1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義

1、§ 1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)目標(biāo):1. 了解平均變化率與割線斜率之間的矢系2. 理解曲線的切線的概念;3. 通過函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并會(huì)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題.教學(xué)重點(diǎn):曲線的切線的概念、切線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)難點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的幾何意義.教學(xué)過程: 一、創(chuàng)設(shè)情景（一） 平均變化率、割線的斜率二）瞬時(shí)速度、導(dǎo)數(shù)我們知道,導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)y二f（X）在x = xo處的瞬時(shí)變化率，反映了函數(shù)y = f（X）在附近的變化情況，導(dǎo)數(shù)f（X。）的幾何意義是什么呢？二、新課講授（一）曲線的切線及切線的斜率如圖3.12當(dāng)巳（召，f （Xn） ） （n =1,2,3,4）沿著曲線f （

2、x）趨近于點(diǎn)P （Xo,f（X。）時(shí)，割線PPn的變化趨勢(shì)是什么？ LCl)L0(4)圖 3.1-2們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)Pn沿著曲線無限接近點(diǎn)P即0時(shí)，割線PPn趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線.問題：（1）割線PPn的斜率kn與切線PT的斜率k有什么矢系？（2）切線PT的斜率k為多少?P 時(shí)，kn容易知道，割線PPn的斜率是kn二駒冷,當(dāng)點(diǎn)Pn沿著曲線無限接近點(diǎn) -X0無限趨近于切線円的斜率k,即k二啊f（fig說明：（1）設(shè)切線的傾斜角為工，那么當(dāng)X>0時(shí)，割線PQ的斜率，稱為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率 這個(gè)概念：提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法切線斜率的本

3、質(zhì)一函數(shù)在 # = Xo處的導(dǎo)數(shù).（2）曲線在某點(diǎn)處的切線:1）與該點(diǎn)的位置有矢;2）要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解如有極限，則在此點(diǎn)有切線，且切線3)是唯一的；如不存在，則在此點(diǎn)處無切線;曲線切線，并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn),可以有多個(gè)，甚至可以無窮多（二）導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y二f（x）在X =x。處的導(dǎo)數(shù)等于在該點(diǎn)（Xo, f （X。）處的切線的斜率f （Xo ： X）-f即 f（X。）= To一（X。）說明：求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟求出P點(diǎn)的坐標(biāo)； 求出函數(shù)在點(diǎn)X0處的變化率f （Xo）=嘰f（x°切燈十得到曲線在點(diǎn)（Xo, f （Xo）的切線的斜率; 利用點(diǎn)斜

4、式求切線方程（三）導(dǎo)函數(shù)由函數(shù)y = f（x）在x = x。處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到，當(dāng)x = Xo時(shí)，f（x。）是一個(gè)確定的數(shù)，那么，當(dāng)X變化時(shí)，便是X的一個(gè)函數(shù)，我們叫它為f（X）的導(dǎo)函數(shù).£ / £ / f （X : X） f （X）記作：f（X）或y,即f（X）= y =丨.嘰注：在不致發(fā)生混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f （Xo）,就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極（四）函數(shù)f（X）在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)f（X。）、導(dǎo)函數(shù)（X）、導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系（1）限，它是一個(gè)常數(shù)，不是變數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn) X而言的，就是函數(shù)f （X）的導(dǎo)

5、函數(shù)-函數(shù)f （X）在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)f，（X。）就是導(dǎo)函數(shù)（X）在X-Xo處的函數(shù)值，這也是求函數(shù)在 點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)的方法之一 三'典例分析例1求曲線y二f（x） = X2-1在點(diǎn)p（1,2）處的切線方程.（2）求函數(shù)y =3x2在點(diǎn)（1,3）處的導(dǎo)數(shù).解：（i）y所以，所求切線的斜率為2因此，所求的切線方程為y _2 =2(x_1)即2x_ y =03x2-3 123( X2)(2)因?yàn)?yJim* =lim 瑠=Iim3( x 1) =6 y X1 J X1 J所以，所求切線的斜率為6,因此，所求的切線方程為y -3 =6(x_1 )即6x_y_3 = 0例2如圖3.13,它表示跳

6、水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)h(x) - -4.9x2 6.5X W ,根據(jù)圖像,請(qǐng)描述、比較曲線h(t)在to、ti、b附近的變化情況-解：我們用曲線h(t)在to、ti、b處的切線，刻畫曲線h(t)在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況.當(dāng)t =to時(shí)，曲線h(t)在to處的切線Io平行于X軸,所以，在t二to附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降.當(dāng)t =ti時(shí)，曲線h(t)在ti處的切線h的斜率h (ti) < 0 ,所以，在t=t1附近曲線下降，即函數(shù)h(xM.9x26.5X10在t二鮎附近單調(diào)遞減.當(dāng)仁2時(shí)，曲線h(t)在t2處的切線b的斜率h (t2): : :0,所以，在t=t2附近曲線下

7、降，即函數(shù)h(x) = Y.9X2 - &5x 10在t=t2附近單調(diào)遞減.從圖3.1-3可以看出，直線h的傾斜程度小于直線b的傾斜程度 這說明曲線在ti附近比在b附近下降的緩慢.例3如圖3.1-4,它表示人體血管中藥物濃度C = f(單位：mg /mL )隨時(shí)間t (單位：min)變化的圖象.根據(jù)圖像，估計(jì)t =0.2,0.4,0.6,0.8時(shí)，血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率(精確到01).如圖3.1-4,畫出曲線上某點(diǎn)處的切線，利用網(wǎng)格估計(jì)這條切線的斜率8 7 6 5 4 3 2 O O 0 O 0 心 &解：血管中某一時(shí)刻藥物濃度的瞬時(shí)變化率，就是藥物濃度f(t)在此時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)U圖像卜看，1夷示曲纟電f存【出占熾的飭纟電的斜率.可以得到此時(shí)刻藥物濃度瞬時(shí)變化率的近似值作t=0.8處的切線，并在切線上去兩點(diǎn)，如(0.7,0.91) , (1.0,0.48),0 48_0 91則它的斜率為k =:4,所以f (0.8) 1.41.00.7F表給出了藥物濃度瞬時(shí)變化率的估計(jì)值t0.20.40.60.8藥物濃度