一巴的95%的置信區(qū)間。Book7.23是由4對觀察值組成的隨機(jī)樣本。(1)計算A與B各對觀察值之差，再利用得出的差值計算d和sd。從兩個正態(tài)總體中分別抽取兩個獨(dú)立的隨機(jī)樣本，它們的均值和標(biāo)準(zhǔn)差如下表:7.2