圓錐曲線最值問題—5大方面專題

1、全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)專題匯編(附詳解)圓錐曲線最值問題一5大方面最值問題是圓錐曲線中的典型問題，它是教學(xué)的重點也是歷年高考的 熱點。解決這類問題不僅要緊緊把握圓錐曲線的定義， 而且要善于綜 合應(yīng)用代數(shù)、平幾、三角等相關(guān)知識。以下從五個方面予以闡述。優(yōu)質(zhì)真題一. 求距離的最值例1.設(shè)AB為拋物線y=x2的一條弦，若AB=4 ,則AB的中點 到直線y+1=0的最短距離為,1pzAi-1Ml E1，4Mi,+ 34解析：拋物線y=x2的焦點為F (0 , 1 )，準(zhǔn)線為y=4過A、B、M準(zhǔn)線y= 1的垂線，垂足分別是 Ai、Bi、4則所求的距離 d=MMi+3 = 1 (AAi+BBi) + 3

2、 = 1 (AF+BF)4242iAB+3=1 W+3=ii，當(dāng)且僅當(dāng)弦AB過焦點F時，d取最小24244值11，4評注：靈活運用拋物線的定義和性質(zhì)，結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識， 使解題簡潔明快，得心應(yīng)手。二. 求角的最值例2. M, N分別是橢圓x2 y2 的左、右焦點，I是橢圓的一+匚=142條準(zhǔn)線，點P在I上，則/ MPN的最大值是.解析：不妨設(shè)I為橢圓的右準(zhǔn)線，其方程是x=272，點P(272,y0)(y0 AO)，直線PM和PN傾斜角分別為訕P .T M(-j2,o), n(V2,o)y。kPM =tana = 貨 0kyn = tan P = 辛 0廠=-t02Q2Z23J22V2V2

3、 V2全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)專題匯編(附詳解)yo y 0是 tan N MPN = tan( P - a )tan P - tan a3 JT1 + tan P tan a+ y 0 y072 3722坷02邁242 43=2-=蘭= 6 5 2 + % 2 晶3y。/ MPN的最大值為沢.6評注：審題時要注意把握在聯(lián)系.JINMPN 迂0,)2兀 即NMPN <6/MPN與PM和PN的傾斜角之間的內(nèi)三、求幾何特征量代數(shù)和的最值例3點M和F分別是橢圓x2 y2上的動點和右焦點，定點+ =1259B(2,2).(l)求|MF|+|MB|的最小值.求5 |MF|+|MB|的最小值.4解析

4、：易知橢圓右焦點為F(4,0),左焦點F(-4,0),離心率e=4 ,5準(zhǔn)線方程X=±25.4 |MF| + |MB| = 10 IMF I + |MB| =10- ( |MF|MB| ) > 10 PF|=io -210.故當(dāng)M, B, F三點共線時，|MF|+|MB|取最小值102怖.過動點M作右準(zhǔn)線x= 25的垂線，垂足為H，則|MF |4 =e =-4|MH |54 .于是 5 |MF|+|MB|=|MH|+|MB| > |HB7=可見，當(dāng)且僅|MH| = -|MF|-5 44當(dāng)點B、M、H共線時，5|MF|+|MB|取最小值.優(yōu)質(zhì)真題44評注：從橢圓的定義出發(fā)，

5、將問題轉(zhuǎn)化為平幾中的問題，利 用三角形三邊所滿足的基本關(guān)系，是解決此類問題的常見思路。例4.點P為雙曲線x2的右支上一點，M , N分別為匸-八1(x+和(x-jEr+y?"上的點，貝U PM - PN的最大值為.全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)專題匯編（附詳解）解析：顯然兩已知圓的圓心分別為雙曲線的左焦點 F（_j5,o）和右焦點F2（75,o）對于雙曲線右支上每一個確定的點 P,連結(jié)PFi，并延長PFi交© Fi于點Mo.則PMo為適合條件 的最大的PM,連結(jié)PF2,交© F2于點N。則PNo為適合條件的 最小的PN.于是pm 一PN蘭PMo _PNo=（PFi +1

