工程光學(xué)郁道銀版習(xí)題解答(一題不落)第十二章_光的衍射

1、第十二章光的衍射1.波長(zhǎng)為500nm的平行光垂直照射在寬度為 0.025mm的單縫上，以焦距為 50cm的會(huì) 聚透鏡將衍射光聚焦于焦面上進(jìn)行觀察，求（1）衍射圖樣中央亮紋的半寬度；（2）第一亮紋和第二亮紋到中央亮紋的距離；（3）第一亮紋和第二亮紋的強(qiáng)度。解：（1）零強(qiáng)度點(diǎn)有 asin 6 =nn =1, =2,3）.中央亮紋的角半寬度為a亮紋半寬度r0 = f %_ 2_ _9 _ 5010500 10-=_ _ _3a0.025 10=0.01m(2)第一亮紋，有: 二 a sin3=4.493_ _94.493 _ 4.493 500 10=-二 a 3.14 0.025 10= 0.02

2、86radf50 10/ 0.0286-0.0143m-14.3mm同理 r2 = 24.6mm（3）衍射光強(qiáng)I = I0isina jn. 口,I ,其中 a = asinHI a 九當(dāng)asin日=nK時(shí)為暗紋，tga =ot為亮紋II004.4937.7250.047180.016942.平行光斜入射到單縫上，證明：（1 ）單縫夫瑯和費(fèi)衍射強(qiáng)度公式為22 2a a ,sin、（sin 6 -sin i）I=I0 式中，I0是中央亮紋中心強(qiáng)度；a是縫寬；日是a a 八 、（sin 日-sin i）衍射角，i是入射角（見(jiàn)圖12-50）（2）中央亮紋的角半寬度為=acosi證明:，對(duì)于中央亮斑（

3、1）與垂直入射相比（2） 令 aa （sine九-sini）即可sin【-sin i3 .在不透明細(xì)絲的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣中，測(cè)得暗條紋的間距為1.5mm,所用透鏡的焦距為30mm,光波波長(zhǎng)為632.8nm。問(wèn)細(xì)絲直徑是多少？解：設(shè)直徑為a,則有f =da632.8 10* 0.031.5 10，= 0.0126mm64 .利用第三節(jié)的結(jié)果導(dǎo)出外徑和內(nèi)徑分別為a和b的圓環(huán)（見(jiàn)圖12-51）的夫瑯和費(fèi)衍射強(qiáng)a度公式，并求出當(dāng)b =a時(shí)，（1）圓環(huán)衍射與半徑為 a的圓孔衍射圖樣的中心強(qiáng)度之比；（2）2圓環(huán)衍射圖樣第一個(gè)暗環(huán)的角半徑。同樣，解照51 P點(diǎn)喃娜6、圖Eb p =：b2c2J1出IL M因

4、此圓環(huán)在P點(diǎn)產(chǎn)生的振幅為Ef,”普P點(diǎn)強(qiáng)度為2 JF2b J1 kbukbi對(duì)于衍射場(chǎng)中心，e=o有I 0 =4-： 2c2224 4 ： c(4421 2、a b22 2c a -ba94=ca16當(dāng)b =一時(shí), 2(1) I 0 =4二2c21 0Ia 0 一16(2)第一暗紋有a2 J1 kaub2J1 kb?ka?kbi1 a .aJ1 kai = aJ1 Ik：1查表可有kai -3.1443.1443 = =3.144 =0.51 ka2二 a a4.(1) 一束直徑為2mm的氨速激光(九二632.8nm)自地面射向月球，已知地面和月3球相距3.7610 km,問(wèn)在月球上得到的光斑

5、有多大？ (2)如果用望遠(yuǎn)鏡用作為擴(kuò)束器將該擴(kuò)展成直徑為 4m的光束，該用多大倍數(shù)的望遠(yuǎn)鏡？將擴(kuò)束后的光束再射向 月球，在月球上的光斑為多大？解：(1)圓孔衍射角半寬度為 a = 四二a傳到月球上時(shí)光斑直徑為_(kāi) _90.61 0.61 632.8 108D =21 l =2 l =2 2 3.76 10290.3kma1 10(2)若用望遠(yuǎn)鏡擴(kuò)束，則放大倍數(shù)為2000倍。直徑D = 2力1 =2 061- la二2-90.61 632.8 103.76 108=145.2m5.若望遠(yuǎn)鏡能分辨角距離為 3M102rad的兩顆星，它的物鏡的最小直徑是多少？同時(shí)為 了充分利用望遠(yuǎn)鏡的分辨率，望遠(yuǎn)鏡應(yīng)

