圓錐曲線基本知識點(diǎn)總結(jié)

1、圓錐曲線的方程與性質(zhì)1.橢圓（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個定點(diǎn) F1、F2的距離的和等于常數(shù) 2a （大于IF1F2I）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離2c叫橢圓的焦距。若 M為橢圓上任意一點(diǎn)，則有 I MFj I + IMF2 |=2a。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:2222x VVx=1 （ ab0）（焦點(diǎn)在x軸上）或 + =1 （ ab0 ）（焦點(diǎn)在y軸a bab上）。注：以上方程中a,b 的大小 aAb0，其中 b2 =a2 -c2 ；2 2y x22=1兩個方程中都有aAb。的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，只要看x2和y2的分2 b22 2x y母的大小。例如橢圓 一+ =1 （

2、 m 0， n0， mn ）當(dāng)mn時表示焦點(diǎn)在 x軸上的橢圓；當(dāng) men時m n表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓。（2）橢圓的性質(zhì)22范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程一a2 b2=1知Ixa , |y|蘭b，說明橢圓位于直線 x = a，y = b所圍成的矩形里;對稱性：在曲線方程里，若以-y代替y方程不變，所以若點(diǎn)（x,y）在曲線上時，點(diǎn)（x, -y）也在曲線上,所以曲線關(guān)于x軸對稱，同理，以X代替x方程不變，則曲線關(guān)于y軸對稱。若同時以 -X代替x，-y代替y方程也不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱。所以，橢圓關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱。這時，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心; 頂點(diǎn)：確定曲線在

3、坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與 x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令X =0，得y = b，則Bi（0, -b）， B2（0,b）是橢圓與y軸的兩個交點(diǎn)。同理令y = 0得x = a，即A（a,0），A2（a,0）是橢圓與x軸的兩個交點(diǎn)。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個，這四個交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同時，線段 AA、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為a ；在ROB2F2中，IOB2 I=b , IOF2 I=c , I B2F2 I=a，且 IOF2 N B2F2 I2 -IO

4、B2 I2，即 c2 -a2 -b2 ；c離心率：橢圓的焦距與長軸的比e=叫橢圓的離心率。.ac0, 0ea , X a即雙曲線在兩條直線 x=a的外側(cè)。2 2對稱性：雙曲線 務(wù)-三=1關(guān)于每個坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對稱的，這時，坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸，原點(diǎn)a b2 2是雙曲線 務(wù)-=1的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。 a2 b2頂點(diǎn)：雙曲線和對稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線22務(wù)=1的方程里，對稱軸是 x,y軸，所a b22以令y = 0得X = a，因此雙曲線和X軸有兩個交點(diǎn) A （a,0）A2（a,0），他們是雙曲線 務(wù)篤=1的頂點(diǎn)。a b令X = 0，沒有實(shí)根，因此雙曲線

5、和 y軸沒有交點(diǎn)。，雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個1）注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點(diǎn)） 端點(diǎn)。2）實(shí)軸：線段 A A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長等于2a,a叫做雙曲線的實(shí)半軸長。虛軸：線段B B?叫做雙曲線的虛軸，它的長等于 2b,b叫做雙曲線的虛半軸長。 漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從22圖上看，雙曲線 務(wù)與=1的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。a b 等軸雙曲線:1）定義：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：a = b ；2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1 ）漸近線方程為：y = x ； （2）漸

6、近線互相垂直。注意以上幾個性質(zhì)與定義式彼此等價。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征2 2a=b，則等軸雙曲線可以設(shè)為：x-y=k（A工0），當(dāng)A A 0時交點(diǎn)在x軸,當(dāng)A 0 ）叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（衛(wèi)，0 ），它的準(zhǔn)線方程是 x = -2 2（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其 他幾種形式：y2 = -2px , X2 =2py , x2 = -2py.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如說明：（1）通徑