6、） -（PF2 -1） = （PF -PF2）+2=4+2=6故PM PN的最大值為6.評注：仔細(xì)審題，合理應(yīng)用平面幾何知識，溝通條件與所求結(jié)論 的內(nèi)在聯(lián)系，是解決本題的關(guān)鍵.2) 22 , 02 -1a2 +b2b2L. b2、”a2)(1p)abX2 y2 和X2 y2 的離O'b2"1/"孑""1心率，則01+02解析：2 a2+b201 = 1 + ba例5.已知e , 02分別是共軛雙曲線2（0 +02）2 >4002 =4（ 考慮到 01 +00，故得 0, +02 3 272.即01 + 02的最小值為2逅.評注：解題關(guān)鍵在于

7、對圓錐曲線性質(zhì)的準(zhǔn)確理解， 并注意基本不 等式等代數(shù)知識的合理應(yīng)用.四、求面積的最值 例6.已知平面內(nèi)的一個動點P到直線4J3的距離與到定點l : X =3f（73o）的距離之比為243，點1，設(shè)動點P的軌跡為曲線C.' A（1,2）=1 =42 + 心£)34>/丙=8V a b3求曲線C的方程；過原點0的直線I與曲線C交于M , N兩點.求 MAN面積的 最大值.解析：設(shè)動點P到l的距離為d,由題意PF 眼d 2根據(jù)圓錐曲線統(tǒng)一定義，點 P的軌跡C為橢圓.T G C可得 a =2,C = V3,e = =a 2222b=ac=4-3 =1全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)專題

8、匯編（附詳解）故橢圓C的方程為：x22+y =14若直線l存在斜率，設(shè)其方程為M (X1, yj, N(X2, y2)將y=kx代入橢圓C的方程x22二4% + X2 = 0, % X2 = 21 + 4k2于是 | MN |= J(1 + k 2 )( X1 - X2) 2=J(1 + k2)( X1 + X2 )2 -4x1X2,2、_164J1 +k2V 1 +4kJ1 +4k2又點A到直線l的距離 kT d 二 /二(1 + ky=kX,l與橢圓C的交點并整理得=1(1 + 4k2)x2 -4 = 0.22故 MAN的面積 1|2k _1|S = |MN I d = I '從而

9、2J1 +4k24k2S2=r_=1_1+4k21+4k 當(dāng)k=0時， 當(dāng)k>0時， 當(dāng)k<0時,S2=1 得 S=1S2<1 得 S<1S2 =1 +<1+4 =2（£）+（*）24k若直線I不存在斜率，則MN即為橢圓C的短軸，所以MN=2.于 是 MAN的面積 1.S =丄 2 1 =12綜上， MAN的最大值為V2 評注：本題將 MAN的面積表示為I的斜率k的函數(shù)，其過程涉 及弦長公式和點到直線距離等解析幾何的基礎(chǔ)知識，在處理所得的面積函數(shù)時，運用了分類討論的思想方法。當(dāng)然，也可以將該面積函數(shù) 轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的一元二次方程，由AO求得面積S的最大值。

10、五求最值條件下的曲線方程例7.已知橢圓的焦點F1（ 3,0） F2（3,O）且與直線Xy+9=0有公 共點，求其中長軸最短的橢圓方程全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)專題匯編（附詳解）解法1：設(shè)橢圓為X2V2 =1與直線方程xy+9=0聯(lián)立并消去h七y得：(2 a2 9) X2 + 18 a X + 90 a2/二 0, 由題設(shè) =(18 a)24(2 a 9) (90 a a4) >0=a4 54 扌 + 405 >0a2> 45或 a2< 9/ a2 9> 0,二 a2> 45,故 為和=3應(yīng), 得(2a) min =6 75，此時橢圓方程為x2 V2.+ = 1

11、4536=1與直線Xy+9=0的公共點為解法2：設(shè)橢圓x2 + V2 a2 a2 -9M(aCOS aCsinJ，則 acos a/aPsi nc.+9=0 有解- '42a2-9cos© +射一 9二 cos(訕二_9,.I_9=J2a2 -9J2a2 -92匸9a> 45,54Xmin=6 J5 ,2丄J4536解法3：先求得F1（ 3,0）關(guān)于直線Xy+9=0的對稱點F（ 9,6, 設(shè)直線Xy+9=0與橢圓的一個交點為 M ,則2a=|MF1|+|MF2| =|MF| +|MF2| > |F|=6j5，于是（2a）min=6屁， 此時易得：a2=45, b2=36, 于是橢圓的方程為x2 v2.L =14536評注：本題分別從代數(shù)、三角、幾何三種途徑尋求解決。由不同 角度進(jìn)行分析和處理，有利于打開眼界，拓寬思路