6、有多大的放大率？解:0.61 0.61 550 1。4 23 10）= 2.24m人眼分辨率為1 2.9 10 & rad2 9 10 口 .放大率M _ 冬900 3 106.若要使照相機(jī)感光膠片能分辨2Nm的線距，（1）感光膠片的分辨率至少是每毫米當(dāng)時(shí)線；（2）照相機(jī)鏡頭的相對(duì)孔徑D/f至少有多大？（光波波長(zhǎng)為 550nm）“ 1八、一解：（1）膠片分辨率為 N =3 =500線/毫米2 102 2） D =1.22九 N L- = 0.34 d14907 . 一臺(tái)顯微鏡的數(shù)值孔徑為 0.85,問(wèn)（1）它用于波長(zhǎng) 九= 400nm時(shí)的最小分辨距離是多少？ （2）若利用油浸物鏡使數(shù)值孔徑增大

7、到1.45 ,分辨率提高了多少倍？ （ 3）顯微鏡的放大率應(yīng)設(shè)計(jì)成多大？（設(shè)人眼的最小分辨率為1）。0.61 解：（1）6=nsin u,90.61 400 100.85= 0.29 10m145提高名 = =1.70.85（3）人眼在明視距離處能夠分辨的長(zhǎng)度為250mm ”250 2.9 10 - 7.25 10，mm，放大率至少為2二 425_7.25 10 mm；0.29 10“mm 1.78 .在雙縫夫瑯和費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)中，所用光波波長(zhǎng)九= 632.8nm ,透鏡焦距f = 50cm ,觀察到兩相鄰亮條紋之間的距離e=1.5mm,并且第四級(jí)亮紋缺級(jí)。 試求（1）雙縫的縫距和縫寬；（2）第1

8、, 2, 3級(jí)亮紋的相對(duì)強(qiáng)度。解：（1）雙縫衍射亮紋條件為 d sin =m九,m =0,1,2取微分有 dcos ,二. m令 Am =1 ,且 cos6 &1 ,則日土 d又；，e 一 f =_ f d632.8 109 0.51.5 102= 0.21 104m(2)衍射極小位置為 asin ? - n ,a -d,n 1,_2m-0,_1,2n m取 n =1,m =4 .a = d = 0.05mm4(3)對(duì)于第一級(jí)亮紋有 d sin f =：二/又：d =4a.asin一4jiasinji =4第一級(jí)亮紋的相對(duì)強(qiáng)度sin2、2_、2JTsin 一4、26 sin2=0.81同理 =

9、0.4, =0.09I 0 I 09 .在雙縫的一個(gè)縫前貼一塊厚 0.001mm,折射率為1.5的玻璃片。設(shè)雙縫間距為1.5Nm,縫寬為0.5 Nm,用波長(zhǎng)500nm的平行光垂直入射。試分析該雙縫的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣。解：衍射圖樣不變，干涉位置變?yōu)閐sin日+(n -n0 )d = m10 .一塊光柵的寬度為 10cm,每毫米內(nèi)有 500條縫，光柵后面放置的透鏡焦距為500nm。問(wèn)(1)它產(chǎn)生的波長(zhǎng) 九=632.8nm的單色光的1級(jí)和2級(jí)譜線的半寬度是 多少？ ( 2)若入射光是波長(zhǎng)為632.8nm和波長(zhǎng)之相差0.5nm的兩種單色光，它們的1級(jí)和2級(jí)譜線之間的距離是多少？=2 10-m解：（1）

10、 d =1mmN1mm500對(duì)于一級(jí)主極大有 d sin - -，= R =18.43 fcc “工,r1 = =3.34 10 mmNd cos 二同理 r2 =4.08 10，mm(2) *：dsinH=m，u，線色散=回土、二 d cos1.1, 2級(jí)衍射線色散為=0.26mm/nm、l _500mmr 1 -0.002mm cos18.43l ，=0.64mm/nm.er 2而=0.5nm譜線間距- 0.26mm/nm 0.5 = 0.13mm二12 = 0.32mm11. 設(shè)計(jì)一塊光柵，要求（1）使波長(zhǎng)九=600nm的第2級(jí)譜線的衍射角0 30, （2）色散盡可能大，（3）第3級(jí)譜線

11、缺級(jí)，（4）在波長(zhǎng)九= 600nm的2級(jí)譜線處能分辨0.02nm的波長(zhǎng)差。在選定光柵的參數(shù)后，問(wèn)在透鏡的焦面上只可能看到波長(zhǎng)600nm的幾條譜線？解：為使 九=600nm的二級(jí)譜線的衍射角10 M 30。，則光柵常數(shù)d應(yīng)滿(mǎn)足m ,sin -2 600 10*一 sin 30= 2.4 10mdi m-色放 _. =- d越小色放越大d d cos-，d=2.4 10m3右第二級(jí)缺級(jí)，應(yīng)有 a = =0.8 10 m d由條件(4) N = = 600= 150001m 0.02 2，光柵總長(zhǎng)度L - N d -36mm76r毛刈白啟44d sin二 d 2.4 10一 ,可看至U取同級(jí)條紋為

12、m = 一 =9 = 4600 10，可看到0,1,2級(jí)，23級(jí)缺級(jí)，共5條條紋。12. 為在一塊每毫米1200條刻線的光柵的1級(jí)光譜中分辨波長(zhǎng)為 632.8nm的一束氫就激光的模結(jié)構(gòu)(兩個(gè)模之間的頻率差為450MHz ),光柵需要有多寬？解：632.8nm對(duì)應(yīng)的頻率為4.741父1014Hz450 1 064632.8 =6 10-nm4.741 10.光柵總條紋數(shù)為632.8，長(zhǎng)度為L(zhǎng) = Nd= 1.005 1066 101,4= 1.005 1061200二879mm813. 證明光束斜入射時(shí),(1)光柵衍射強(qiáng)度分布公式為I = I0 snI a中a = 且(sin日sini ), P

13、 = - (sin9 -sin i )日為衍射角；i為入射角，見(jiàn)圖12-53 , N為光柵縫數(shù)。(2)若光柵常數(shù) d冷九，光柵形成主級(jí)大的條件可以寫(xiě)為dcosi 二-i =m m=0,二 1,二2,.圖12-53 習(xí)題18圖 2n2n證明：(1)與垂直入射相匕 若 d = A = d (sin -sin i ):=d sin 二-sin i一 二 a . .同理：- = sin ? - sin i(2)光柵形成主極大有 d(sin日-sini )=m九2dcos210i cos2-,i ：. 0.；i J:cosi ,sin22. .有 dcosi n-i)=m14.有一多縫衍射屏如圖12-5

14、4所示，縫數(shù)為2N ,縫寬為a,縫間不透明部分的寬度依次為a和3a。試求正入射情況下，這一衍射屏的夫瑯和費(fèi)衍射強(qiáng)度分布公式。E(P) . A VMM3二3 個(gè)&+e”)+/g)+八sin: 彳=A 1I JiN 二1 -ei、.,，iM)一一Asn) exp |i(N 1 儀(1+/2J 222 J2 2 J設(shè)復(fù)數(shù)M = 1 ei1exp i N -1 -一 22 t則 M M = 4cos 一透射光強(qiáng), ssince fI = 4I0 !.Nsin -、25萬(wàn)4cos令一：二 bsin 二:,-I = 41：-,、： = 121 1722I = 410)fsin6NP )15.塊閃耀光柵寬2

15、60mm,每毫米有300個(gè)刻槽，閃耀角為77012。（1）求光束垂 直于槽面入射時(shí)，對(duì)于波長(zhǎng) 九=500nm的光的分辨本領(lǐng)；（2）光柵的自由光譜范圍有 多大？ （ 3）試問(wèn)空氣間隔為1cm ,精細(xì)度為25的法布里-珀羅標(biāo)準(zhǔn)具的分辨本領(lǐng)和 自由光譜范圍作一比較。(1)光柵刻痕數(shù)為N = =7.8 104 d閃耀級(jí)數(shù)為m2d sin-12 mm sin77 12300500 10mmL|13，分辨本領(lǐng)為=mN :106 AZ(2)自由光譜范圍為 九= M = 500 = 38.5nmm 13 2h(3) F-P 標(biāo)傕具的分辨為 A = 0.97ms = 0.97 父、-s|_ 10 25002比光

16、柵小得多自由光譜氾圍為 Aa = =7 = 0.0125nm2h 2 1016.一透射式階梯光柵由 20塊折射率相同、厚度相等的玻璃平板平行呈階梯狀疊成，厚板t=1cm,玻璃折射率n=1.5,階梯高度d=0.1cm。以波長(zhǎng)兒=500nm的單色光垂直照射，試計(jì)算（1）入射光方向上干涉主極大的級(jí)次；（2）光柵的角色散和分辨本領(lǐng)（假定玻璃折射率不隨波長(zhǎng)變化）。解：（1）由于階梯高度d與九相比極大，所以衍射角極小，此時(shí)相鄰兩階梯的光程差為：=nl -cosR d sin 二-n -1 l d -對(duì)應(yīng)日=0處，m0 =（n 1）l =104九；n -1 l d 1-m、r 1=一 m -d 、.- d設(shè)

17、n與K相比變化很小，即出=0665Z2二10 rad /nm17.18.分辨本領(lǐng) A=mN=104 20 =2 105AZ設(shè)光柵的振幅透射系數(shù)為t（x） =t0+t1cos 2兀f0x+t1cos（2nf0x十三），這塊光柵2的夫瑯和費(fèi)衍射場(chǎng)中將出現(xiàn)幾個(gè)衍射斑？各斑的中心強(qiáng)度與零級(jí)的比值是多少？在寬度為b的狹縫上放一折射率為n、折射角為a的小光楔，由平面單色波垂直照射（見(jiàn)圖12-55）,求夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的光強(qiáng)分布以及中央零級(jí)極大和極小的方向。19.圖12-56為一透射型閃耀光柵，周期為 d ,閃耀角為a ,由平面波垂直入射（1）求夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的光強(qiáng)分布。（2）求光柵對(duì)m=1級(jí)光譜閃耀時(shí)a

18、應(yīng)滿(mǎn)足的條件。（3）試分析對(duì)m=1級(jí)閃耀時(shí)，光譜強(qiáng)度分布的特點(diǎn)。圖12-56 習(xí)題24圖20. 如圖12-58所示，單色點(diǎn)光源（波長(zhǎng) 九=500nm ）安放在離光闌1m遠(yuǎn)的地方，光 闌上有一個(gè)內(nèi)外半徑分別為0.5mm和1mm的通光圓環(huán)?？疾禳c(diǎn) P離光闌1m （SP連線通過(guò)圓環(huán)中心并垂直于圓環(huán)平面），問(wèn)在P點(diǎn)的光強(qiáng)和沒(méi)有光闌時(shí)的光強(qiáng)之比是多少？P圖12-58 習(xí)題28圖解：半徑為1mm的圓孔包含波帶數(shù)為P2（R+r0）（1mm 2 （1000mm+1000mm ）J = = = 4r0R1000mm 1000mm 500 10 mm半徑為0.5mm的圓屏擋住的J =1圓環(huán)通過(guò)波帶數(shù)為 3,由于相

19、鄰波帶相消，所以只有一個(gè)波帶的光在P點(diǎn)產(chǎn)生振1幅，無(wú)光闌時(shí)P點(diǎn)振幅為第一波帶產(chǎn)生振幅的一，所以放置光闌前后光強(qiáng)變化42倍。21. 波長(zhǎng)九=563.3nm的平行光正入射直徑 D = 2.6mm的圓孔，與孔相距 r0 = 1m處放一屏幕。問(wèn)（1）屏幕上正對(duì)圓孔中心的 P點(diǎn)是亮點(diǎn)還是暗點(diǎn)？ （ 2）要使P點(diǎn)變成與（1）相反的情況，至少要把屏幕向前（同時(shí)求出向后）移動(dòng)多少距離？解：在P點(diǎn)包含的波帶數(shù)為,：2 R r0J 二rRD20 ,o 21.3 101 563.3 10中心為亮點(diǎn)c-3 2令J =2:21.3 1040 = =9 = 1.5mJ 2 563.3 103 2;?21.3 10J = 40 = =9 = 0.75mJ 4 563.3 10，22.試寫(xiě)出圖中雙狹縫衍射屏的復(fù)振幅透射系數(shù)的表達(dá)式(設(shè)縫寬為a,縫距為b,且b=4a)。(2) .用單位振幅單色平面光波正入射照明時(shí)，試求在透鏡L后焦面內(nèi)沿x軸的復(fù)振幅分布。(3) .求在透鏡L后焦面內(nèi)沿x軸的光強(qiáng)度分布。(4) .指明光強(qiáng)度分布的特征(單縫衍射中央亮區(qū)的半